Moduulin pituus

Moduulin pituus on tapa mitata moduulin "kokoa" yleistäen käsitteen vektoriavaruuden ulottuvuudesta . Pituus määritellään sisäkkäisten alimoduulien ketjun enimmäispituudeksi.

Määritelmä

Olkoon M (vasen tai oikea ) moduuli R :n päällä . Sanomme, että sen muodon alimoduulien ketjun pituus

{\displaystyle N_{0}\subsetneq N_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq N_{n))

on yhtä suuri kuin n , eli laskemme tiukkojen inkluusioiden määrän, emme alimoduulien määrää. Moduulin M pituus on pisin ketjun pituus sen alimoduulien ketjuista. Jos ketjun maksimipituutta ei ole, niin M :n pituus on ääretön.

Esimerkkejä

Ainoa moduuli, jonka pituus on 0, on nollamoduuli. Moduuleja, joiden pituus on 1, kutsutaan yksinkertaisiksi .
Äärillisulotteisen vektoriavaruuden pituus on sama kuin ulottuvuus.
Syklisen ryhmän pituus on yhtä suuri kuin tekijöiden lukumäärä n: n hajotuksessa alkuluvuiksi . ${\mathbb Z}/n{\mathbb Z}$

Ominaisuudet

Moduulilla on rajallinen pituus, jos ja vain jos se on artinilainen ja noeterilainen .

Päästää

0\rightarrow L\rightarrow M\rightarrow N\rightarrow 0

on lyhyt tarkka moduulisarja. Tässä tapauksessa M :llä on äärellinen pituus, jos ja vain jos L: llä ja N :llä on äärellinen pituus, ja M :n pituus on yhtä suuri kuin niiden pituuksien summa. Erityisesti moduulien suoran summan pituus on yhtä suuri kuin komponenttien pituuksien summa.

Kirjallisuus

Steven H. Weintraub , äärellisten ryhmien esitysteoria AMS (2003) - ISBN 0-8218-3222-0 , ISBN 978-0-8218-3222-6
Barile, Margherita. Moduulin pituus Wolfram MathWorldissä .