Nakayaman Lemma

Nakayaman lemma on tärkeä tekninen lemma kommutatiivisessa algebrassa ja algebrallisessa geometriassa , seurausta Cramerin säännöstä . Nimetty Tadashi Nakayaman mukaan .

Formulaatiot

Sillä on monia vastaavia formulaatioita. Tässä on yksi niistä:

Olkoon R kommutatiivinen rengas , jonka identiteetti on 1, I ideaali R : ssä ja M äärellisesti generoitu moduuli R: n yli . Jos IM = M , niin on olemassa sellainen ∈ I , että jokaisella m ∈ M am = m .

Todiste lemmasta. Olkoon moduulin M generaattoreita . Koska M = IM , jokainen niistä voidaan esittää muodossa $m_{1},m_{2},...,m_{n}$

m_{i}=a_{{i1}}m_{1}+a_{{i2}}m_{2}+\pisteet +a_{{in}}m_{n}

, missä ovat elementtejä ihanteesta I . Eli (missä on Kronecker-symboli ).

a_{{ij}}

\sum \limits _{{j}}(\delta _{{ij}}-a_{{ij}})m_{j}=0

\delta _{{ij}}

Cramerin tämän järjestelmän kaavasta seuraa , että mille tahansa j :lle

\operaattorinimi {det}(\delta _{{ij}}-a_{{ij}})\cdot m_{j}=0

Koska edustamme muodossa 1 − a , a luvusta I , lemma on todistettu. $\operaattorin nimi {det}(\delta _{{ij}}-a_{{ij}})$

Todistetun lausunnon seuraava seuraus tunnetaan myös nimellä Nakayaman lemma:

Johtopäätös 1: Jos ideaalilla I on lemman ehdoissa se ominaisuus, että jokaiselle sen elementille a elementti 1 − a on käännettävä (tämä on esimerkiksi tilanne, jos I sisältyy Jacobsonin radikaaliin ) , sen on oltava M = 0 .

Todiste . Ideaalista I on sellainen alkio a , että aM = M , joten (1 − a)M = 0, kertomalla vasemmalta elementillä käänteisarvo 1 − a :ksi , saadaan M = 0.

Sovellus moduuleille paikallisten renkaiden kautta

Olkoon R paikallinen rengas , olkoon R : n maksimiideaali , M äärellisesti generoitu R - moduuli ja tekijöiden homomorfismi. Nakayaman lemma tarjoaa kätevän tavan siirtyä moduulista M paikallisen renkaan R yli osamäärämoduuliin , joka on äärellisulotteinen vektoriavaruus kentän päällä . Myös seuraavaa lausuntoa pidetään eräänä Nakayaman lemman muotona tässä tapauksessa: $\mathfrak{m}$ $\phi :M\to M/{\mathfrak {m}}M$ $M/{\mathfrak {m}}M$ $R/{\mathfrak {m}}$

Elementit luovat moduulin M silloin ja vain, jos niiden kuvat luovat osamäärämoduulin . $m_{1},m_{2},...,m_{n}\in M$ $\phi (m_{1}),\phi (m_{2}),...,\phi (m_{n})$ $M/{\mathfrak {m}}M$

Todiste. Olkoon S elementtien generoima alimoduuli M :ssä , Q = M/S tekijämoduuli ja tekijöiden homomorfismi. Koska ne luovat osamäärämoduulin , tämä tarkoittaa, että jokaiselle on olemassa sellainen, että . Sitten . Koska se on surjektiivinen, tämä tarkoittaa, että . Nakayaman lemman mukaan (tarkemmin johtopäätöksen 1 mukaan) Q=0 eli S=M . $m_{1},m_{2},...,m_{n}$ $\pi :M\to Q$ $\phi (m_{1}),\phi (m_{2}),...,\phi (m_{n})$ $M/{\mathfrak {m}}M$ $m\in M$ $s\in S$ $ms\in {\mathfrak {m}}M$ $\pi (m)=\pi (ms)\in {\mathfrak {m}}Q$ $\pi$ $Q={\mathfrak {m}}K$

Nakayaman lemmasta on toinen versio paikallisten renkaiden ylittäville moduuleille:

Olkoon äärellisesti generoitujen R -moduulien homomorfismi . Se saa aikaan osamäärämoduulin homomorfismin . Nämä homomorfismit ovat joko surjektiivisia tai ei-surjektiivisia samanaikaisesti. $\phi :\,M\to N$ $\phi _{0}:\,M/{\mathfrak {m}}M\to N/{\mathfrak {m}}N$

Tämän Nakayaman lemman muodon perusteella johdetaan seuraava tärkeä lause:

Jokainen ( rajallisesti luotu ) projektiivinen moduuli paikallisen renkaan yli on ilmainen.

Kirjallisuus

M. Atiyah, I. MacDonald. Johdatus kommutatiiviseen algebraan. — M .: Mir , 1972. — 160 s.

Katso myös

Tadashi Nakayama