Vähennys (monimutkainen analyysi)

Kompleksisen analyysin jäännös on objekti ( luku , muoto tai muodon kohomologinen luokka), joka luonnehtii tietyn funktion tai muodon paikallisia ominaisuuksia .

Yhden kompleksimuuttujan tähteiden teorian kehitti pääasiassa Cauchy vuosina 1825-1829. Hänen lisäksi tärkeitä tuloksia saavuttivat Hermit , Sokhotsky , Lindelöf . Vuonna 1887 Poincaré yleisti Cauchyn integraalilauseen ja jäännöksen käsitteen kahden muuttujan tapaukseksi [1] , siitä hetkestä lähtien moniulotteinen jäännösteoria syntyy. Kävi kuitenkin ilmi, että tätä käsitettä voidaan yleistää monella tapaa.

Analyyttisen funktion jäännöksen osoittamiseen pisteessä käytetään lauseketta (sanasta lat. residuum ). Venäjänkielisessä kirjallisuudessa sitä kutsutaan joskus nimellä [2] . $f(z)$ $z_{0}$ ${\mathop {{\mathrm {Res}}}}\left[f(z),z_{0}\right]$ ${\text{calc}}\left[f(z),z_{0}\right]$

Yksiulotteinen kompleksianalyysi

Funktiovähennys

Kompleksiarvoiselle funktiolle alueella, joka on säännöllinen jossain pisteen pisteytetyssä ympäristössä , sen jäännös pisteessä on numero: $f(z)$ $D\subseteq {\mathbb C}$ $a\ in D$ $a$

{\mathop {{\mathrm {Res}}}}_{a}\,f(z)=\lim _{{\rho \to 0}}{1 \over {2\pi i}}\int \ rajat _{{|za|=\rho }}\!f(z)\,dz

Koska funktio on holomorfinen pisteen pienessä pisteytetyssä ympäristössä , Cauchyn lauseen mukaan integraalin arvo ei riipu tämän parametrin riittävän pienistä arvoista, samoin kuin integrointipolun muodosta. Ainoa tärkeä asia on, että polku on suljettu käyrä funktion analyyttisyysalueella, kun se sulkee sisäänsä tarkasteltavan pisteen eikä muita pisteitä, jotka eivät kuulu holomorfian alueelle . $f(z)$ $a$ $\rho$ $f$

Jossain pisteen läheisyydessä funktiota edustaa konvergentti Laurent-sarja potenssien . On helppo osoittaa, että jäännös on sama kuin sarjan kerroin kohdassa . Tätä esitystapaa pidetään usein funktion jäännöksen määritelmänä. $a$ $f(z)$ $za$ $c_{{-1}}$ $(za)^{{-1}}$

Vähennys "äärettömässä"

Jotta funktion ominaisuuksia voitaisiin tutkia täydellisemmin, otetaan käyttöön äärettömän jäännöksen käsite, kun taas sitä pidetään funktiona Riemannin pallolla . Olkoon äärettömyyden piste eristetty singulaaripiste , niin jäännös äärettömyydessä on kompleksiluku, joka on yhtä suuri: $f(z)$

{\mathop {{\mathrm {Res}}}}_{\infty }\,f(z)=-\lim _({\rho \to \infty }}{1 \over {2\pi i}} \int \limits _{{|z|=\rho }}\!f(z)\,dz

Integrointisykli on tässä määritelmässä suunnattu positiivisesti eli vastapäivään.

Kuten edellisessä tapauksessa, äärettömyydessä olevalla jäännöksellä on myös esitys Laurentin laajenemiskertoimen muodossa äärettömän pisteen läheisyydessä:

{\mathop {{\mathrm {Res}}}}_{\infty }\,f(z)=-c_{{-1}}

Jäännösdifferentiaalimuoto

Monistojen analyysin kannalta on luonnotonta ottaa käyttöön erityinen määritelmä jollekin Riemannin sfäärin merkittävälle pisteelle (tässä tapauksessa äärettömyyteen). Lisäksi tällaista lähestymistapaa on vaikea yleistää korkeampiin ulottuvuuksiin . Siksi jäännöksen käsitettä ei esitetä funktioille, vaan differentiaalisille muodoille Riemannin alueella: $(1,\;0)$

{\mathop {{\mathrm {Res}}}}_{a}\,\omega =\lim _{{\rho \to 0}}{1 \over {2\pi i}}\int \limits _ {{|za|=\rho }}\!\omega

Ensi silmäyksellä määritelmissä ei ole eroa, mutta nyt se on mielivaltainen piste , ja etumerkin muutos laskettaessa jäännöstä äärettömyydessä saadaan muuttamalla muuttujia integraalissa. $a$ $\overline {{\mathbb C}}$

Logaritmiset jäännökset

Integraalia kutsutaan funktion logaritmiksi jäännökseksi ääriviivan suhteen . ${1 \over {2\pi i}}\oint \limits _{L}\!{f^{\prime }(z) \over f(z)}\,dz$ $f(z)$ $L$

Logaritmisen jäännöksen käsitettä käytetään todistamaan Rouchén lause ja algebran peruslause .

Tapoja laskea vähennykset

Määritelmän mukaan jäännös voidaan laskea ääriviivaintegraalina, mutta yleensä tämä on melko työlästä. Siksi käytännössä he käyttävät pääasiassa määritelmän seurauksia.

Irrotettavassa singulaaripisteessä sekä säännöllisyyden pisteessä funktion jäännös on yhtä suuri kuin nolla. Samanaikaisesti tämä väite ei pidä paikkaansa äärettömyyden pisteessä. Esimerkiksi funktiolla on ensimmäisen kertaluvun nolla äärettömyydessä, kuitenkin . Syynä tähän on, että muodolla on singulaarisuus sekä nollassa että äärettömässä. $a\in {\mathbb C}$ $f(z)$ $f(z)={\frac {1}{z}}$ ${\mathop {{\mathrm {Res}}}}_{{\infty }}\,{\frac 1{z}}=-1$ ${\frac {dz}{z))$

Multipliciteettinavassa jäännös voidaan laskea kaavalla: $a$ $n$

{\mathop {{\mathrm {Res}}}}_{a}\,f(z)={1 \over (n-1)!}\lim _{{z\to a}}{{d^ {{(n-1)}} \over dz^{{(n-1)}}}[(za)^{n}f(z)]}

erikoistapaus $n = 1$

{\mathop {{\mathrm {Res}}}}_{a}\,f(z)=\lim _{{z\to a}}{(za)f(z)}

Jos funktiolla on yksinkertainen napa kohdassa , jossa ja ovat holomorfisia funktioita naapurustossa , , niin voidaan käyttää yksinkertaisempaa kaavaa: $f(z)={\frac {g(z)}{h(z)))$ $a$ $g(z)$ $h(z)$ $a$ $h(a) = 0$ $h'(a)\neq 0$

{\mathop {{\mathrm {Res}}}}_{a}\,f(z)={\frac {g(a)}{h^{\prime }(a))))

Hyvin usein, varsinkin kun kyseessä ovat oleellisesti yksittäiset pisteet , on kätevää laskea jäännös käyttämällä funktion Laurent-sarjan laajennusta. Esimerkiksi, koska kerroin at on yhtä suuri kuin 1. ${\mathop {{\mathrm {Res}}}}_{0}\,e^{{1/z}}={\mathop {{\mathrm {Res}}}}_{0}\,\left (1+{\frac 1{z}}+{\frac 1{2!z^{2}}}+\ldots \right)=1$ $z^{{-1}}$

Jäännösteorian sovellukset

Useimmissa tapauksissa jäännösteoriaa sovelletaan erilaisten integraalilausekkeiden laskemiseen pääjäännöslauseen avulla . Usein hyödyllinen näissä tapauksissa on Jordanin lemma .

Trigonometristen funktioiden määrällisten integraalien laskelmat

Olkoon funktio muuttujien ja rationaalinen funktio . Muodon integraalien laskemiseen on kätevää käyttää Eulerin kaavoja . Olettaen, että ja tekemällä asianmukaiset muunnokset, saamme: $R(u,\;v)$ $u$ $v$ $\int \limits _{0}^{{2\pi }}R\!(\sin \varphi ;\;\cos \varphi )\,d\varphi$ $z=e^{{i\varphi }}$

\int \limits _{0}^{{2\pi }}\!R(\sin \varphi ,\;\cos \varphi )\,d\varphi =2\pi i\sum {\mathop {{\ matematiikka {Res}}}}_{{z=z_{k}}}R(z)

Virheellisten integraalien laskenta

Virheellisten integraalien laskemiseksi jäännösteorian avulla käytetään seuraavia kahta lemmaa:

1. Olkoon funktio holomorfinen ylemmällä puolitasolla ja todellisella akselilla, paitsi äärellinen määrä napoja , jotka eivät ole todellisella akselilla ja . Sitten $f(z)$ $I^{+}=\{z\mid \operaattorinimi {Im}\,z\geqslant 0\}$ $n$ $\lim _{{z\to \infty }}zf(z)=0$

\int \limits _{{-\infty }}^{{+\infty }}\!f(x)\,dx=2\pi i\sum _{{k=1}}^{n}{\ mathop {{\mathrm {Res}}}}_{{z=z_{k}}}f(z)

2. Olkoon funktio holomorfinen ylemmällä puolitasolla ja todellisella akselilla, paitsi äärellinen määrä napoja , jotka eivät sijaitse todellisella akselilla, ja . Sitten $f(z)$ $I^{+}=\{z\mid \operaattorinimi {Im}\,z\geqslant 0\}$ $n$ $\lim _{{z\to \infty }}zf(z)=0$ $\alpha >0$

\int \limits _{{-\infty }}^{{+\infty }}\!f(x)e^{{i\alpha x}}\,dx=2\pi i\sum _{{k =1}}^{n}{\mathop {{\mathrm {Res}}}}_{{z=z_{k}}}f(z)e^{{i\alpha z}}

Tässä tapauksessa yhtäläisyyden vasemmalla puolella olevien integraalien ei tarvitse olla olemassa, ja siksi ne ymmärretään vain pääarvon merkityksessä (Cauchyn mukaan) .

Monimuuttuja monimutkainen analyysi

Muoto-jäännös ja luokka-jäännös

Paikallinen vähennys

Jäännösvirtaus

Muistiinpanot

↑ H. Poincare. Sur les résidues des integrales doubles // Acta Math. - 1887. - Nro 9 . - S. 321-380 . - doi : 10.1007/BF02406742 .
↑ Svešnikov A. G., Tikhonov A. N. Kompleksisen muuttujan funktioiden teoria. - 3. painos, lisäys. - M.: Nauka, 1974. - 320 s.

Kirjallisuus

Shabat BV Johdatus monimutkaiseen analyysiin. - M .: Nauka, 1976.
Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N. Monimutkaisen muuttujan funktioiden teoria. - M .: Nauka, 1979.
Aizenberg L. A., Yuzhakov A. P. Integraaliesitykset ja jäännökset moniulotteisessa kompleksianalyysissä. - Novosibirsk: Nauka, 1979.
Tsikh A.K. Moniulotteiset jäännökset ja niiden sovellukset. - Novosibirsk: Nauka, 1988.