Hyperfunktio (matematiikka)

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 8. maaliskuuta 2017 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Hyperfunktio (matematiikka) - yleisen funktion käsitteen kehittäminen . Yhden muuttujan hyperfunktio on kahden holomorfisen funktion todellisen akselin raja-arvojen ero, jotka on määritelty vastaavasti kompleksitason ylemmällä ja alemmalla puolitasolla. Useiden muuttujien hyperfunktiot määritellään jonkin kohemologisen ryhmän elementteiksi, joiden kertoimet ovat holomorfisten funktioiden nipussa [1] . Hyperfunktiot löysi Mikio Sato vuonna 1958 [2] [3] .

Yhden muuttujan hyperfunktio

Yhden muuttujan hyperfunktiota voidaan pitää erona reaaliakselilla yhden ylemmällä kompleksipuolitasolla määritellyn holomorfisen funktion ja toisen alemmalla kompleksipuolitasolla määritellyn funktion välillä - [1] . Yhden muuttujan hyperfunktio määräytyy vain kahden funktion eron perusteella reaaliakselilla, eikä se muutu, kun lisätään samaan funktioon holomorfinen koko kompleksitasolla , joten hyperfunktiot ja määritellään ekvivalenteiksi. $f$ $g$ ${\näyttötyyli (f,g)}$ $fg$ $f$ $g$ $h$ ${\näyttötyyli (f,g)}$ ${\näyttötyyli (f+h,g+h)}$

Monien muuttujien hyperfunktio

Antaa olla presheaf in , joka määritellään seuraavasti [4] : jos ei ole rajoitettu, sitten ; jos rajoitettu, niin ; Rajoitukset määritellään seuraavasti: , jos ei ole rajoitettu , jos rajoitettu. Hyperfunktionaalinen nippu on nippu , joka liittyy esirippuun . $B'$ $R^{n}$ $\Omega$ $B'(\Omega )=\left\{0\right\}$ $\Omega$ $B'(\Omega )=B(\Omega )$ $B'(\Omega )\rightarrow B'(\omega )$ $0\rightarrow 0$ $\Omega$ $T\rightarrow T|\omega$ $\Omega$ $R^{n}$ $B$ $B'$

Hypertoiminto päällä määräytyy: peittäen missä avoin ja rajoitettu; ja elementtejä , joille . $\Omega$ ${\displaystyle \Omega =\bigcup _{i\in I}\Omega _{i))$ ${\displaystyle \Omega _{i))$ $T_{i}\in B(\Omega _{i})$ ${\displaystyle T_{i}|\Omega _{i}\cap \Omega _{j}=T_{j}|\Omega _{i}\cap \Omega _{j))$

Kaksi tällaista joukkoa ja määrittävät saman hyperfunktion jos $(\Omega _{i},T_{i}),i\in I$ $(\Omega _{i'},T_{i'}),i'\in I'$ $T_{i}|\Omega _{i}\cap \Omega _{i'}=T_{i'}|\Omega _{i}\cap \Omega _{i'},\forall i\ minä,minä'\minässä'$

Esimerkkejä

Jokaiselle funktiolle f, joka on holomorfinen koko kompleksitasolla, hyperfunktio on sen arvot reaaliakselilla, joka voidaan esittää muodossa tai . ${\näyttötyyli (f,0)}$ ${\näyttötyyli (0,-f)}$
Heaviside-funktio voidaan esittää hyperfunktiona:

H(x)=\left({\tfrac {1}{2\pi i}}\log(z),{\tfrac {1}{2\pi i}}\log(z)-1 \oikea).

Diracin deltafunktio voidaan esittää hyperfunktiona:

\left({\tfrac {1}{2\pi iz)),{\tfrac {1}{2\pi iz}}\oikea).

Toiminnot hyperfunktioilla

Kertominen analyyttisellä funktiolla . Antaa olla analyyttinen funktio, olla analyyttinen funktio . Sitten tuote määritellään kaavalla . $f\in {\mathfrak {A}}(\Omega )$ $u\in {\mathfrak {A'}}(\Omega )$ $fu\in {\mathfrak {A'}}(\Omega )$ $\langle fu,g\rangle =\langle u,fg\rangle ,\forall g\in {\mathfrak {A}}(\Omega )$

Hyperfunktio määritellään sekvenssillä [5] $fT$ $f{\overline {T_{n}}}|\Omega _{n}$

Convolution. Antaa olla holomorfinen funktio , olla holomorfinen funktio topologialla. Sitten konvoluutio määritellään kaavalla . Hyperfunktio määritellään sekvenssillä [6] $u\in H'(C^{n})$ $f\in H(C^{n})$ $u*f\in H(C^{n})$ $(u*f)(z)=\langle u_{\xi },f(z-\xi )\rangle$ $u*T$ ${\displaystyle (u*T_{n})|\Omega _{np))$

Katso myös

Yleistetty toiminto

Muistiinpanot

↑ 1 2 Shapira, 1972 , s. 5.
↑ Sato, Mikio (1959), Hyperfunktioiden teoria, I, Tokion yliopiston luonnontieteiden tiedekunnan lehti. Lahko. 1, Matematiikka, tähtitiede, fysiikka, kemia, osa 8 (1): 139–193
↑ Sato, Mikio (1960), Hyperfunktioiden teoria, II, Tokion yliopiston luonnontieteiden tiedekunnan lehti. Lahko. 1, Matematiikka, tähtitiede, fysiikka, kemia , osa 8 (2): 387–437
↑ Shapira, 1972 , s. 61.
↑ Shapira, 1972 , s. 65.
↑ Shapira, 1972 , s. 66.

Kirjallisuus

Hormander L. Lineaariset differentiaalioperaattorit osittaisilla derivaatoilla. - M .: Mir, 1965. - 379 s.
Shapira P. Hyperfunktioiden teoria. - M .: Mir, 1972. - 141 s.
Hormander L. Lineaaristen differentiaalioperaattoreiden analyysi osittaisilla derivaatoilla. Osa I. Jakaumateoria ja Fourier-analyysi. - M .: Mir, 1986. - 462 s.