Kaksoiskategoria

Kaksoiskategoria ( dual category ) on luokka , joka on muodostettu luokkateoreettisen periaatteen mukaisesti annetusta kaksinaisuudesta , eli kategorialle kaksoiskategoria on luokka , jolla on samat kohteet kuin morfismijoukkoilla ("nuoli kääntäminen" ). Luokassa ja luokassa olevien morfismien koostumus määritellään koostumukseksi ja . Luokkaan kuuluvat käsitteet ja lausunnot korvataan kaksoiskäsitteillä ja lausunnoilla . Kaksinaisuuden käyttö kahdesti ottaa kategorian omakseen. ${\mathcal C}$ ${\mathcal C}^{{op))$ ${\mathcal C}$ ${\text{Hom}}_{{\mathcal {C}}^{op}}(A,B)={\text{Hom}}_{\mathcal {C}}(B,A)$ $f$ $g$ ${\mathcal C}^{{op))$ $g$ $f$ ${\mathcal C}$ ${\mathcal C}$ ${\mathcal C}^{{op))$

Esimerkkejä

Boolen algebroiden luokka vastaa kiviavaruuksien ja jatkuvien funktioiden kaksoisluokkaa .
Affiinimallien luokka vastaa kommutatiivisten renkaiden kaksoisluokkaa .
Pontryaginin kaksinaisuus voidaan rajoittaa kompaktien Hausdorff Abelin topologisten ryhmien kategorian ja (erillisten) Abelin ryhmien kaksoiskategorian ekvivalenssiin .
Gelfand–Neumark-lauseen mukaan paikallisesti mitattavien avaruuksien (ja mitattavien funktioiden ) luokka vastaa kommutatiivisten von Neumann-algebroiden kaksoisluokkaa .

Ominaisuudet

$({\mathcal C}\times {\mathcal D})^{{op}}\cong {\mathcal C}^{{op}}\times {\mathcal D}^{{op}}$ (katso työkategoria )
$(Funktio({\mathcal C},{\mathcal D}))^{{op}}\cong Funct({\mathcal C}^{{op}},{\mathcal D}^{{op}})$ [1] [2] (katso funktioiden luokka )
$(F\downarrow G)^{{op}}\cong (G^{{op}}\downarrow F^{{op}})$ (katso pilkkuluokka )

Muistiinpanot

↑ H. Herrlich, G.E. Strecker, Category Theory , 3. painos, Heldermann Verlag, s. 99.
↑ O. Wyler, Lecture Notes on Topoi and Quasitopoi , World Scientific, 1991, s. kahdeksan.

Kirjallisuus

McLane S. Luku 2. Konstruktiot kategorioissa // Categories for the working mathematician = Categories for the working mathematician / Per. englannista. toim. V. A. Artamonova. - M .: Fizmatlit, 2004. - S. 43-67. — 352 s. — ISBN 5-9221-0400-4 .