Indikaattori (matematiikka)

Indikaattori eli ominaisfunktio tai indikaattorifunktio tai osajoukon jäsenyysfunktio on joukolle määritetty funktio , joka ilmaisee, kuuluuko elementti osajoukkoon . $A\subseteq X$ $X$ $x\in X$ $A$

Koska termiä " ominaisuusfunktio " käytetään jo todennäköisyysteoriassa , termiä " indikaattorifunktio " käytetään useimmiten todennäköisyysteorian yhteydessä, muilla aloilla termiä " ominaisuusfunktio " käytetään useammin.

Indikaattorifunktion analyyttiseen esittämiseen käytetään usein Heaviside- funktiota .

Määritelmä

Antaa olla mielivaltaisen joukon valittu osajoukko . Toiminto määritellään seuraavasti: $A\subseteq X$ $X$ ${\mathbf {1}}_{A}:X\to \{0,1\}$

{\mathbf {1}}_{A}(x)=\left\{{\begin{matrix}1,&x\in A,\\0,&x\notin A,\end{matrix}}\right.

kutsutaan asetusindikaattoriksi . $A$

Vaihtoehtoiset ilmaisimen merkinnät ovat: tai , ja joskus jopa ja Iversonin hakasulke . $A$ $\chi _{A}$ ${\mathbf {I}}_{A}$ $Kirves)$ $[x\in A]$

( Kreikkalainen kirjain tulee sanan ominaisuus kreikan kirjoitusmuodon alkukirjaimesta .) $\chi$

Varoitus . Merkintä voi tarkoittaa identiteettifunktiota . $\mathbf {1} _{A}$

Perusominaisuudet

Kartoitus, joka yhdistää osajoukon sen indikaattoriin injektiivisesti . Jos ja ovat kaksi osajoukkoa , Sitten $A\subseteq X$ $\mathbf {1} _{A}$ $A$ $B$ $X\$

{\mathbf {1}}_{{A\cap B}}=\min\{{\mathbf {1}}_{A},{\mathbf {1}}_{B}\}={\mathbf {1}}_{A}{\mathbf {1}}_{B},

{\mathbf {1}}_{{A\cup B}}=\max\{({\mathbf {1}}_{A},{\mathbf {1}}_{B}}\}={ \mathbf {1}}_{A}+{\mathbf {1}}_{B}-{\mathbf {1}}_{A}{\mathbf {1}}_{B},

{\mathbf {1}}_{{A\triangle B}}={\mathbf {1}}_{A}+{\mathbf {1}}_{B}-2({\mathbf {1}} _{{A\cap B}}),

{\mathbf {1}}_{{A^{c}}}=1-{\mathbf {1}}_{A}.

Yleisemmin oletetaan, että se on joukko :n osajoukkoja . On selvää, että kaikille $A_{1},\ldots ,A_{n}$ $X$ $x\in X$

\prod _{{k\in I}}(1-{\mathbf {1}}_{{A_{k}}}(x))

on nollien ja ykkösten tulo. Tämä tuote saa arvon 1 tarkalleen niille , jotka eivät kuulu mihinkään joukkoon, ja 0 muuten. Siksi $x\in X$ $A_k$

\prod _{{k\in I}}(1-{\mathbf {1}}_{{A_{k}}})={\mathbf {1}}_{{X-\bigcup _{{k }}A_{k}}}=1-{\mathbf {1}}_{{\bigcup _{{k}}A_{k}}}.

Laajennamme vasenta puolta, saamme

{\mathbf {1}}_{{\bigcup _{{k}}A_{k}}}=1-\sum _{{F\subseteq \{1,2,\ldots ,n\}}}( -1)^{{|F|}}{\mathbf {1}}_{{\bigcap _{F}A_{k}}}=\sum _{{\emptyset \neq F\subseteq \{1, 2,\ldots ,n\}}}(-1)^{{|F|+1}}{\mathbf {1}}_{{\bigcap _{F}A_{k}}},

missä on voima . Tämä on yksi sisällyttämis-poissulkemisperiaatteen muoto . Tämä esimerkki osoittaa, että indikaattori on hyödyllinen merkintä kombinatoriikassa , jota käytetään myös muilla aloilla, esimerkiksi todennäköisyysteoriassa : jos on todennäköisyysavaruus, jossa on todennäköisyysmitta , ja se on mitattavissa oleva joukko , niin indikaattorista tulee satunnainen muuttuja , jonka matemaattinen odotus on yhtä suuri kuin todennäköisyys $|F|$ $F$ $X$ ${\mathbf {P}}$ $A$ $\mathbf {1} _{A}$ $V:$

E({\mathbf {1}}_{A})=\int \limits _{{X}}{\mathbf {1}}_{A}(x)\,d{\mathbf {P}}= \int \limits _{{A}}d{\mathbf {P}}={\mathbf {P}}(A).\quad

Tätä identiteettiä käytetään yksinkertaisissa Markovin eriarvoisuuden todisteissa .

Bibliografia

Folland, G.B.; Todellinen analyysi: Modernit tekniikat ja niiden sovellukset , 2. painos, John Wiley & Sons , Inc., 1999.
Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest ja Clifford Stein. Johdatus algoritmeihin , toinen painos. MIT Press ja McGraw-Hill, 2001. ISBN 0-262-03293-7 . Kohta 5.2: Indikaattorisatunnaismuuttujat, ss. 94–99.

Indikaattori (matematiikka)

Määritelmä

Perusominaisuudet

Bibliografia

Katso myös