Sollertinskyn Lemma

Sollertinskyn lemma on projektiiivisen geometrian lausunto .

Antaa olla mielivaltainen piste ja olla projektiivinen muunnos. Sitten joukko leikkauspisteitä ja , missä on läpi kulkeva viiva , on pisteiden läpi kulkeva kartiomainen $P$ $f$ $l$ $f(l)$ $l$ $P$ $P$ $f(P).$

Todiste

Antaa , , olla linjat läpi pisteen , , , on leikkauspisteet ja , ja , ja . Viisi pistettä , , , , määrittelevät kartiomaisen , lisäksi ainoan. Olkoon toinen leikkauspiste linjan läpi kulkevan , Tämän kartiomainen, Ja leikkauspisteen linjan tämän kartiomainen, . Sitten seuraavat kaksoissuhteet ovat yhtä suuret : . Tästä syystä , eli linjat ja leikkaavat samalla kartiolla. Johtuen linjan valinnan mielivaltaisuudesta $a$ $b$ $c$ $P$ $A$ $B$ $C$ $a$ $fa)$ $b$ $f(b)$ $c$ $f(c)$ $A$ $B$ $C$ $P$ $f(P)$ $d$ $P$ $D'$ $f(d)$ $D''$ $(A;B;C;D')=(a;b;c;d)=(f(a);f(b);f(c);f(d))=(A,B,C, D'')$ $D'=D''$ $d$ $f(d)$ $d$ kaikki tällaiset leikkauspisteet sijaitsevat sen päällä tarpeen mukaan.

Historia

Lemma on nimetty pietarilaisen matemaatikon N. Sollertinskyn mukaan, joka käytti sitä todistamaan Sonda-lauseen vuonna 1896 . [1] Itse asiassa tämä lausunto oli tiedossa ennen Sollertinskyä; se johtuu myös Jacob Steineristä .

Erikoistapaukset ja seuraukset

Jos on tason liike , joka säilyttää kuvioiden suunnan, niin tuloksena oleva kartio on ympyrä. Tämä vastaa sisäänkirjoitetun kulman lausetta . $f$
Jos - tason liike , joka muuttaa kuvioiden suuntaa, niin tuloksena oleva kartio on tasasivuinen hyperbola . Tämä johtuu siitä tosiasiasta, että kuvattu kartio kulkee kolmion ortosenterin läpi silloin ja vain, jos se on tasasivuinen hyperboli. $f$
Sollertinskin lemman kaksoislause on seuraava:

Antaa olla mielivaltainen viiva ja olla projektiivinen muunnos. Sitten kaikki suorat , joissa on piste , ovat tangentti viivojen kartiotangentille ja $l$ $f$ $Pf(P)$ $P$ $l$ $l$ $f(l).$

Olkoon samanlaisia tasakylkisiä kolmioita , , , rakennetaan mielivaltaisen kolmion sivuille ulommalle (sisäiselle) puolelle . Sitten suorat , , leikkaavat yhdessä pisteessä , joka sijaitsee sen keskipisteen ja ortosentin , Kiepertin hyperbolin kautta kulkevalla rajatulla hyperbolalla . $ABC$ $ABC'$ $ACB'$ $BCA'$ $AA'$ $BB'$ $CC'$
Jos kaksi kolmiota ovat ortologisia ja ortologian keskukset osuvat yhteen, ne ovat lupaavia.
- Sollertinsky käytti tätä väitettä Sondin lauseen todistuksessa.
- Se tarkoittaa myös, että jos kaksi kolmiota ovat polaarisia , ne ovat perspektiiviä.

Muistiinpanot

↑ Akopyan A. V. , Zaslavsky A. A .. Toisen kertaluvun käyrien geometriset ominaisuudet. - 2. painos, täydennetty .. - M . : MTSNMO , 2011. - 148 s. - ISBN 978-5-94057-732-4 .