Maaginen neliö

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 29. huhtikuuta 2022 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 19 muokkausta .

Magic , tai maaginen neliö - neliötaulukko , joka on täytetty eri numeroilla siten, että kunkin rivin, jokaisen sarakkeen ja molempien diagonaalien numeroiden summa on sama. Jos vain rivien ja sarakkeiden lukujen summat ovat yhtä suuret neliössä, sitä kutsutaan semimaagiseksi . Normaali neliö on maaginen neliö, joka on täytetty luonnollisilla luvuilla välillä - . Maagista neliötä kutsutaan assosiatiiviseksi tai symmetriseksi , jos minkä tahansa kahden neliön keskustan ympärillä symmetrisesti sijaitsevan luvun summa on yhtä suuri kuin . $n\ kertaa n$ $n^{2}$ $yksi$ $n^{2}$ $n^{2}+1$

Normaalit maagiset neliöt ovat olemassa kaikille tilauksille paitsi , vaikka tapaus on triviaali - neliö koostuu yhdestä numerosta. Pienin ei-triviaali tapaus on esitetty alla, sen järjestys on 3. $n\geq 1$ $n = 2$ $n = 1$

		3	9	kahdeksan	$\nuoli oikealle$	viisitoista
		kymmenen	6	2	$\nuoli oikealle$	viisitoista
		5	neljä	9	$\nuoli oikealle$	viisitoista
	$\swarrow$	$\alaspäin$	$\alaspäin$	$\alaspäin$	$\searrow$
viisitoista		viisitoista	viisitoista	viisitoista		viisitoista

Kunkin rivin , sarakkeen ja diagonaalin lukujen summaa kutsutaan maagiseksi vakioksi M. Normaalin maagisen neliön maaginen vakio riippuu vain n :stä ja sen antaa

M(n)={\frac {n(n^{2}+1)}{2))

Miksi se on niin?

Olkoon neliö, jossa on sivu Sitten siinä on numeroita. $n.$ $n^{2}$

Toisaalta lukujen summa $S=1+2+3+\ldots +n^{2}={\cfrac {n^{2}}{2}}(n^{2}+1).$

Toisaalta, $S=nM.$

Yhtälöimällä saamme halutun kaavan.

Maagisten vakioiden ensimmäiset arvot on annettu seuraavassa taulukossa (sekvenssi A006003 OEIS : ssä ):

Tilaus $n$	3	neljä	5	6	7	kahdeksan	9	kymmenen	yksitoista	12	13
$M(n)$	viisitoista	34	65	111	175	260	369	505	671	870	1105

4+5+6 = 15

7+8+9+10 = 34

11+12+15+16+17 = 65

18+19+20+21+22+23 = 111

24+25+26+27+28+29+30 = 175

Historiallisesti merkittävät maagiset neliöt

Lo Shu Square

Lo Shu ( kiinalainen trad. 洛書, ex. 洛书, pinyin luò shū ) Ainoa normaali 3×3 taikaneliö. Se tunnettiin muinaisessa Kiinassa , ensimmäinen kuva kilpikonnan kuoresta juontaa juurensa 2200 eKr. e.

5	kymmenen	3
neljä	6	kahdeksan
9	2	7

Länsieurooppalaisessa perinteessä tätä neliötä kutsutaan Saturnuksen sinetiksi (Sigillum Saturni). Neliöparametrit: 3, 9, 15, 45 (3x3, 9 solua, summa kaikkiin suuntiin on 15, neliön kaikkien lukujen summa on 45). [yksi]

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45

45 : 3 = 15

Neliö löytyi Khajurahosta (Intia)

Varhaisin ainutlaatuinen maaginen neliö löytyy 1000-luvulta peräisin olevasta kaiverruksesta Intian Khajurahon kaupungissa :

7	12	yksi	neljätoista
2	13	kahdeksan	yksitoista
16	3	kymmenen	5
9	6	viisitoista	neljä

Tämä on ensimmäinen maaginen neliö, joka kuuluu niin kutsuttujen "paholaisen" neliöiden lajikkeeseen [2] .

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 = 136

136 : 4 = 34

Yang Huin maaginen neliö (Kiina)

XIII vuosisadalla. matemaatikko Yang Hui käsitteli maagisten neliöiden konstruointimenetelmiä. Muut kiinalaiset matemaatikot jatkoivat hänen tutkimustaan. Yang Hui piti maagisia neliöitä paitsi kolmannen, myös korkeamman tason. Jotkut hänen neliöistään olivat melko monimutkaisia, mutta hän antoi aina säännöt niiden rakentamiseen. Hän onnistui rakentamaan kuudennen kertaluvun maagisen neliön, ja jälkimmäinen osoittautui melkein assosiatiiviseksi (vain kaksi keskeisesti vastakkaista lukuparia siinä eivät laske yhteen 37:ää) [3] :

27	29	2	neljä	13	36
9	yksitoista	kaksikymmentä	22	31	kahdeksantoista
32	25	7	3	21	23
neljätoista	16	34	kolmekymmentä	12	5
28	6	viisitoista	17	26	19
yksi	24	33	35	kahdeksan	kymmenen

Kaikkien 36 luvun summa on 666

666 : 6 = 111

Albrecht Dürerin aukio

Albrecht Dürerin kaiverruksessa Melancholia I kuvattua 4x4-kokoista maagista neliötä pidetään eurooppalaisen taiteen varhaisimpana [4] . Alimman rivin kaksi keskimmäistä numeroa osoittavat kaiverruksen luomispäivämäärän ( 1514 ).

17	neljä	3	neljätoista
6	12	13	9
kymmenen	kahdeksan	9	13
5	17	16	2

Minkä tahansa vaaka-, pysty- ja diagonaalin lukujen summa on 34. Tämä summa esiintyy myös kaikissa kulmaruuduissa 2×2, keskusneliössä (10+11+6+7), kulmasolujen neliössä (16+). 13+4+1 ), "ritariliikkeen" rakentamissa ruuduissa (2+12+15+5 ja 3+8+14+9), lävistäjän suuntaisten suorakulmioiden kärjessä (2+8+ 15+9 ja 3+12+14+5 ), suorakulmioissa, jotka muodostuvat vastakkaisten sivujen keskisolupareista (3+2+15+14 ja 5+8+9+12). Suurin osa ylimääräisistä symmetrioista johtuu siitä, että minkä tahansa kahden keskeisesti symmetrisen luvun summa on 17.

Tämä neliö on "Jupiterin sinetti" (Sigillum Iouis), siinä on parametrit: 4, 16, 34, 136 (koko 4x4, 16 solua, suuntien summa on 34, kaikkien numeroiden summa on 136). [yksi]

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 = 136

136 : 4 = 34

Magic squares by Athanasius Kircher [1]

Mars Square

Marsin neliöllä tai sinetillä (Sigillum Martis) on seuraavat parametrit: 5, 25, 65, 325 (koko 5x5, 25 solua, suuntien summa on 65, kaikkien lukujen summa on 325).

12	25	kahdeksan	21	neljä
5	13	26	9	17
kahdeksantoista	6	neljätoista	22	kymmenen
yksitoista	19	2	viisitoista	23
24	7	kaksikymmentä	3	16

325 : 5 = 65

Auringon neliö

Auringon sinetillä (Sigillum Solis) on seuraavat parametrit: 6, 36, 111, 666 (koko 6x6, 36 solua, summa suuntiin on 111, kaikkien lukujen summa on 666).

6	32	3	34	35	yksi
7	yksitoista	27	28	kahdeksan	kolmekymmentä
19	neljätoista	16	viisitoista	23	24
kahdeksantoista	kaksikymmentä	22	21	17	13
25	29	kymmenen	9	26	12
36	5	33	neljä	2	31

666 : 6 = 111

Venuksen aukio

Venuksen sinetillä (Sigillum Veneris) on seuraavat parametrit: 7, 49, 175, 1225 (koko 7x7, 49 solua, suuntien summa on 175, kaikkien numeroiden summa on 1225).

22	47	16	41	kymmenen	35	neljä
5	23	48	17	42	yksitoista	29
kolmekymmentä	6	24	49	kahdeksantoista	36	12
13	31	7	25	43	19	37
38	neljätoista	32	yksi	26	44	kaksikymmentä
21	39	kahdeksan	33	2	27	45
46	viisitoista	40	9	34	3	28

1225 : 7 = 175

Merkuriuksen neliö

Merkuriuksen sinetillä (Sigillum Mercurio) on parametrit: 8, 64, 260, 2080 (koko 8x8, 64 kennoa, suuntien summa on 260, kaikkien numeroiden summa on 2080).

kahdeksan	58	59	5	neljä	62	63	yksi
49	viisitoista	neljätoista	52	53	yksitoista	kymmenen	56
41	23	22	44	45	19	kahdeksantoista	48
32	34	35	29	28	38	39	25
40	26	27	37	36	kolmekymmentä	31	33
17	47	46	kaksikymmentä	21	43	42	24
9	55	54	12	13	51	viisikymmentä	16
64	2	3	61	60	6	7	57

2080 : 8 = 260

Kuun neliö

Kuun sinetillä (Sigillum Lune) on seuraavat parametrit: 9, 81, 369, 3321 (koko 9x9, 81 solua, suuntien summa on 369, kaikkien numeroiden summa on 3321).

37	78	29	70	21	62	13	54	5
6	38	79	kolmekymmentä	71	22	63	neljätoista	46
47	7	39	80	31	72	23	55	viisitoista
16	48	kahdeksan	40	81	32	64	24	56
57	17	49	9	41	73	33	65	25
26	58	kahdeksantoista	viisikymmentä	yksi	42	74	34	66
67	27	59	kymmenen	51	2	43	75	35
36	68	19	60	yksitoista	52	3	44	76
77	28	69	kaksikymmentä	61	12	53	neljä	45

3321 : 9 = 369

Henry E. Dudeneyn ja Allan W. Johnson Jr.:n neliöt

Jos ei-tarkka luonnollinen lukusarja syötetään neliömatriisiin n × n , tämä maaginen neliö on ei -perinteinen . Alla on kaksi tällaista taikaneliötä, jotka on täytetty alkuluvuilla (vaikka 1:tä ei pidetä alkulukuna nykyaikaisessa lukuteoriassa). Ensimmäisen järjestys on n=3 (Dudeneyn neliö); toinen ( koko 4x4 ) on Johnson-neliö. Molemmat kehitettiin 1900-luvun alussa [5] :

68	2	44
neljätoista	38	62
32	74	kahdeksan

neljä	62	kaksikymmentä	40
44	32	neljä	42
kahdeksan	12	74	kolmekymmentä
68	kahdeksantoista	24	viisitoista

On olemassa useita muita vastaavia esimerkkejä:

17	89	71
113	59	5
47	29	101

yksi	823	821	809	811	797	19	29	313	31	23	37
89	83	211	79	641	631	619	709	617	53	43	739
97	227	103	107	193	557	719	727	607	139	757	281
223	653	499	197	109	113	563	479	173	761	587	157
367	379	521	383	241	467	257	263	269	167	601	599
349	359	353	647	389	331	317	311	409	307	293	449
503	523	233	337	547	397	421	17	401	271	431	433
229	491	373	487	461	251	443	463	137	439	457	283
509	199	73	541	347	191	181	569	577	571	163	593
661	101	643	239	691	701	127	131	179	613	277	151
659	673	677	683	71	67	61	47	59	743	733	41
827	3	7	5	13	yksitoista	787	769	773	419	149	751

Viimeinen neliö, jonka J. N. Munsey rakensi vuonna 1913, on merkittävä siinä mielessä, että se koostuu 143 peräkkäisestä alkuluvusta kahta pistettä lukuun ottamatta: kyseessä on yksikkö, joka ei ole alkuluku, ja ainoa parillinen alkuluku 2 ei käytetä.

Neliöt lisäominaisuuksilla

Pandiagonaalinen maaginen neliö

Pandiagonaali eli paholaisen neliö on maaginen neliö, jossa murtuneiden lävistäjien (lävistäjät, jotka muodostuvat, kun neliö taitetaan torukseksi ) molempiin suuntiin lukujen summat vastaavat myös maagisen vakion kanssa .

Freniclen vakiomuodossa on 48 4x4 paholaisen neliötä - kiertoihin ja heijastuksiin asti. Pandiagonaalinen neliö säilyttää ominaisuudet, kun rivit tai sarakkeet rivitetään rinnakkain . Siksi yksikkö voidaan siirtää vasempaan yläkulmaan. Tällaisia pandiagonaalisia neliöitä on tasossa 12. Ne on annettu alla:

yksi	kahdeksan	kymmenen	viisitoista
neljätoista	yksitoista	5	neljä
7	2	16	9
12	13	3	6

yksi	kahdeksan	kymmenen	viisitoista
12	13	3	6
7	2	16	9
neljätoista	yksitoista	5	neljä

yksi	12	7	neljätoista
viisitoista	6	9	neljä
kymmenen	3	16	5
kahdeksan	13	2	yksitoista

yksi	neljätoista	7	12
viisitoista	neljä	9	6
kymmenen	5	16	3
kahdeksan	yksitoista	2	13

yksi	kahdeksan	13	12
viisitoista	kymmenen	3	6
neljä	5	16	9
neljätoista	yksitoista	2	7

yksi	kahdeksan	13	12
neljätoista	yksitoista	2	7
neljä	5	16	9
viisitoista	kymmenen	3	6

yksi	12	13	kahdeksan
neljätoista	7	2	yksitoista
neljä	9	16	5
viisitoista	6	3	kymmenen

yksi	12	13	kahdeksan
viisitoista	6	3	kymmenen
neljä	9	16	5
neljätoista	7	2	yksitoista

yksi	kahdeksan	yksitoista	neljätoista
viisitoista	kymmenen	5	neljä
6	3	16	9
12	13	2	7

yksi	kahdeksan	yksitoista	neljätoista
12	13	2	7
6	3	16	9
viisitoista	kymmenen	5	neljä

yksi	neljätoista	yksitoista	kahdeksan
viisitoista	neljä	5	kymmenen
6	9	16	3
12	7	2	13

yksi	12	6	viisitoista
neljätoista	7	9	neljä
yksitoista	2	16	5
kahdeksan	13	3	kymmenen

Toruksessa jokainen näistä neljästä neliöstä vastaa yhtä neliötä. Tämä johtuu siitä, että jos leikkaat toruksen, alkaen yksikkösolusta nurkkana, tämä voidaan tehdä neljällä tavalla, määrittämällä jokaiseen yksikkösolun neljään kulmaan tasaisen neliön kulma. Siksi toruksessa on vain 3 pandiagonaalista neliötä. Mitä tahansa neljästä vastaavasta neliöstä voidaan käyttää toorisen neliön kuvaamiseen tasossa.

Pandiagonaaliset neliöt ovat olemassa parittomille kertaluvuille n>3, mille tahansa kaksoispariteettijärjestykselle n=4k (k=1,2,3…) eikä niitä ole yksittäiselle pariteettijärjestykselle ( ). $n=4k+2$ $k=1,2,3,\dots$

Neljännen asteen pandiagonaalisilla neliöillä on useita lisäominaisuuksia, joiden vuoksi niitä kutsutaan täydellisiksi . Parittoman järjestyksen täydellisiä neliöitä ei ole olemassa. Pandiagonaalisten neliöiden joukossa, joiden kaksinkertainen pariteetti on yli 4, on täydellisiä [6] .

Viidennen asteen pandiagonaaliset neliöt 3600 . Toric rinnakkaiskäännökset mukaan lukien, on 144 erilaista pandiagonaalista neliötä. Yksi niistä on esitetty alla.

yksi	viisitoista	24	kahdeksan	17
9	kahdeksantoista	2	yksitoista	25
12	21	kymmenen	19	3
kaksikymmentä	neljä	13	22	6
23	7	16	5	neljätoista

Jos pandiagonaalinen neliö on myös assosiatiivinen, sitä kutsutaan ideaaliksi [7] . Esimerkki täydellisestä maagisesta neliöstä:

21	32	70	26	28	69	22	36	65
40	81	2	39	77	7	44	73	6
62	kymmenen	51	58	kahdeksantoista	47	57	neljätoista	52
66	23	34	71	19	33	67	27	29
neljä	45	74	3	41	79	kahdeksan	37	78
53	55	viisitoista	49	63	yksitoista	48	59	16
kolmekymmentä	68	25	35	64	24	31	72	kaksikymmentä
76	9	38	75	5	43	80	yksi	42
17	46	60	13	54	56	12	viisikymmentä	61

Tiedetään, ettei ole olemassa ideaalisia maagisia neliöitä, joiden kertaluku on n = 4k+2 , eikä ole olemassa kertaluvun n = 4 neliötä . Samalla on olemassa täydellisiä neliöitä, joiden kertaluku on n = 8 . Yhdistelmäneliöiden muodostamismenetelmällä on mahdollista muodostaa tietyn kahdeksannen kertaluvun neliön perusteella ideaalineliöt, joiden kertaluku on n = 8k, k=5,7,9… ja kertaluku n = 8^p, p=2,3,4… Vuonna 2008 kehitettiin kombinatorinen menetelmä, jolla rakennettiin täydellisiä neliöitä kertalukua n = 4k, k = 2, 3, 4,…

Maagisten neliöiden rakentaminen

Terassimenetelmä

Yu. V. Chebrakovin kuvaama teoksessa Theory of Magic Matrixes .

Piirrä n x n -neliötaulukko tietylle parittomalle n:lle. Kiinnitämme terassit (pyramidit) tähän pöytään kaikilla neljällä sivulla. Tuloksena saamme porrastetun symmetrisen hahmon.

$Y$
neljä						5
3					neljä		kymmenen
2				3		9		viisitoista
yksi			2		kahdeksan		neljätoista		kaksikymmentä
0		yksi		7		13		19		25
-yksi			6		12		kahdeksantoista		24
-2				yksitoista		17		23
-3					16		22
- neljä						21
.
	$X$	neljä	3	2	yksi	0	yksi	2	3	neljä

Alkaen porrastetun kuvion vasemmasta kärjestä, täytä sen diagonaaliset rivit peräkkäisillä luonnollisilla luvuilla 1 - . $N^2$

Tämän jälkeen N:nnen kertaluvun klassisen matriisin saamiseksi terassien numerot sijoitetaan niihin NxN-taulukon paikkoihin, joissa ne olisivat, jos niitä siirrettäisiin terassien mukana, kunnes terassien pohjat ovat naapurikentässä. pöydän vastakkaiselle puolelle.

$Y$
neljä
3
2				3	16	9	22	viisitoista
yksi				kaksikymmentä	kahdeksan	21	neljätoista	2
0				7	25	13	yksi	19
-yksi				24	12	5	kahdeksantoista	6
-2				yksitoista	neljä	17	kymmenen	23
-3
- neljä
.
	$X$	- neljä	-3	-2	-yksi	0	yksi	2	3	neljä

3	16	9	22	viisitoista
kaksikymmentä	kahdeksan	21	neljätoista	2
7	25	13	yksi	19
24	12	5	kahdeksantoista	6
yksitoista	neljä	17	kymmenen	23

Lisäksi tämä menetelmä pätee myös, jos maaginen neliö ei tarvitse muodostaa luvuista 1:stä N:ään, vaan myös K:sta N:ään, missä 1 <= K< N.

Muita tapoja

Maagisten neliöiden rakentamissäännöt jakautuvat kolmeen luokkaan sen mukaan, onko neliön järjestys pariton, kaksinkertainen pariton luku vai neljä kertaa pariton luku. Yleistä menetelmää kaikkien neliöiden rakentamiseksi ei tunneta, vaikka erilaisia kaavioita käytetään laajalti. [8] [9] On mahdollista löytää kaikki taikaneliöt, joiden järjestys on vain , joten erityisiä menettelyjä taikaneliöiden rakentamiseen . Yksinkertaisin rakenne on parittoman järjestyksen maagiselle neliölle. Sinun on asetettava numero soluun, jossa on koordinaatit (missä ja vaihda 1:stä ) (Huomaa: tämä kaava pätee kaikkiin parittoman järjestyksen neliöihin, paitsi muodon neliöille. Näissä neliöissä olevien numeroiden summa päädiagonaali on N suurempi kuin maaginen vakio.) $n$ $n/le 4$ $n>4$ $(i,j)$ $i$ $j$ $n$ $n=6k+3,k=0,1,2...$

1+((i+j-1+(n-1)/2){\bmod {n)))n+((i+2j+2){\bmod {n))).

On vielä helpompi rakentaa rakenne seuraavasti. Otetaan nxn-matriisi. Sen sisään on rakennettu porrastettu rombi. Siinä solut vasemmalta ylöspäin diagonaaleja pitkin täytetään peräkkäisellä rivillä parittomat numerot. Määritetään keskussolun C arvo. Sitten maagisen neliön kulmissa olevat arvot ovat seuraavat: ylempi oikea solu C-1 ; alhaalla vasen solu C+1 ; alempi oikea solu Cn; ylävasen solu C+n. Tyhjien solujen täyttäminen porrastettuihin kulmakolmioihin suoritetaan yksinkertaisten sääntöjen mukaisesti: 1) riveissä numerot kasvavat vasemmalta oikealle n + 1:n välein; 2) sarakkeissa ylhäältä alas luvut kasvavat askeleella n-1.

Algoritmeja pandiagonaalisten neliöiden [10] [11] ja ihanteellisten 9x9 maagisten neliöiden rakentamiseen on myös kehitetty. [12] [13] Näiden tulosten avulla voimme rakentaa täydellisen järjestyksen taikaneliöitä . [7] [14] On olemassa myös yleisiä menetelmiä parittoman järjestyksen täydellisten maagisten neliöiden järjestämiseen . [15] [16] On kehitetty menetelmiä ideaalien maagisten neliöiden kertaluvun n=8k, k=1,2,3… [17] ja täydellisten maagisten neliöiden rakentamiseen. [18] Pandiagonaaliset ja ideaaliset neliöt, joiden järjestys on parillinen, voidaan yhdistää vain, jos ne eivät ole perinteisiä. [19] [20] [21] Siitä huolimatta on mahdollista löytää lähes pandiagonaalisia neliöitä [22] Erityinen ryhmä ihanteellisesti täydellisiä maagisia neliöitä (perinteisiä ja ei-perinteisiä) [23] löytyy . $n=9(2k+1)$ $k=0,1,2,3,\dots$ $n>3$

Esimerkkejä monimutkaisemmista neliöistä

Parittoman järjestyksen ja kaksoispariteetin taikaneliöt on työstetty menetelmällisesti tiukasti. [24] Yksittäisen pariteetin luokkaa olevien neliöiden formalisointi on paljon vaikeampaa, kuten seuraavat kaaviot osoittavat:

kahdeksantoista	24	5	6	12
22	3	9	viisitoista	16
yksi	7	13	19	25
kymmenen	yksitoista	17	23	neljä
neljätoista	kaksikymmentä	21	2	kahdeksan

64	2	3	61	60	6	7	57
9	55	54	12	13	51	viisikymmentä	16
17	47	46	kaksikymmentä	21	43	42	24
40	26	27	37	36	kolmekymmentä	31	33
32	34	35	29	28	38	39	25
41	23	22	44	45	19	kahdeksantoista	48
49	viisitoista	neljätoista	52	53	yksitoista	kymmenen	56
kahdeksan	58	59	5	neljä	62	63	yksi

100	99	93	7	5	6	neljä	kahdeksan	92	91
yksitoista	89	88	84	16	viisitoista	17	83	82	kaksikymmentä
kolmekymmentä	22	78	77	75	26	74	73	29	21
61	39	33	67	66	65	64	38	32	40
60	52	48	44	56	55	47	43	49	51
viisikymmentä	42	53	54	46	45	57	58	59	41
31	62	63	37	36	35	34	68	69	70
71	72	28	27	25	76	24	23	79	80
81	19	kahdeksantoista	neljätoista	85	86	87	13	12	90
kymmenen	9	3	94	95	96	97	98	2	yksi

Maagisten neliöiden rakentamiseen on olemassa kymmeniä muita menetelmiä.

Shakki lähestymistapa

Tiedetään, että shakki , kuten maagiset neliöt, ilmestyi kymmeniä vuosisatoja sitten Intiassa . Siksi ei ollut sattumaa, että idea shakkilähestymistavasta maagisten neliöiden rakentamiseen syntyi. Tämän ajatuksen ilmaisi ensimmäisenä Euler . Hän yritti saada täyden maagisen neliön kävelemällä jatkuvasti ritarin ympärillä. Hän ei kuitenkaan onnistunut tekemään tätä, koska päälävistäjän lukujen summat erosivat maagisesta vakiosta. Shakkiasettelu mahdollistaa kuitenkin minkä tahansa maagisen neliön luomisen. Numerot täytetään säännöllisesti ja rivi riviltä ottaen huomioon solujen väri.

Katso myös

Muistiinpanot

↑ 1 2 3 Athanasius Kircher. Aritmologia. - ROMAE: Typographia Varesij, 1665. - S. 64-72. — 317 s.
↑ Omistettu Jupiterille . Haettu 8. helmikuuta 2011. Arkistoitu alkuperäisestä 8. helmikuuta 2011. (määrätön)
↑ V. E. Eremeev " Kiinan perinteinen tiede Arkistokopio päivätty 25. helmikuuta 2008 Wayback Machinessa " , luku 5: Matematiikka .
↑ N. Makarova " Dürer's Magic Square -arkistokopio 1. heinäkuuta 2011 Wayback Machinessa "
↑ A. K. Dudeni " Numerohiekan seulominen alkulukuja etsimässä Arkistoitu 21. syyskuuta 2008 Wayback Machinessa "
↑ N. Makarova " Perfect Magic Squares Arkistoitu kopio 28. huhtikuuta 2011 Wayback Machinessa "
↑ 1 2 G. Aleksandrov " Ihanteellinen järjestys magic squares , jossa $n=9+18k$ $k=2,3,4,\pisteet$ arkistokopio 20. marraskuuta 2012 Wayback Machinessa "
↑ Magic Square . Tietosanakirja "Circumnavigation" . Arkistoitu alkuperäisestä 12. tammikuuta 2002. (määrätön)
↑ N. Makarova " Menetelmät maagisten neliöiden rakentamiseen (arvosteluartikkeli) Arkistoitu kopio 25. huhtikuuta 2009 Wayback Machinessa "
↑ G. Aleksandrov " Menetelmä ihanteellisen parittoman taikaneliön rakentamiseksi Arkistoitu kopio 29. tammikuuta 2008 Wayback Machinessa "
↑
G. Aleksandrov
- " Perfect panmagic Arkistoitu 3. marraskuuta 2012 Wayback Machinessa "
- " Pandiagonal square order 4k Arkistoitu 3. marraskuuta 2012 Wayback Machinessa "
- « Yabasic-ohjelma pandiagonaalisen neliön rakentamiseen, kertaluku n = 4 Arkistoitu 3. marraskuuta 2012 Wayback Machinessa »
↑
G. Aleksandrov
- " Perfect Magic Square 9 x 9 Arkistoitu 3. marraskuuta 2012 Wayback Machinessa "
- " Toinen Perfect 9 x 9 Square Arkistoitu 3. marraskuuta 2012 Wayback Machinessa "
↑ N. Makarova " Yhdeksännen asteen maagiset neliöt Arkistokopio 14. huhtikuuta 2011 Wayback Machinessa "
↑ N. Makarova “ Pandiagonaaliset neliöt yhdeksän kerrannaisten parittomien kertalukujen arkistokopio 28. huhtikuuta 2011 Wayback Machinessa ”
↑
G. Aleksandrov
- " Perfect Magic Squares Arkistoitu 29. helmikuuta 2008 Wayback Machinessa "
- " Viisi esimerkkiä täydellisistä 21x21 maagisista neliöistä Arkistoitu 20. marraskuuta 2012 Wayback Machinessa "
- « Ihanteelliset maagiset neliöt missä tahansa parittomassa järjestyksessä n>3 Arkistoitu 12. heinäkuuta 2010 Wayback Machinessa »
↑
N. Makarova
- Ihanteelliset maagiset neliöt . Kiikkuumenetelmä Arkistoitu 28. huhtikuuta 2011 Wayback Machinessa »
- « Menetelmä parittoman järjestyksen täydellisten maagisten neliöiden rakentamiseen latinalaisilla neliöillä Arkistoitu 27. huhtikuuta 2011 Wayback Machinessa »
↑ N. Makarova “ Menetelmä kertaluvun n = 8k täydellisten neliöiden rakentamiseen. Arkistokopio 27. huhtikuuta 2011 Wayback Machinessa ”
↑
N. Makarova
- " Menetelmä täydellisten maagisten neliöiden rakentamiseen Reversiblesista Arkistoitu 27. huhtikuuta 2011 Wayback Machinessa "
- « Menetelmä täydellisten maagisten neliöiden rakentamiseen yleisten latinalaisten neliöiden avulla Arkistoitu 27. huhtikuuta 2011 Wayback Machinessa »
- " Perfect Magic Squares rakentaminen Seesaw-menetelmällä Arkistoitu 28. huhtikuuta 2011 Wayback Machinessa "
↑ E. Slkuni " Ei- perinteiset 6. asteen pandiagonaaliset taikaneliöt Arkistoitu 2. marraskuuta 2007 Wayback Machinessa "
↑
N. Makarova
- " Unconventional Magic Squares Arkistoitu 19. helmikuuta 2008 Wayback Machinessa "
- " Menetelmä ei-perinteisten täydellisten neliöiden muodostamiseksi kertaluvun n=4k+2 Arkistoitu 28. huhtikuuta 2011 Wayback Machinessa " .
↑ G. Alexandrov " Ihanteellinen ei-perinteinen maaginen neliö kertaluvun n = 4k + 2 Arkistoitu 20. marraskuuta 2012 Wayback Machinessa
↑ G. Aleksandrov " Melkein pandiagonaalisia taianeliöitä luokkaa 4k + 2 Arkistokopio 20. marraskuuta 2012 Wayback Machinessa "
↑ G. Aleksandrov " Ihanteellinen täydellinen tasaisen järjestyksen maaginen neliö Arkistoitu kopio 20. marraskuuta 2012 Wayback Machinessa
↑ http://bspu.ab.ru/~festival/kon2001/teacher/konspect/inform/stepanowa_nowichihina.rtf (linkki, jota ei voi käyttää)

Kirjallisuus

Ja V. Uspensky. Valittuja matemaattisia viihdeohjelmia. - Kylväjä, 1924.
B. A. Kordemsky. Matemaattinen viisaus . - M .: GIFML, 1958. - 576 s.
M. M. Postnikov. Maagiset neliöt. - M . : Nauka, 1964.
N. M. Rudin. Maagisesta neliöstä shakkiin. - M . : Fyysinen kulttuuri ja urheilu, 1969.
E. Ya. Gurevich. Muinaisen talismanin salaisuus. - M . : Nauka, 1969.
M. Gardner. Matemaattinen vapaa-aika. - M .: Mir, 1972.
Nuoren matemaatikon tietosanakirja / Comp. A.P. Savin. - M . : Pedagogiikka, 1989. - 352 s. — ISBN 5-7155-0218-7 .
Yu. V. Chebrakov . Maagiset neliöt. Lukuteoria, algebra, kombinatorinen analyysi. - Pietari. : Pietarin osavaltio. tekniikka. un-t, 1995.
Yu. V. Chebrakov. Taikamatriisien teoria . - Pietari. , 2008.
M. Gardner. Luku 17. Maagiset neliöt ja kuutiot // Aikamatkailu . - M . : Mir, 1990. (linkki ei ole käytettävissä)
Chirkazov D. Kirjain taikaneliöt symmetrisinä tekstitaulukoina. // Nykyaikainen tieteellinen tutkimus ja innovaatio. — nro 11. marraskuuta 2012

Linkit

Magic Squares (linkki ei saatavilla) (englanniksi)
sekvenssi A164843 OEIS : ssä
M. Gardner " Kathleen Ollerenshawin ja David Brien kirja-arvostelu "
H. Heinz Maagiset neliöt, maagiset tähdet ja muut kuviot
N. Skryabina, V. Dubovskoy Maagiset neliöt
Shakki lähestymistapa
Epäperinteiset maagiset neliöt alkuluvuista
Alkulukujen vähiten maagiset neliöt
« Maagisten neliöiden yleiset kaavat. »
Magic squares // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : 86 nidettä (82 osaa ja 4 lisäosaa). - Pietari. , 1890-1907.

Sanakirjat ja tietosanakirjat

Suuri tanskalainen
iso kiinalainen
Iso venäläinen
Suuri Neuvostoliitto (1 painos)
Brockhaus ja Efron
Brockhaus ja Efron
maailman ympäri
Pieni Brockhaus ja Efron
Britannica (verkossa)

Bibliografisissa luetteloissa
BNF : 11944380z GND : 4168511-8 J9U : 987007543406305171 LCCN : sh85079628 NDL : 01081048 NKC : ph214645 SUDOC : 027391345