Solmu invariantti
Solmun invariantti on mikä tahansa solmun ominaisuus (yksinkertaisimmassa luvussa, mutta se voi olla polynomi , ryhmä ja niin edelleen), joka on määritelty jokaiselle solmulle ja joka on sama ekvivalenteille solmuille. Ekvivalenssi annetaan yleensä ambient-isotoopialla , mutta se voidaan antaa myös homeomorfismina .
Invarianttien tutkimista ei motivoi vain teorian päätehtävä - solmujen erottaminen - vaan myös tarve ymmärtää solmujen perusominaisuudet ja niiden suhde muihin matematiikan alueisiin.
Nykyajan näkökulmasta on luonnollista määrittää solmun invariantti sen kaaviosta . Tietenkin invariantin tulee pysyä muuttumattomana Reidemeisterin siirtojen alla , tämä ominaisuus vastaa ominaisuuden invarianssia.
Esimerkkejä
- Yksinkertaisin esimerkki invariantista on kyky värjätä kolmella värillä ja tällaisten värjäysten lukumäärä.
- Yksi kätevimmistä invarianteista solmujen erottamiseen ovat solmupolynomit
- Äärillisen tyypin invariantit ovat solmuinvarianttien luokka, jolle on ominaista tietty suhde singulaarisolmun kaikkiin resoluutioihin tietyllä määrällä itseleikkauksia.
- Muut invariantit voidaan määrittää ottamalla huomioon joitain solmukaavioiden kokonaislukufunktioita, ottamalla niiden minimi kaikista mahdollisista tietyn solmun kaavioista. Tämä tyyppi sisältää osien lukumäärän, joka on kaikkien solmukaavioiden risteiden vähimmäismäärä , sekä siltojen vähimmäismäärän . Tällaiset invariantit on helppo määritellä, mutta lähes mahdotonta laskea.
- Gordon-Lucin lauseessa sanotaan, että solmun komplementti ( topologisena avaruutena ) on solmun "täydellinen invariantti" siinä mielessä, että se erottaa tietyn solmun kaikista muista aina ympäristön isotoopiaan ja peiliheijastukseen asti . Solmun komplementtiin liittyvien invarianttien joukossa on solmuryhmä , joka on yksinkertaisesti sen komplementin perusryhmä . Solmukynttilä on myös tässä mielessä täydellinen invariantti, mutta isomorfismia on vaikea verrata toisiinsa.
- Hyperbolisen linkin komplementin hyperbolinen rakenne määräytyy yksiselitteisesti Mostow'n jäykkyyden mukaan, joten hyperbolinen tilavuus on muuttumaton näille solmuille ja linkeille . Tilavuus ja muut hyperboliset invariantit ovat osoittautuneet tehokkaiksi laajojen solmutaulukoiden laatimisessa .
- homologiset solmuinvariantit, jotka luokittelevat (käännä luokkateorian mukaisesti ) hyvin tunnetut invariantit. Esimerkiksi
- Hygard Flor -homologia on homologiateoria, jonka Euler-ominaisuus on Alexanderin solmupolynomi . Se osoittautui hyödylliseksi uusien tulosten saamiseksi klassisista invarianteista.
- Toinen tutkimuslinja on kombinatorisesti määritelty kohomologiateoria, jota kutsutaan Khovanov-homologiaksi , sen Euler-ominaisuus on Jones-polynomi .
Kirjallisuus