Ihanteellinen luku

Ideaaliluvut esitteli vuonna 1847 saksalainen matemaatikko Ernst Eduard Kummer [1] , ja ne toimivat lähtökohtana määritettäessä renkaiden ihanteita , jotka Dedekind esitteli myöhemmin . Tällä hetkellä tätä termiä ei käytetä, ja se on korvattu ihanteen käsitteellä.

Ideaali renkaassa on prinsiaalinen , jos se koostuu alkioista, jotka ovat jonkin elementin kerrannaisia, muuten se on nonprincipal . Siten jokainen renkaan numero voidaan yhdistää pääideaaliin, kun taas voimme olettaa ideaalilukujen olemassaolon, jotka vastaisivat mielivaltaista ihannetta.

Esimerkki

Olkoon y yhtälön y ² + y + 6 = 0 juuri, silloin kentän kokonaislukujen rengas on , eli kaikki lausekkeet muotoa a + by , missä a ja b ovat kokonaislukujen renkaan alkioita . Esimerkki ei-pääideaalista sellaisessa renkaassa on 2 a + yb , jossa a ja b ovat kokonaislukuja; tämän ihanteen kuutio on prinsiaali, luokkaryhmä on kertalukua 3. Vastaava luokkakenttä saadaan lisäämällä kaikki alkiot w muotoa w ³ − w − 1 = 0 , mikä antaa . Ei-pääideaalin 2 a + yb ideaalluku on . Koska se täyttää yhtälön , se on algebrallinen kokonaisluku. ${\mathbb {Q}}(y)$ $\mathbb {Z} [y]$ ${\mathbb {Q}}(y)$ $\mathbb {Q} (y,w)$ $\iota =(-8-16v-18v+12v^{2}+10v+vv^{2})/23$ $\iota ^{6}-2\iota ^{5}+13\iota ^{4}-15\iota ^{3}+16\iota ^{2}+28\iota +8=0$

Kaikki luokkakentän kokonaislukujen renkaan elementit kerrottuna ι:lla antavat muodon a α + b β, jossa $\mathbb {Z} [y]$

\alpha =(-7+9v-33v-24v^{2}+3vv-2vv^{2})/23

\beta =(-27-8v-9v+6v^{2}-18vv-11vv^{2})/23.

Kertoimet α ja β ovat myös tyydyttävät algebralliset kokonaisluvut

\alpha ^{6}+7\alpha ^{5}+8\alpha ^{4}-15\alpha ^{3}+26\alpha ^{2}-8\alpha +8=0

\beta ^{6}+4\beta ^{5}+35\beta ^{4}+112\beta ^{3}+162\beta ^{2}+108\beta +27=0

vastaavasti. Kertomalla a α + b β ideaalisella luvulla ι saadaan 2 a + luvulla , joka on ei-pääideaali.

Historia

Kummer kirjoitti ensimmäisen kerran mahdollisesta ei-ainutlaatuisesta tekijöiden jakamisesta syklotomisissa (pyöreissä) kentissä vuonna 1844 epäselvässä lehdessä; artikkeli toistettiin vuonna 1847 Liouvillen lehdessä . Muissa kirjoituksissaan vuosina 1846 ja 1847 hän julkaisi perustavanlaatuisen lauseensa (todellisiin ja ideaalisiin) alkutekijöihin jakamisen ainutlaatuisuudesta.

Kummerin uskotaan päätyneen ideaan "ihanteellisista kompleksiluvuista" tutkiessaan Fermatin viimeistä lausetta ; sanotaan jopa, että Kummer, kuten Lame , luuli todistaneensa Fermatin viimeisen lauseen, kunnes Dirichlet kertoi hänelle, että hänen argumenttinsa perustui tekijöiden jakamisen ainutlaatuisuuteen; mutta tämän tarinan kertoi ensimmäisen kerran Kurt Hansel vuonna 1910 ja se sai todennäköisesti alkunsa virheestä yhdessä Hanselin lähteistä. Harold Edwards sanoi, että "uskomus, että Kummer olisi vakavasti kiinnostunut Fermatin viimeisestä lauseesta, on epäilemättä virheellinen."

Kronecker ja Dedekind suorittivat Kummerin ajatusten yleistyksen seuraavien neljänkymmenen vuoden aikana. Suora yleistäminen kohtasi vakavia vaikeuksia, mikä johti Dedekindin luomaan moduulien ja ihanteiden teoria . Kronecker käsitteli vaikeutta kehittämällä muototeoriaa ( neliömuotojen yleistys) ja jakajien teoriaa . Dedekindin työ muodosti perustan rengasteorialle ja yleisalgebralle , kun taas Kroneckerin työ loi algebrallisen geometrian päätyökalun .

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Ihanteellinen // Kazakstan. Kansallinen tietosanakirja . - Almaty: Kazakstanin tietosanakirjat , 2005. - T. II. — ISBN 9965-9746-3-2 . (Venäjän kieli) (CC BY SA 3.0)

Kirjallisuus

Nicolas Bourbaki, Matematiikan historian elementtejä. Springer-Verlag, NY, 1999.
Harold M. Edwards, Fermatin viimeinen lause. Yleinen johdatus lukuteoriaan. Graduate Texts in Mathematics vol. 50, Springer-Verlag, NY, 1977.
C. G. Jacobi, Über die complexen Primzahlen, welche in der theori der Reste der 5ten, 8ten, und 12ten Potenzen zu betrachten sind, Monatsber. der. Akad. Wiss. Berliini (1839) 89-91.
EE Kummer, De numero complexis, qui radicibus unitatis et numero integris realibus vakio, Gratulationschrift der Univ. Breslau zur Jubelfeier der Univ. Königsberg, 1844; uusintapainos Jourissa. deMath. 12 (1847) 185-212.
EE Kummer, Über die Zerlegung der aus Wurzeln der Einheit gebildeten complexen Zahlen in ihre Primfactoren, Jour. Turkisten matematiikka. (Crelle) 35 (1847) 327-367.
John Stilwell, Johdatus algebrallisten kokonaislukujen teoriaan, Richard Dedekind. Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press, Iso-Britannia, 1996.

Linkit

Ideaaliluvut , Todiste siitä, että ihanteellinen lukuteoria säilyttää syklotomististen kokonaislukujen tekijöiden jakamisen ainutlaatuisuuden, Fermatin Last Theorem -blogissa .