Petrovin luokittelu

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 3.10.2020 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Petrov-luokitus (joskus Petrov-Pirani-luokitus , harvoin Petrov-Pirani-Penrose-luokitus ) kuvaa Weil-tensorin mahdollisia algebrallisia symmetrioita kullekin pseudo-Riemannin moninkertaiselle tapahtumalle .

Tätä luokitusta käytetään aktiivisimmin tutkittaessa Einstein-yhtälöiden tarkkoja ratkaisuja , vaikka yleisesti ottaen se on abstrakti matemaattinen tulos, joka ei riipu mistään fysikaalisesta tulkinnasta. Luokituksen ehdotti ensimmäisen kerran vuonna 1954 A. Z. Petrov ja vuonna 1957 itsenäisesti Felix Pirani .

Luokittelulause

Sijoitusluokan 4 tensori , jolla on antisymmetria ensimmäisessä ja toisessa indeksiparissa, esimerkiksi Weilin tensori , jokaisessa jakosarjan pisteessä voidaan esittää lineaarisena operaattorina : toimii bivektorien vektoriavaruudessa : $C$ $T_{{p}}\times T_{{p}}\rightarrow T_{{p}}\times T_{{p}}$

X^{{ab}}\rightarrow {\frac {1}{2}}\,{C^{{ab}}}_{{mn}}X^{{mn}}

Tässä tapauksessa on luonnollista asettaa ongelma ominaisarvojen ja ominaisvektorien (tai ominaisbivektorien ) löytämisestä siten, että $\lambda$ $X^{{ab}}$

{\frac {1}{2}}\,{C^{{ab}}}_{{mn}}\,X^{{mn}}=\lambda \,X^{{ab}}

Neliulotteisissa pseudo-Riemannilaisissa monissa bivektorien avaruus on kussakin pisteessä kuusiulotteinen. Kuitenkin Weyl-tensorin symmetriat rajoittavat ominaisbivektorien avaruuden ulottuvuuden neljään. Siten Weil-tensorilla voi tietyssä pisteessä olla enintään neljä lineaarisesti riippumatonta ominaisbivektoria.

Aivan kuten tavallisessa lineaarioperaattorin ominaisvektoriteoriassa , Weyl-tensorin ominaisbivektorit voivat olla useita. Ominaisbivektorien moninkertaisuus ilmaisee Weyl-tensorin lisäalgebrallista symmetriaa tietyssä pisteessä; tämä tarkoittaa, että Weyl-tensorin symmetriatyyppi voidaan määrittää ratkaisemalla sen ominaisarvoille 4. kertaluvun yhtälö.

Weyl-tensorin ominaisbivektorit liittyvät tiettyihin monistossa oleviin isotrooppisiin vektoreihin, joita kutsutaan isotrooppisten pääsuuntien (tietyssä pisteessä). Luokittelulauseessa sanotaan, että on olemassa täsmälleen kuusi mahdollista algebrallisen symmetrian tyyppiä, jotka tunnetaan Petrovin tyypeinä :

Tyyppi I : neljä isotrooppista pääsuuntaa,
Tyyppi II : yksi kaksois- ja kaksi yksittäistä isotrooppista pääsuuntaa,
Tyyppi D : kaksi isotrooppista kaksoissuuntaa,
Tyyppi III : yksi kolminkertainen ja yksi suositus,
Tyyppi N : yksi isotrooppinen suunta, jonka monikertaluku on 4,
Tyyppi O : Weyl-tensori on nolla.

Tyypin I Weyl-tensorin (pisteessä) sanotaan olevan algebrallisesti yleinen ; muun tyyppisiä tensoreja kutsutaan algebrallisesti erikoisiksi . Erilaisilla aika-avaruuspisteillä voi olla erilainen Petrov-tyyppi. Mahdolliset siirtymät Petrov-tyyppien välillä on esitetty kuvassa, mikä voidaan myös tulkita siten, että jotkut Petrov-tyypit ovat erityisempiä kuin toiset. Esimerkiksi tyyppi I , yleisin tyyppi, voi rappeutua tyypeiksi II tai D , kun taas tyyppi II voi rappeutua tyypeiksi III , N tai D.

Belin kriteerit

Pseudo-Riemannin (Lorentzian) monistolle Weylin tensori voidaan laskea metrisen tensorin avulla . Jos Weilin tensori on jossain vaiheessa algebrallisesti erityinen , silloin on olemassa tehokas sääntöjoukko (Louis Belin löytämä) Petrov-tyypin määrittämiseksi pisteessä . Merkitään Weyl-tensorin komponentit pisteessä ( ja oletetaan, että ne ovat nollasta poikkeavat, eli se ei ole tyyppiä O ), jolloin Behl-kriteerit voidaan ilmaista seuraavasti: $M$ $p\in M$ $s$ $s$ $C_{{abcd}}$

$C_{{abcd}}$ on tyyppiä N , jos ja vain jos on olemassa ainutlaatuinen (kertoimeen asti) isotrooppinen vektori , joka tyydyttää $k(p)$

C_{{abcd}}\,k^{d}=0

Jos se ei kuulu tyyppiin N , se kuuluu tyyppiin III , jos ja vain jos on olemassa ainutlaatuinen (kertoimeen asti) isotrooppinen vektori , joka tyydyttää $C_{{abcd}}$ $C_{{abcd}}$ $k(p)$

C_{{abcd}}\,k^{b}k^{d}=0

$C_{{abcd}}$ on tyyppiä II , jos ja vain jos on olemassa ainutlaatuinen (kertoimeen asti) isotrooppinen vektori , joka tyydyttää $k$

C_{{abcd}}\,k^{b}k^{d}=\alpha k_{a}k_{c}

ja ( )

{}^{*}C_{{abcd}}\,k^{b}k^{d}=\beta k_{a}k_{c}

\alpha \beta \neq 0

$C_{{abcd}}$ on tyyppiä D , jos ja vain jos on kaksi lineaarisesti riippumatonta isotrooppista vektoria , jotka täyttävät ehdot: $k$ $k'$

C_{{abcd}}\,k^{b}k^{d}=\alpha k_{a}k_{c}

, ( )

{}^{*}C_{{abcd}}\,k^{b}k^{d}=\beta k_{a}k_{c}

\alpha \beta \neq 0

C_{{abcd}}\,k'^{b}k'^{d}=\gamma k'_{a}k'_{c}

, ( ).

{}^{*}C_{{abcd}}\,k'^{b}k'^{d}=\delta k'_{a}k'_{c}

\gamma \delta \neq 0

missä on tensori duaali Weil-tensorin kanssa pisteessä . ${{}^{*}C}_{{abcd}}$ $s$

Belin kriteereitä käytetään yleisessä suhteellisuusteoriassa, eli Petrov-tyyppi algebrallisesti erikoiselle Weyl-tensorille löydetään nollavektoreita käyttäen.

Fyysinen tulkinta

Yleisen suhteellisuusteorian mukaan Petrovin algebrallisesti erikoistyypeillä on mielenkiintoinen fysikaalinen tulkinta, joten niiden luokittelua kutsutaan usein gravitaatiokenttien luokitukseksi .

D-tyypin kenttäalueet liittyvät eristettyjen massiivisten taivaankappaleiden, kuten tähtien, gravitaatiokenttiin. Tarkemmin sanottuna D -tyypin kentät syntyvät paikallaan olevien kohteiden ympärille, joilla on vain massa ja liikemäärä fysikaalisina ominaisuuksina. (Monimutkaisemmalla dynaamisella kappaleella on nollasta poikkeavat moninapamomentit .) Kaksi pääasiallista isotrooppista suuntaa määrittelevät kaksi "säteittäisesti" lähentyvää ja hajaantuvaa isotrooppista perhettä lähellä gravitoivaa kappaletta.

Sähkögravitaatiotensori (tai vuorovesitensori ) D - tyypinkanssa, joita kuvataan Newtonin painovoimalla Coulombin gravitaatiopotentiaalilla . Tällaiselle vuorovesikentälle on tunnusomaista laajentuminen yhteen suuntaan ja puristuminen ortogonaalisissa suunnissa; ominaisarvoilla on ominaiskuvio (-2,1,1). Esimerkiksi maapallon kiertoradalla oleva satelliitti kokee hieman radiaalista laajenemista ja lievää ortogonaalista puristusta. Kuten Newtonin painovoimassa, vuorovesikenttä pienenee, missä on etäisyys gravitaatiokappaleesta. $O(r^{{-3}})$ $r$

Jos keho pyörii jonkin akselin ympäri, niin vuorovesivaikutusten lisäksi ilmaantuu erilaisia gravitomagneettisia vaikutuksia , kuten havainnoijan gyroskooppeihin vaikuttava spin-spin-vuorovaikutus . Kerr-tyhjiössä , joka on tyypillinen esimerkki D -tyypin tyhjiökentästä , tämä osa kentästä vaimenee . $O(r^{{-4}})$

Tyypin III alueet liittyvät ajassa muuttuvan gravitaatiokentän (jota joskus kutsutaan pitkittäispainovoimasäteilyksi) pitkittäisosaan. Näillä alueilla vuorovesivoimat ovat luonteeltaan siirtymiä. Tämä on melko vähän tutkittu kenttätyyppi, osittain siksi, että heikon kentän approksimaatiossa nouseva gravitaatiosäteily on tyyppiä N , koska tyypin III kenttä pienenee kuten , eli paljon nopeammin kuin tyypin N säteily , ja näin ollen ei jätä lähde. $O(r^{{-2}})$

N-tyypin alueet liittyvät poikittaissuuntaiseen gravitaatiosäteilyyn , jonka tähtitieteilijät havaitsivat vuonna 2015 . Nelinkertainen isotrooppinen suunta vastaa säteilyn etenemissuuntaa kuvaavaa aaltovektoria . Säteilyn amplitudi yleensä pienenee , joten etäisen lähteen gravitaatiokenttä on aina säteilevä ja tyyppiä N . $O(r^{{-1}})$

Tyyppi II yhdistää tyypin D , III ja N kenttien vaikutukset melko monimutkaisella epälineaarisella tavalla.

O -tyypin alueet tai konformisesti euklidiset alueet ovat vyöhykkeitä, joissa Weil-tensori on identtisesti yhtä suuri kuin nolla. Tässä tapauksessa kaarevuustensori on puhdas Ricci . Konformaalisesti euklidisilla alueilla gravitaatiovaikutukset syntyvät vain aineen tai jonkin ei-gravitaatiokentän (esimerkiksi sähkömagneettisen kentän ) energian hetkellisen läsnäolon vuoksi. Eräässä mielessä tämä tarkoittaa, että mitkään etäobjektit eivät vaikuta tapahtumiin tällä alueella; tarkemmin sanottuna, jos syrjäisillä alueilla on gravitaatiodynamiikkaa, uutiset siitä eivät ole vielä saavuttaneet tarkasteltavana olevaa konformaalista euklidista vyöhykettä.

Eristetyn järjestelmän lähettämä gravitaatiokenttä ja sitä kautta gravitaatiosäteily ei yleensä ole algebrallisesti erityinen äärellisellä etäisyydellä lähteestä. Jakolause kuvaa kuinka eri tyyppiset kentät "halkeavat" havainnointiaseman siirtyessä pois säteilylähteestä, kunnes vain N -tyyppinen säteily jää pitkiin etäisyyksiin . Samanlainen lause on olemassa sähkömagnetismissa.

Esimerkkejä

Joillekin Einstein-yhtälöiden täsmällisille ratkaisuille Weyl-tensorilla on sama tyyppi jokaisessa maailmanpisteessä :

Kerr-mittari tyhjiössä on tyyppiä D ,
Robinson-Trautman-avaruus - tyyppi III ,
pp-aallot ovat tyyppiä N ,
Friedman-Robertson-Walker-mittari on tyyppiä O kaikkialla .

Yleensä mielivaltaisen pallosymmetrisen aika-avaruuden on oltava algebrallisesti erityinen ja minkä tahansa staattisen aika-avaruuden on oltava tyyppiä D .

Kirjallisuus

Suhteellisuusteoriaosasta Arkistoitu 14. heinäkuuta 2007 Wayback Machinessa matemaattisten yhtälöiden maailmassa -- EqWorld Arkistoitu 3. lokakuuta 2008 Wayback Machinessa :