Kupera käyrä

Kupera käyrä  on euklidisen tason käyrä , joka on minkä tahansa tangenttiviivan toisella puolella.

Rajatun kuperan joukon raja on aina kupera käyrä.

Määritelmät

Määrittäminen tukilinjoilla

Mikä tahansa suora jakaa euklidisen tason kahteen puolitasoon , jotka yhdessä antavat koko tason ja joiden leikkauspiste on sama kuin , käyrä "on toisella puolella ", jos se sisältyy kokonaan yhteen näistä puolitasoista. Tasokäyrää kutsutaan kuperaksi , jos se on minkä tahansa tangenttinsa toisella puolella [1] . Toisin sanoen kupera käyrä on käyrä, jolla on tukiviiva jokaisessa käyrän pisteessä.

Määritelmä kuperilla joukoilla

Konveksi käyrä voidaan määritellä konveksin joukon rajaksi euklidisessa tasossa . Tämä tarkoittaa, että kupera käyrä on aina suljettu (eli sillä ei ole päätepisteitä) [2] .

Joskus käytetään heikompaa määritelmää, jossa kupera käyrä on kuperan joukon rajan osajoukko. Tässä suoritusmuodossa kuperalla käyrällä voi olla päätepisteitä.

Tiukasti kupera käyrä

Tiukasti kupera käyrä  on kupera käyrä, joka ei sisällä segmenttejä . Vastaavasti tiukasti kupera käyrä on käyrä, joka leikkaa minkä tahansa suoran enintään kahdessa pisteessä [3] [4] , tai yksinkertainen suljettu käyrä kuperassa asennossa , mikä tarkoittaa, että mitään pistettä käyrällä ei voida esittää kuperana yhdistelmänä mikä tahansa muu sen pisteiden osajoukko.

Ominaisuudet

Jokaisella kuperalla käyrällä on hyvin määritelty äärellinen pituus . Siten kupera käyrä on tasasuuntaavien käyrien osajoukko [2] .

Neljän pisteen lauseen mukaan missä tahansa käyrässä on vähintään neljä kärkeä, pistettä , joissa saavutetaan kaarevuuden paikallinen minimi tai maksimi [4] [5] .

Rinnakkaiset tangentit

Suljettu käyrä on kupera silloin ja vain, jos käyrällä ei ole kolmea erillistä pistettä siten, että tangentit näissä pisteissä ovat yhdensuuntaiset.

Kallistuskulman yksitoikkoisuus

Käyrää kutsutaan yksinkertaiseksi , jos se ei leikkaa itseään. Suljettu säännöllinen taso yksinkertainen käyrä on kupera silloin ja vain, jos sen kaarevuus on joko aina positiivinen tai aina negatiivinen. Eli sen kaltevuuskulma (käyrän tangentin kulma akselin suhteen) on heikosti monotoninen käyrän parametroinnin funktio [1] .

Aiheeseen liittyvät luvut

Sileitä kuperia käyriä, joilla on aksiaalinen symmetria , kutsutaan joskus soikeiksi [6] . Kuitenkin äärellisessä projektitiivisessa geometriassa ovaalit määritellään joukoiksi, joissa millä tahansa pisteellä on yksi tangentti, mikä pätee euklidisessa geometriassa sileiden tiukasti kupereiden suljettujen käyrien tapauksessa.

Katso myös

Muistiinpanot

  1. ↑ 1 2 A. Harmaa. Moderni käyrien ja pintojen differentiaaligeometria. – 2. - New York: CRC Press, 1997. - S. 163-165. — ISBN 0849371643 .
  2. ↑ 1 2 V. A. Toponogov. Käyrien ja pintojen differentiaaligeometria: oppikirja yliopistoille. - M . : Fizmatkniga, 2012. - ISBN 978-5-89155-213-5 .
  3. ↑ J. Dieudonne. Tutkimus analyysistä. - New York: Academic Press, 1988. - T. IV. - (Puhdas ja sovellettu matematiikka). - ISBN 0-12-215504-1 (v.4).
  4. ↑ 1 2 Christian Bar. Alkeinen differentiaaligeometria. - Cambridge University Press, 2010. - S. 49. - ISBN 9780521896719 .
  5. ↑ D. DeTruck, H. Gluck, D. Pomerleano, DS Vick. Neljän pisteen lause ja sen käänteinen // Notices of the American Mathematical Society. - 2007. - T. 54 , no. 2 . - S. 9268 . — . — arXiv : math/0609268 .
  6. ↑ Steven Schwartzman. Matematiikan sanat: englanninkielisten matemaattisten termien etymologinen sanakirja . - Mathematical Association of America, 1994. - S.  156 . — (MAA-spektri). — ISBN 9780883855119 .