Kuutiomainen pyramidi

kuutiomainen pyramidi
Schlegel-kaavio : säännöllisen kuutiopyramidin projektio ( perspektiivi ) kolmiulotteiseen avaruuteen
Tyyppi	Monitahoinen pyramidi
Schläfli-symboli	( ) ∨ {4,3} ( ) ∨ [{4} × { }] ( ) ∨ [{ } × { } × { }]
soluja	7
kasvot	kahdeksantoista
kylkiluut	kaksikymmentä
Huiput	9
Kaksoispolytooppi	Oktaederinen pyramidi

Kuutiopyramidi on neliulotteinen monitahoinen (monisoluinen): monitahoinen pyramidi , jossa on kuution kanta .

Kuvaus

Rajoitettu 7 3D-soluun - 6 neliöpyramidia ja 1 kuutio. Kuutiosolua ympäröivät kaikki kuusi pyramidimuotoista solua; jokaista pyramidisolua ympäröi kuutio ja neljä pyramidisolua.

Kuutiopyramidissa on 18 sivua - 6 neliötä ja 12 kolmiota . Jokainen neliöpinta erottaa kuutio- ja pyramidisolun, kukin kolmiopinta erottaa kaksi pyramidin muotoista.

Siinä on 20 kylkiluuta. Kolme pintaa ja kolme solua suppenevat kummassakin reunassa: 12 reunalla nämä ovat kaksi neliömäistä ja kolmiomaista pintaa, kuutio- ja kaksi pyramidisolua; jäljellä oleville 8 reunalle - kolme kolmiopintaa, kolme pyramidisolua.

Siinä on 9 huippua. Kahdeksassa kärjessä 4 reunaa yhtyvät, kussakin 6 pintaa (kolme neliötä, kolme kolmiota) ja 4 solua (kuutio, kolme pyramidia); 1 kärjessä - 8 reunaa, kaikki 12 kolmiopintaa ja kaikki 6 pyramidisolua.

Normaalipintainen kuutiopyramidi

Jos kuutiopyramidin kaikki reunat ovat yhtä pitkiä , niin kaikki sen pinnat ovat säännöllisiä monikulmioita . Tällaisen pyramidin pinnan neliulotteinen hypertilavuus ja kolmiulotteinen hyperalue ilmaistaan vastaavasti seuraavasti: $a$

V_{4}={\frac {1}{8}}\;a^{4}=0{,}1250000a^{4},

S_{3}=\left(1+{\sqrt {2}}\right)a^{3}\noin 2{,}4142136a^{3}.

Pyramidin korkeus on silloin

H={\frac {1}{2}}\;a=0{,}5000000a,

kuvatun hyperpallon säde (joka kulkee monisolun kaikkien kärkien läpi) -

R=a=1{,}0000000a,

suuremman puolikirjoitetun hyperpallon säde (koskee kaikkia reunoja niiden keskipisteissä) on

\rho _{1}={\frac {\sqrt {3}}{2}}\;a\noin 0{,}8660254a,

pienemmän puolikirjoitetun hyperpallon säde (koskee kaikkia kasvoja) -

\rho _{2}={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}\right)a\approx 0{,}5176381a,

kirjoitetun hyperpallon säde (koskee kaikkia soluja) -

r={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {2}}-1\right)a\noin 0{,}2071068a.

Kirjoitetun hyperpallon keskus sijaitsee pyramidin sisällä; rajattujen ja suurempien puolikirjoitettujen hyperpallojen keskipisteet ovat samassa kohdassa pyramidin ulkopuolella, symmetrisesti pyramidin huipulle sen kantaan nähden; pienemmän puolikirjoitetun hyperpallon keskus on toisessa pisteessä pyramidin ulkopuolella.

Tällainen pyramidi voidaan saada ottamalla minkä tahansa 24-soluisen kärjen kupera runko ja kaikki 8 naapuripistettä, jotka on liitetty siihen reunalla.

Kahden vierekkäisen pyramidisolun välinen kulma on sama kuin vierekkäisten oktaedrisen solujen välillä 24 solussa. Kuutiosolun ja minkä tahansa pyramidin välinen kulma on yhtä suuri $120^{\circ },$ $45^{\circ }.$

Koordinaateissa

Säännöllinen pintainen kuutiopyramidi, jolla on reunan pituus , voidaan sijoittaa suorakulmaiseen koordinaatistoon niin, että sen kärjeillä on koordinaatit $2$

$\left(\pm 1;\;\pm 1;\;\pm 1;\;0\right),$
$\left(0;\;0;\;0;\;1\right).$

Tässä tapauksessa rajattujen ja suurempien puolikirjoitettujen hyperpallojen keskipisteet sijaitsevat pienemmän puolikirjoitetun hyperpallon keskipisteessä - pisteessä , jossa on piirretyn hyperpallon keskipiste - pisteessä $(0;\;0;\;0;\;-1),$ $(0;\;0;\;0;\;{\sqrt {3}}-2),$ $(0;\;0;\;0;\;{\sqrt {2}}-1).$

Tilan täyttö

Tesserakti voidaan leikata kahdeksaan identtiseen säännöllispintaiseen kuutiomaiseen pyramidiin (joiden kärjet ovat tesseraktin keskellä ja pohjat sen kahdeksassa kuutiossa olevassa solussa) - aivan kuten kuutio leikataan 6 neliön muotoiseksi pyramidiksi (jotka eivät kuitenkaan ole säännöllisiä -kasvot tässä tapauksessa).

Ja koska neliulotteinen avaruus on mahdollista päällystää tesserakteilla ilman rakoja ja päällekkäisyyksiä, säännöllispintainen kuutiopyramidi on myös monisoluinen, täyttävä neliulotteinen avaruus.

Tämä voidaan todistaa toisella tavalla: leikkaamalla 24 solu (joka täyttää myös neliulotteisen avaruuden) 16 identtiseksi säännöllispintaiseksi kuutiopyramidiksi .

Linkit

Richard Klitzing. Kuutiomainen pyramidi