Logaritminen potentiaali

Logaritminen potentiaali on funktio, joka on määritelty kohdassa ℝ 2 yleistetyn funktion ρ konvoluutiona funktiolla -ln | z |:

V=-\rho \ln |z|.

Logaritminen potentiaali täyttää Poissonin yhtälön Δ V = −2πρ. Analogisesti Newtonin potentiaalin kanssa voimme tarkastella logaritmisen potentiaalin kolmea erityistapausta.

Fyysinen merkitys

Logaritmisten potentiaalien fyysinen merkitys on, että ne vastaavat varausten (tai massojen ) luomaa potentiaalia kaksiulotteisessa sähköstaatissa (tai kaksiulotteisessa Newtonin painovoimassa) jakaantuneena (kaksiulotteisella) tiheydellä ρ. Perinteisen kolmiulotteisen sähköstatiikan näkökulmasta puhumme sähköstaattisesta potentiaalista, jonka synnyttää varausjakauma, jolla on translaatiosymmetriaa pitkin yhtä spatiaalista akselia (tasoon nähden kohtisuoraa akselia pitkin, karteesiset koordinaatit, joilla on vektorin z komponentit - tai sen reaali- ja imaginaariosat, jos z pidetään kompleksilukuna), toisin sanoen kolmannesta koordinaatista riippumaton varausten jakautuminen vakiona sitä pitkin (varautuneen säikeen potentiaali).

Alueen potentiaali

V(z)=\iint \limits _{G}\rho (\zeta )\ln {\frac {1}{|z-\zeta |}}d\xi \,d\eta ,\qquad \zeta =\xi +i\eta .

Jos , niin potentiaali itsessään on harmoninen ja $\rho (z)\in C({\overline {G)))$ $V(z)\in C^{1}(\mathbb {R} ^{2})$ $\mathbb {R} ^{2}\setminus G$

V(z)=\ln {\frac {1}{|z|}}\iint \limits _{G}\rho (\zeta )d\xi \,d\eta +O\left({ \frac {1}{|z|}}\right),\ |z|\rightarrow \infty .

Tässä, kuten usein tehdään, tarkoitetaan esittämistä monimutkaisena tasona; määritelmien puitteissa tämä ei kuitenkaan ole olennaista, ja tässä mielessä kompleksimuuttujat voidaan korvata yksinkertaisesti kaksiulotteisilla vektoreilla ja kompleksiluvun moduuli euklidisella normilla , ja jos se on myös monimutkainen, sen todellista ja kuvitteellista osaa voidaan tarkastella erikseen. $\mathbb {R} ^{2}$ $\zeta ,\z$ $\mathbb {R} ^{2}$ $\rho$

Yksinkertaisen kerroksen logaritminen potentiaali

V^{(0)}(z)=\mu \delta _{S}\ln {\frac {1}{|z|}}=\int \limits _{S}\mu (\zeta )\ln {\frac {1}{|z-\zeta |}}dS_{\zeta }.

Jos , niin potentiaali itsessään on harmoninen ja ${\näyttötyyli \mu (z)\in C(S)}$ $V^{(0)}(z)\in C(\mathbb {R} ^{2})$ $\mathbb {R} ^{2}\setminus S$

V^{(0)}(z)=\ln {\frac {1}{|z|}}\int \limits _{S}\mu (\zeta )dS_{\zeta }+O\ vasen({\frac {1}{|z|}}\oikea),\ |z|\rightarrow \infty .

Jos S on Ljapunov-käyrä , niin potentiaalilla on derivaattoja ja niiden epäjatkuvuus havaitaan itse käyrällä:

\left({\frac {\partial V^{(0)}}{\partial \mathbf {n} }}\oikea){\Bigg |}_{+}=-\pi \mu (z )+{\frac {\partial V^{(0)}(z)}{\partial \mathbf {n} )),

\left({\frac {\partial V^{(0)}}{\partial \mathbf {n} }}\right){\Bigg |}_{-}=\pi \mu (z) +{\frac {\partial V^{(0)}(z)}{\partial \mathbf {n} )).

Kaksikerroksinen logaritminen potentiaali

V^{(1)}(z)=-\ln {\frac {1}{|z|}}*{\frac {\partial }{\partial \mathbf {n} }}(\nu \delta _{S})=\int \limits _{S}\nu (\zeta ){\frac {\partial }{\partial \mathbf {n} }}\left(\ln {\frac {1} {|z-\zeta |}}\right)dS_{\zeta }=\int \limits _{S}\nu (\zeta ){\frac {\cos \varphi }{|z-\zeta |}} dS_{\zeta },

missä φ on pisteen ζ normaalin ja pisteestä z tähän pisteeseen vedetyn sädevektorin välinen kulma .

Jos , niin potentiaali itsessään on harmoninen ja ${\näyttötyyli \nu (z)\in C(S)}$ $V^{(1)}(z)$ $\mathbb {R} ^{2}\setminus G$

V^{(1)}(z)=O\left({\frac {1}{|z|}}\right),\ |z|\rightarrow \infty .

Jos S on Ljapunov-käyrä , niin:

V^{(1)}\in C({\overline {G)))\cap C(S)\cap C(\mathbb {R} ^{2}\setminus G)

V_{+}^{(1)}(z)=\pi \nu (z)+V^{(1)}(z),

V_{-}^{(1)}(z)=-\pi \nu (z)+V^{(1)}(z).

Jos lisäksi tiheys on vakioarvo, potentiaali on yhtä suuri kuin

V^{(1)}={\begin{cases}-2\pi \nu ,\ z\in G,\\-\pi \nu ,\ z\in S,\\0,\ z \in \mathbb {R} ^{2}\setminus {\overline {G}}.\end{cases}}

Katso myös

Kirjallisuus

Vladimirov V. S. , Zharinov V. V. Matemaattisen fysiikan yhtälöt. — M.: Fizmatlit, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5 .
A.N. Tikhonov, A.A. Samara. Matemaattisen fysiikan yhtälöt. - M.: Nauka, 1972.

Linkit

[bse.sci-lib.com/article091961.html Potentiaalia suuressa Neuvostoliiton tietosanakirjassa]