Diskreetti aaltomuunnos

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 20. tammikuuta 2018 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 4 muokkausta .

Numeerisessa ja funktionaalisessa analyysissä diskreetillä aallokemuunnolla ( DWT) tarkoitetaan aallokemuunnoksia, joissa aallot esitetään diskreeteillä signaaleilla (näytteillä).

Ensimmäisen DWT:n suunnitteli unkarilainen matemaatikko Alfred Haar . Tulosignaalille, jota edustaa 2n luvun joukko, Haar-aaltomuunnos yksinkertaisesti ryhmittää elementit kahdella ja summalla ja eroaa niistä. Summien ryhmittely suoritetaan rekursiivisesti seuraavan hajotustason muodostamiseksi. Tuloksena on 2 n −1 eroa ja 1 kokonaissumma.

Tämä yksinkertainen DWT havainnollistaa aallokkojen yleisiä hyödyllisiä ominaisuuksia. Ensinnäkin muunnos voidaan tehdä operaatioissa. Toiseksi, se ei vain hajota signaalia joksikin taajuuskaistojen muodoksi (analysoimalla sitä eri mittakaavassa), vaan edustaa myös aikatasoa, eli tiettyjen taajuuksien esiintymishetkiä signaalissa. Yhdessä nämä ominaisuudet luonnehtivat nopeaa aallokemuunnosta, mahdollista vaihtoehtoa tavalliselle nopealle Fourier-muunnokselle . Hyväksyessään signaalin X satunnaisuuden ehto sen amplitudien Y spektritiheys lasketaan Yates-algoritmin perusteella: matriisi Y =matriisi(± X ), käänteinen matriisi X =matriisi(± Y ) on myös tosi . $n\loki _{2}(n)$

Yleisimmän diskreettien aallokemuunnosten joukon muotoili belgialainen matemaatikko Ingrid Daubechies vuonna 1988. Se perustuu toistuvuussuhteiden käyttöön laskemaan yhä tarkempia näytteitä implisiittisesti annetusta emoaaltofunktiosta kaksinkertaistaen resoluution siirryttäessä seuraavalle tasolle (asteikko). Keskeisessä työssään Daubechies johtaa aallokkeiden perheen, joista ensimmäinen on Haar-aalto. Sittemmin kiinnostus tätä aluetta kohtaan on kasvanut nopeasti, mikä on johtanut lukuisten alkuperäisen Daubechies-aaltoperheen jälkeläisten syntymiseen.

Muita diskreettien aallokemuunnosten muotoja ovat ei-desimoitu aallokemuunnos (jossa signaalin desimointia ei suoriteta), Newland-muunnos (jossa ortonormaali aallokepohja johdetaan erityisesti konstruoiduista "tophat"-tyyppisistä suodattimista taajuusalueella). Pakettiaaltomuunnokset liittyvät myös DWT:hen. Toinen DWT:n muoto on monimutkainen aallokemuunnos.

Diskreetillä aallokemuunnoksella on monia sovelluksia luonnontieteissä, tekniikassa ja matematiikassa (mukaan lukien sovelletut). DWT:tä käytetään laajimmin signaalin koodauksessa, jossa muunnosominaisuuksia käytetään vähentämään erillisten signaalien esityksen redundanssia, usein ensimmäisenä vaiheena tietojen pakkaamisessa.

Määritelmä

Yksi muunnostaso

Signaalin DWP saadaan käyttämällä suodattimia. Ensin signaali johdetaan alipäästösuodattimen läpi impulssivasteella ja saadaan konvoluutio : $x$ $g$

y[n]=(x*g)[n]=\summa \limits _{{k=-\infty }}^{\infty }{x[k]g[nk]}

Samaan aikaan signaali hajotetaan käyttämällä ylipäästösuodatinta . Tuloksena on yksityiskohtakertoimet (ylipäästösuodattimen jälkeen) ja approksimaatiokertoimet (alipäästösuodattimen jälkeen). Nämä kaksi suodatinta liittyvät toisiinsa ja niitä kutsutaan kvadratuuripeilisuodattimiksi (QMF). $h$

Koska puolet signaalin taajuusalueesta suodatettiin, niin Kotelnikov-lauseen mukaan signaalimäärät voidaan ohentaa 2 kertaa:

y_{{{\mathrm {low}}}}[n]=\sum \limits _{{k=-\infty }}^{\infty }{x[k]g[2n-k]}

y_{{{\mathrm {high}}}}[n]=\sum \limits _{{k=-\infty }}^{\infty }{x[k]h[2n-k]}

Tämä laajennus puolitti aikaresoluution signaalin desimoinnin vuoksi. Jokainen tuloksena oleva signaali edustaa kuitenkin puolta alkuperäisen signaalin taajuuskaistanleveydestä, joten taajuuden resoluutio kaksinkertaistuu.

Harvennusoperaattorin käyttö $\alaspäin$

(y\downarrow k)[n]=y[kn]

yllä olevat summat voidaan kirjoittaa lyhyemmin:

y_{{{\mathrm {low}}}}=(x*g)\downarrow 2

y_{{{\mathrm {high}}}}=(x*h)\downarrow 2

Täyden konvoluution laskeminen ja sitä seuraava harventaminen on laskentaresurssien tuhlausta. $x*g$

Nostokaavio on optimointi, joka perustuu näiden kahden laskelman vuorotteluun.

Kaskadi- ja suodatinpankit

Tämä hajottaminen voidaan toistaa useita kertoja taajuuden resoluution lisäämiseksi edelleen desimoimalla kertoimia ali- ja ylipäästösuodatuksen jälkeen. Tämä voidaan esittää binääripuuna, jossa lehdet ja solmut vastaavat tiloja, joilla on eri aika-taajuuslokalisaatio. Tämä puu edustaa suodatinpankin (kampan) rakennetta .

Yllä olevan kaavion jokaisella tasolla signaali jaetaan mataliksi ja korkeiksi taajuuksiksi. Kaksinkertaisesta desimaatiosta johtuen signaalin pituuden on oltava :n kerrannainen , missä on hajotustasojen lukumäärä. $2^{n}$ $n$

Esimerkiksi 32-näytteen signaalille, jonka taajuusalue on 0–3 tasoa, laajennus antaa 4 lähtöä eri mittakaavassa: $f_n$

Taso	Taajuudet	Signaalin pituus
3	$0$ … ${{f_{n}}}/8$	neljä
3	${{f_{n}}}/8$ … ${{f_{n}}}/4$	neljä
2	${{f_{n}}}/4$ … ${{f_{n}}}/2$	kahdeksan
yksi	${{f_{n}}}/2$ … $f_n$	16

Ohjelmaesimerkki

Haarin algoritmi

Esimerkki nopeasta yksiulotteisesta aallokemuunnoksesta, jossa käytetään Haar -aalloketta 2 N :n alkutiedon joukolle (suodatinvaiheiden lukumäärä on vastaavasti N) C#:ssa:

public static List < Double > DirectTransform ( List < Double > SourceList ) { if ( SourceList . Count == 1 ) return SourceList ; Lista < Double > RetVal = uusi Lista < Double >(); Lista < Double > TmpArr = uusi Lista < Double >(); for ( int j = 0 ; j < SourceList . Count - 1 ; j += 2 ) { RetVal . Lisää (( SourceList [ j ] - SourceList [ j + 1 ]) / 2.0 ); TmpArr . Lisää (( SourceList [ j ] + SourceList [ j + 1 ]) / 2.0 ); } RetVal . AddRange ( DirectTransform ( TmpArr )); paluu RetVal ; }

Samoin esimerkki käänteisaaltomuunnoksesta:

public static List < Double > InverseTransform ( List < Double > SourceList ) { if ( SourceList . Count == 1 ) return SourceList ; Lista < Double > RetVal = uusi Lista < Double >(); Lista < Double > TmpPart = uusi Lista < Double >(); for ( int i = SourceList . Count / 2 ; i < SourceList . Count ; i ++ ) TmpPart . Lisää ( SourceList [ i ]); List < Double > SecondPart = InverseTransform ( TmpPart ); for ( int i = 0 ; i < SourceList . Count / 2 ; i ++ ) { RetVal . Lisää ( toinen osa [ i ] + lähdeluettelo [ i ]); RetVal . Lisää ( toinen osa [ i ] - lähdeluettelo [ i ]); } paluu RetVal ; }

Kaksiulotteinen aallokemuunnos

Uutta JPEG-2000- standardia kehitettäessä kuvan pakkaamiseen valittiin aallokemuunnos. Aallokemuunnos itsessään ei pakkaa dataa, vaan mahdollistaa syötekuvan muuntamisen siten, että sen redundanssia voidaan vähentää ilman huomattavaa kuvanlaadun heikkenemistä.

Katso myös

Jatkuva Wavelet-muunnos

Muistiinpanot

↑ Kaaviot venäjäksi

Kirjallisuus

Stephane Mallat. Signaalinkäsittelyn Wavelet-kierros
Zakharov S. I. , Kholmskaya A. G. Tärinä- ja kohinasignaalien käsittelyn tehokkuuden parantaminen mekanismien testauksen aikana // Vestnik mashinostroeniya : zhurnal. - M . : Mashinostroenie, 2001. - Nro 10 . - S. 31-32 . — ISSN 0042-4633 .

Linkit

Tuotteiden vibroakustiikan ja vibrodiagnostiikan anturi: Pat No. 95116U1, IPC G 01 H 1/08.
Nopea diskreetti biortogonaalinen CDF 9/7 aallokko eteenpäin- ja käänteismuunnos (lifting-toteutus) on C-toteutus JPEG-2000- kuvanpakkausalgoritmissa käytetyn diskreetin biortogonaalisen CDF 9/7 -aallon nopeaan nostamiseen .
Uusi suuntaus mekaanisten ja fysikaalisten suureiden antureiden tietojen muuntamisessa. M: Koneenrakennus//Mekaniikkatiedote, 2004, nro 4, s.78.
Yuen Ch., Beacham K., Robinson J. Mikroprosessorijärjestelmät ja niiden sovellus signaalinkäsittelyssä. M: Radio ja viestintä. 1986. 296 s.
Dhonson N., Lyon F. Tekniikan ja tieteen tilastot ja kokeiden suunnittelu. Kokeilun suunnittelumenetelmät. M: Rauha. 1981. 512 s.
Brokh ET Brüel & Kjærin mittausjärjestelmien käyttö mekaanisten värähtelyjen ja iskujen analysointiin. Söborg; Larsen ja poika. 1973. 235 s.
Bute P.-A. Iskun (shokki) impulssien mittaus. Uusi menetelmä vierintälaakerien kunnon seurantaan käytön aikana. Raportoi. SKF yhtiö. 1971. 7s.
Kharkevich A. A. Spektrit ja analyysi. M: Fizmatgiz.1963. 432 s.

Puristusmenetelmät _

Teoria

Tiedot	Oma Keskinäinen Haje Ehdollinen entropia Monimutkaisuus Redundanssi
Yksiköt	Bitti Nat Napostella Hartley Hartleyn kaava

Häviötön

Entropian pakkaus	Epäsymmetriset lukujärjestelmät Huffmanin algoritmi Mukautuva Huffman-algoritmi Shannon-Fano-algoritmi Shannonin algoritmi Aritmeettinen koodaus ( intervalli ) Golomb koodit Delta Universaali koodi Elias fibonacci
Sanakirjamenetelmät	RLE Tyhjennä LZ ( LZ77/LZ78 LZSS LZW LZWL LZO LZMA LZX LZRW LZJB LZT LZ4 Brotli zstandardi )
muu	RLE CTW BWT MTF PPM DMC

Audio

Teoria	Convolution PCM Aliasing Näytteenotto Kotelnikovin lause
menetelmät	LPC LAR LSP WLPC CELP ACELP Laki μ-laki ADPCM MDCT Fourier-muunnos Psykoakustinen malli
muu	Äänen kompressori Puheen pakkaus Band koodaus

Kuvat

Ehdot	väriavaruutta Pikseli Saturaatio-alinäytteenotto Pakkausesineitä
menetelmät	RLE DPCM fraktaali aallokko EZW SPIHT LP PrEP PCL
muu	Bittinopeus Normaali testikuva PSNR Kvantisointi

Video

Ehdot	Videon ominaisuudet Kehys Kehystyypit Videon laatu
menetelmät	Liikekompensointi PrEP Kvantisointi aallokko
muu	Videokoodekki Nopeuden vääristymisteoria CBR ABR VBR