Neliöllinen differentiaali

Jakotukin neliöllinen differentiaali on osa sen kotangenttinipun symmetrisestä neliöstä . Useimmiten tätä ilmaisua käytetään monimutkaisten monistojen yhteydessä , ja hiljaisesti annetaan ymmärtää, että tämä osa on holomorfinen. Neliölliset differentiaalit ovat äärimmäisen tärkeitä kompleksisten käyrien tai Riemannin pintojen teoriassa .

Riemannin pintojen muodollinen määritelmä on seuraava: Riemannin pinta liimataan monimutkaisista kiekoista niiden väliin osittain määritellyillä holomorfisilla mappauksilla (liimausfunktiot). Alueella , jossa on koordinaatti, neliöllinen differentiaali annetaan muodossa , Jossa on jokin holomorfinen funktio . Vastaavasti Riemannnin pinnalla neliöllinen differentiaali on lauseke, jolla on tämä muoto jokaisessa paikalliskaaviossa. $\mathbb {C}$ $z$ $f(z)dz\otimes dz$ $f$

Teichmüller-avaruuden kotangenttinippu

Tarkastellaan holomorfista tasaisten kompleksisten käyrien perhettä (Riemannin pinnat) , jotka on parametroitu pieneen kiekkoon kuuluvalla kompleksisella parametrilla (eli yhden parametrin käyrän muodonmuutos ). Jos Riemannin pinta esitetään joukona pieniä kompleksisia kiekkoja, jotka on liimattu niiden väliin osittain määritellyillä holomorfisilla mappauksilla, niin tämän Riemannin pinnan muodonmuutos saadaan sitten muuttamalla lakia, jolla levyt liimataan toisiinsa. Jos emme ota huomioon koko muodonmuutosta, vaan vain "sen Taylor-sarjan ensimmäistä kerrointa ", niin holomorfisten levykartoitusten joukon sijasta (kuvaukset siitä, kuinka liimaus muuttuu), saamme joukon paikallisesti määriteltyjä holomorfisia vektorikenttiä . Ne edustavat holomorfisten vektorikenttien nipun Tšehovin 1-kosyklistä (eli holomorfista tangenttinippua ). Sen luokka kohomologiassa ei riipu Riemannin pinnan peittävyydestä atlasella, vaan ainoastaan itse muodonmuutoksesta (tarkemmin sanottuna sen ensimmäisen kertaluvun termistä). $C_{t}$ $t$ $C=C_{0}$ $T_{C}$ $H^{1}(T_{C})$

Teichmüller-avaruus parametroi kaikki mahdolliset monimutkaiset rakenteet käyrällä. Vastaavasti käyrän yhden parametrin muodonmuutos on holomorfinen kartoitus kompleksisesta kiekosta Teichmüller-avaruuteen ja ensimmäisen asteen muodonmuutos on Teichmüller-avaruuden tangenttivektori . Siksi Teichmüller-avaruuden tangenttiavaruus käyrää vastaavassa pisteessä on kanonisesti isomorfinen kohomologia-avaruuden kanssa . Serran kaksinaisuuden mukaan tämä tila on kaksoistila avaruuden kanssa . Toisin sanoen toisen asteen differentiaalien avaruus Riemannin pinnalla on kotangenttiavaruus Teichmüller-avaruuden vastaavaan pisteeseen. $C$ $H^{1}(T_{C})$ $H^{0}(T_{C}^{*}\otimes K_{C})=H^{0}(K_{C}^{2})$

Toinen tapa määrittää ensimmäisen asteen käyrän muodonmuutos on kuvata sen Kodaira-Spencer-operaattori . Nimittäin, jos on holomorfinen 1-muoto , tai ensimmäisen tyyppinen Abelin differentiaali , niin sen de Rham -kohomologialuokkaa ei muodonmuutoksen jälkeen välttämättä edusta millään holomorfisella 1-muodolla. Vastaavan luokan antiholomorfisen osan vertailu antaa operaattorin , tai (antiholomorfiset muodot voidaan tunnistaa funktionaaleista holomorfisten muotojen avaruudessa käyttämällä ulkoista kertolaskua ja sitä seuraavaa integrointia). Tätä operaattoria kutsutaan Kodaira-Spencer-operaattoriksi. Jos , niin sen arvo holomorfisessa muodossa on funktionaalinen . $\alpha \in H^{1,0}(C)$ $\alpha$ $H^{1,0}(C)\to H^{0,1}(C)$ $\Omega (C)\to \Omega ^{*}(C)$ $\Omega (C)$ $v\in T_{C}\mathrm {Teich} =H^{0}(K_{C}^{2})^{*}$ $\alpha$ $\beta \mapsto v(\alpha \otimes \beta )$

Toisen asteen differentiaalien tilan mitat

Soveltamalla Riemannin-Rochin lausetta tangenttikimppuun saamme . Sukukäyrän tangenttikimpun aste on , joten tästä eteenpäin voidaan ilmaista toisen asteen differentiaalien avaruuden ulottuvuus muodossa . Rationaalisella käyrällä ( ), jolla holomorfiset vektorikentät muodostavat kolmiulotteisen Lie-algebran , ei siis ole nollasta poikkeavia neliöllisiä differentiaaleja. Elliptisellä käyrällä ( ), jolla on vain yksi holomorfinen vektorikenttä ja toisen asteen differentiaalien avaruus on yksiulotteinen. Sillä , Hurwitzin estimaatti merkitsee häviämistä , joten suurten suvun käyrien kohdalla neliöerontiaalien avaruudella on ulottuvuus . Kuten hyvin tiedetään, Teichmüller-avaruuden ulottuvuus on sama: mikä tahansa ensimmäisen asteen käyrän muodonmuutos, kuten sanotaan, on rajoittamaton (eli se voidaan laajentaa rehelliseen muodonmuutokseen, joka parametroidaan kiekolla). $T_{C}$ $\dim H^{0}(T_{C})-\dim H^{0}(T_{C}^{*}\otimes K_{C})=\deg(T_{C})- g+1$ $g$ $2-2g$ $\dim H^{0}(K_{C}^{2})=3g-3+\dim H^{0}(T_{C})$ $g = 0$ $g = 1$ $g>1$ $H^{0}(T_{C})$ $3g-3$

Noetherin lause toisen asteen differentiaaleista

Jos on kaksi holomorfista 1-muotoa, niin niiden symmetrinen tulo on neliöllinen differentiaali. Toisin sanoen symmetrinen kertolasku määrittää kuvauksen . Elliptisellä käyrällä mitkä tahansa kaksi holomorfista 1-muotoa ovat verrannollisia ja neliulotteisten differentiaalien avaruus on yksiulotteinen, joten jokainen neliöllinen differentiaali hajoaa holomorfisten 1-muotojen tuloksi triviaalisilla näkökohdilla. Samoin sukupuolen kaksi käyrän kartoitus on isomorfismi. $\alpha ,\beta$ $\alpha \otimes \beta$ $\mathrm {Sym} ^{2}\Omega (C)\to H^{0}(K_{C}^{2})$ $\mathrm {Sym} ^{2}\Omega (C)\to H^{0}(K_{C}^{2})$

Oletetaan kuitenkin, että käyrä sallii holomorfisen involuution . Silloin se toimii myös involuutiona holomorfisten 1-muotojen avaruudessa, joten siinä on oikeat aliavaruudet oikeilla numeroilla ja . Edellinen määrittelee tekijän holomorfiset muodot . Siksi, jos tämä involuutio on hyperelliptinen eli sen tekijä on rationaalinen käyrä, niin tämä varsinainen aliavaruus on nolla, koska rationaalinen käyrä ei hyväksy holomorfisia muotoja, ja involuutio vaikuttaa mihin tahansa holomorfiseen 1-muotoon kuten . Siksi se toimii identtisesti muodon tulojen synnyttämissä toisen asteen differentiaaleissa . Toisaalta kohomologialuokat , joihin hyperelliptinen involuutio vaikuttaa identtisesti, ovat juuri hyperellipsiä säilyttäviä muodonmuutoksia. Suvulle kaksi tämä ei ole ei-triviaali tila, koska jokainen suvun kaksi käyrä on hyperelliptinen; Tämä ei kuitenkaan enää pidä paikkaansa suvun 3 ja sitä korkeampien käyrien kohdalla. Siksi suvun hyperelliptisellä käyrällä kartoitus ei ole enää surjektiivinen. $C$ $\iota \colon C\to C$ $+1$ $-yksi$ $C/\iota$ $\iota ^{*}\alpha =-\alpha$ $\alpha \otimes \beta$ $H^{1}(T_{C})$ $C$ $g>2$ $\mathrm {Sym} ^{2}\Omega (C)\to H^{0}(K_{C}^{2})$

Max Noetherin neliöllisiä differentiaaleja koskeva lause sanoo, että tämä on ainoa poikkeus: kaikilla käyrillä, lukuun ottamatta suvun kolme tai sitä korkeampia hyperelliptisiä käyriä, mikä tahansa neliöllinen differentiaali voidaan esittää muodon monomiaalien summana , jossa on joitakin holomorfiset 1-muodot. Itse asiassa vielä enemmän on totta: millä tahansa ei-hyperelliptisellä suvun käyrällä, joka on suurempi kuin kaksi, voidaan valita kolme holomorfista 1-muotoa siten, että jokaisella toisen asteen differentiaalilla on muoto , jossa on joitain holomorfisia 1-muotoja. $\alpha \otimes \beta$ $\alpha ,\beta$ $\alpha ,\beta ,\gamma$ $\alpha \otimes \alpha '+\beta \otimes \beta '+\gamma \otimes \gamma '$ $\alpha ',\beta ',\gamma '$

Moduuliavaruuksien suhteen Noetherin lause voidaan kuvata seuraavasti. Symmetrisen neliön kaksoisavaruus on tangenttiavaruus ylempään Siegel-puoliavaruuteen parametroimalla Abelin lajikkeita pisteessä, joka vastaa käyrän Jacobilaista vaihtelua . Kun käyrä kartoitetaan Jacobi-sarjaan, saadaan kartoitus Teichmüller-avaruudesta Siegelin ylempään puoliavaruuteen, jota kutsutaan Torelli - kartoitukseksi . Torelli - kuvauksen differentiaali on täsmälleen symmetrisen kertolaskukuvauksen duaali . Siten ei-hyperelliptisten käyrien kohdalla tämä ero on injektiivinen. Huomaa, että Torelli-kartta itsessään on myös injektiivinen hyperelliptisille käyrälle, vaikka siinä on rappeutunut differentiaali hyperelliptistä lokusta pitkin. Tätä väitettä kutsutaan Torellin lauseeksi käyriä varten. $\mathrm {Sym} ^{2}\Omega (C)^{*}$ $C$ $\mathrm {Teich} \to {\mathfrak {Z))$ $\mathrm {Sym} ^{2}\Omega (C)\to H^{0}(K_{C}^{2})$

Puolikäännöspinnat

Nolliensa ulkopuolella neliöinen differentiaali sallii hyvin määritellyn, vaikkakin etumerkkiin asti, neliöjuuren erotuksen: jos jossain kartassa toisen asteen differentiaalilla on muoto , jossa ei ole nollafunktio, niin holomorfinen 1-muoto täyttää . Tämä miinus muoto on ainoa muoto, jossa on tällainen ehto; Kukaan ei kuitenkaan luvannut, että tämän muodon analyyttinen jatkaminen nollan ympärillä ei vaihtaisi merkkiä. Näin ollen 1-muodosta tulee hyvin määritelty vasta sen jälkeen, kun kaksoispeite haarautuu nollien kohdalla . Sitä kutsutaan spektripeitoksi . Jos pinnan suku oli , eikä siinä ole useita nollia, niin sen spektripeitteen suku voidaan johtaa suhteesta Eulerin ominaisuuksiin , joka vastaa Riemannin-Hurwitzin kaavaa : (puhkaisemme ensin nollia, peitämme kahdesti ja puhkaise sitten nollat takaisin). Yksinkertaistettuna meillä on . Huomaa, että involuutio, joka järjestää uudelleen spektripäällysteen levyt, kuten edellä on käsitelty, vaikuttaa holomorfisten muotojen avaruuteen ja sillä on omat aliavaruutensa ominaisarvoille , ja lisäksi ensimmäinen identifioidaan holomorfisten muotojen nousuilla. tekijä - eli itse käyrä . Siksi se on -ulotteinen, ja spektrin peittämisen suhteen antiinvarianttien muotojen avaruudella on ulottuvuus . Näiden muotojen jaksot määrittävät paikalliset koordinaatit kotangenttikipun kokonaisavaruudessa siihen moduuliavaruuteen , josta moninollaisia muotoja vastaava osamonisto on jätetty pois. Lebesgue-mitan käänteiskuva määrittää äärellisen tilavuuden arvon kotangenttikimmun kokonaisavaruudessa, sen kokonaistilavuutta kutsutaan Mazur - Vicz- tilavuudeksi . Näiden määrien arvot ovat edelleen mysteeri. $q$ $f(z)dz\otimes dz$ $f(z)$ $\alpha ={\sqrt {f(z)}}dz$ $q=\alpha \otimes \alpha$ $-\alpha$ $\alpha$ $q$ $g$ $q$ $g'$ $2-2g'=2(2-2g-(4g-4))+4g-4$ $4g-4$ $g'=4g-3$ $+1$ $-yksi$ $C$ $g$ $4g-3-g=3g-3$ $\mathbb {C} ^{3g-3}$

Holomorfisen 1-muodon määrittelemätön integrointi antaa paikalliskoordinaatit sen nollien ulkopuolelle, joiden siirtymäfunktiot ovat rinnakkaiskäännöksiä , joita kutsutaan muuten käännöksiksi. Pintaa, jossa on tämän muotoinen atlas, kutsutaan translaatiopinnaksi . Geometrisesti se on yksinkertaisesti tasainen rakenne, jonka kokonaiskulma nollien kohdalla on :n kokonaislukukerrannainen . Vastaavasti voidaan integroida toisen asteen differentiaalin neliöjuuri (vaikka se on määritelty etumerkille asti). $z\mapsto z+c$ $2\pi$

Tarkemmin sanottuna olkoon nollasta poikkeava toisen asteen differentiaali Riemannin pinnalla ja olkoon sen nollia. Valitsemme niistä eri pisteen . Tällöin epämääräinen integraali on hyvin määritelty ja riippuu vain polun homotopialuokasta, erityisesti se määrittelee yleisen peitteen kartoituksen , jota kutsutaan kehitysmappaukseksi . Tämä antaa joukon kaavioita lävistetylle Riemannin pinnalle , joiden väliset uudelleenliimaustoiminnot yksinkertaistetaan (jossa etumerkki syntyy, koska neliöjuuren etumerkki voi muuttua nollaa kiertäessä). Tällaista geometrista rakennetta kutsutaan puolitranslaatiopinnaksi . Tekemällä tarpeeksi nollien välisiä leikkauksia, jotta pinta yksinkertaisesti yhdistetään, voidaan saavuttaa, että jäljellä olevalla alueella avautuvasta kuvauksesta tulee yksiarvoinen holomorfinen funktio, joka määrittelee kuvauksen monikulmioon. Siten pinta, jossa on toisen asteen differentiaali, voidaan esittää kompleksitasossa (mahdollisesti ei-kuperana) monikulmiona, jonka yhdensuuntaiset sivut on liimattu lain mukaan . Päinvastoin, jos pinta on toteutettu tällä tavalla tai joukolla karttoja, joissa on muodon uudelleenliimausfunktiot, tämän pinnan neliöllinen differentiaali palautetaan jokaisessa kartassa käänteisenä kuvana . On helppo nähdä, että nämä erot ovat yhdenmukaisia tämän tyyppisessä vanerissa. Geometrisesti puolitranslaatiopinta on tasainen rakenne, jossa on singulaarisuuksia, joiden täyskulmat ovat kerrannaisia . $q$ $C$ $Z_{q}=\{x_{1},\dots x_{4g-4}\}$ $z_{0}\in C$ $z\mapsto \int _{z_{0}}^{z}{\sqrt {q}}$ ${\widetilde {C\setminus Z_{q))}\to \mathbb {C}$ ${\displaystyle C\setminus Z_{q))$ $z\mapsto \pm z+c$ $z\mapsto \pm z+c$ $z\mapsto \pm z+c$ $dz\otimes dz$ $\pi$

Mitattavissa olevat foliaatiot

Neliödifferentiaalilla jokaisessa pisteessä, jossa se ei katoa, on kaksi todellista suuntaa, jotka vektorit ja , joissa luku (vastaavasti ) on positiivinen (vastaa negatiivinen). Kun pyyhkäisy näytetään, ne siirtyvät vaaka- ja pystysuunnassa . Pinnalla suuntakenttä määrittää foliation , ja näitä kahta keskenään kohtisuoraa foliaatiota kutsutaan vaaka- ja pystysuoraksi . Differentiaalin nollapisteissä näillä foliaatioilla on singulaarisuutta, nimittäin siellä tämän foliation integraalikäyrät konvergoivat sellaisessa määrässä, että kokonaiskulmalla tässä singulaarissa on tasainen rakenne, joka liittyy neliölliseen differentiaaliin. ${\displaystyle v_{+))$ $v_{-}$ $q(v_{+},v_{+})$ $q(v_{-},v_{-})$ $\mathbb {C}$

Todellisen foliation poikittaismitta voidaan määritellä seuraavasti. Riittävän pienessä kartassa foliaatio on yksinkertaisesti levyn projektio segmentille, jonka kerrokset ovat integraalikäyriä. Segmentin mitta määrittelee mitan mille tahansa käyrälle, joka leikkaa foliation poikittaissuunnassa. Kussakin kaaviossa olevaa tällaisten mittojen joukkoa, joka on yhdenmukainen kaavioiden leikkauskohdissa, kutsutaan poikittaismittaksi folioituneella pinnalla. Yksinkertaisesti sanottuna poikittaismitta antaa mille tahansa kaarelle , joka leikkaa kalvon poikittaissuunnassa, luvun , joka summautuu, kun kaari jaetaan pienempien kaarien liitoksi, eikä se muutu, jos kaari alkaa vaihdella, jolloin sen päät jäävät samoihin arkkeihin. foliaatiosta. Leveyttä, jossa on poikittaismitta, kutsutaan mitattavaksi foliaatioksi . Kvadraattiseen differentiaaliin liittyvien foliaatioiden tapauksessa yllä olevat projektiot ovat yksinkertaisesti projektioita mm:lle ja todellisille akseleille, joilla on oma luonnollinen Lebesgue-mitta . Siten neliöllinen differentiaali ei määrittele vain foliaatioparia, vaan mitattavissa olevia foliaatioita. $\xi$ $\mu (\xi )$

Jos on yksinkertainen suljettu käyrä, niin siinä olevan poikittaismitan arvo voidaan määritellä muodossa , jossa on joukko kaaria, jotka makaavat ja leikkaavat foliaatiota poikittain. Jos on luokka yksinkertaisia suljettuja käyriä aina isotoopiaan asti, mitattavissa olevan foliation leikkausnumero tämän luokan kanssa määritellään . Kahden mitattavan foliation sanotaan olevan ekvivalentti , jos ne antavat saman leikkauspisteen jokaisen yksinkertaisten suljettujen käyrien isotoopialuokan kanssa. Tämä on metrinen versio kahden suljetun differentiaalimuodon homologian käsitteestä: kaksi 1-muotoa ovat kohemologisia, jos niiden integraalit kaikissa homologialuokissa ovat samat. $\xi$ $\mu (\xi )=\sup _{\xi _{1},\dots ,\xi _{m))\sum _{i=1}^{m}\mu (\xi _{ i})$ $\xi _{i}$ $\xi$ $\sigma$ $\inf _{\xi \in \sigma }\mu (\xi )$

Yksi Hodge-teorian tavanomaisista seurauksista (itse asiassa pikemminkin sen kehityksen lähtökohta) on, että holomorfisten 1-muotojen avaruus Riemannin pinnalla voidaan tunnistaa ensimmäisen de Rham-kohomologian avaruuteen: jokainen de Rham-kohomologialuokka on edustettuna. ainutlaatuisella harmonisella muodolla Hodge-teorian peruslauseen mukaan, ja käyrän harmoniset muodot ovat täsmälleen holomorfisten todellisia osia. Samanlaisen topologisen kuvauksen holomorfisista tiedoista neliöllisille differentiaaleille antaa Mazur- Hubbard -lause: jokainen mitattavissa oleva foliaatio Riemannin pinnalla sallii, ja lisäksi ainutlaatuisen neliöllisen differentiaalin, jonka pystysuora foliaatio vastaa sitä.

Kirjallisuus

HM Farkas, I. Kra. Riemannin pinnat , matematiikan tutkinnon tekstit. Springer, 2. painos, 1992.
Michael Wolf. Mitattujen foliaatioiden toteuttamisesta harmonisten karttojen kvadraattisten differentiaalien kautta R-puihin