Hilbertin matriisi

Lineaarisessa algebrassa Hilbert-matriisi (joka esitteli David Hilbert vuonna 1894 ) on neliömatriisi H , jossa on merkinnät:

H_{ij}={\frac {1}{i+j-1)),i,j=1,2,3,...,n

Esimerkiksi 5 × 5 Hilbert-matriisi on:

H={\begin{bmatrix}1&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5 }}\\[4pt]{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}} &{\frac {1}{6}}\\[4pt]{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{ \frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}\\[4pt]{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{8}}\\[4pt]{\frac {1}{5}}&{\frac {1 }{6}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{8}}&{\frac {1}{9}}\end{bmatrix}}.

Hilbert-matriisia voidaan tarkastella integraaleista saatuna:

H_{{ij}}=\int _{{0}}^{{1}}x^{{i+j-2}}\,dx,

eli kuten Gram-matriisissa x :n potenssien osalta . Se syntyy, kun funktioita approksimoidaan polynomeilla pienimmän neliösumman menetelmällä .

Hilbert-matriisit ovat standardiesimerkki huonosti ehdollisista matriiseista, mikä vaikeuttaa niiden laskemista laskennallisesti epävakailla menetelmillä. Esimerkiksi yllä olevan matriisin ehtoluku suhteessa - normiin on 4,8 · 10 5 . $\left\|\cdot \right\|_{2}$

Historia

Hilbert (1894) esitteli Hilbert-matriisin tutkiessaan seuraavaa kysymystä: "Oletetaan, että I = [ a , b ] on reaaliväli. Onko sitten mahdollista löytää nollasta poikkeava polynomi P , jonka kokonaislukukertoimet ovat sellaiset, että integraali

\int _{a}^{b}P(x)^{2}\,dx

olisi pienempi kuin mikä tahansa annettu luku ε > 0?" Vastatakseen tähän kysymykseen Hilbert johti tarkan kaavan Hilbert-matriisien determinantille ja tutki niiden asymptotiikkaa. Hän tuli siihen tulokseen, että vastaus on myönteinen, jos välin pituus b − a < 4 .

Ominaisuudet

Hilbert-matriisi on symmetrinen positiivinen määrätty matriisi. Lisäksi Hilbert-matriisi on täysin positiivinen matriisi.

Hilbert-matriisi on esimerkki Hankel-matriisista .

Hilbert-matriisideterminantti voidaan ilmaista eksplisiittisesti Cauchyn determinantin erikoistapauksena . n × n Hilbert-matriisin determinantti on

\det(H)={{c_{n}^{{\;4}}} \over {c_{{2n}}}},

missä

c_{n}=\prod _{i=1}^{n-1}i^{ni}=\prod _{i=1}^{n-1}i!.

Hilbert huomasi jo sen kummallisen tosiasian, että Hilbert-matriisin determinantti on kokonaisluvun käänteisluku (katso sekvenssi A005249 OEIS : ssä ). Se seuraa tasa-arvosta

{1 \over \det(H)}={{c_{{2n}}} \over {c_{n}^{{\;4}}}}=n!\cdot \prod _{{i=1 }}^{{2n-1}}{i \choose [i/2]}.

Stirlingin kaavaa käyttämällä voimme määrittää seuraavan asymptoottisen tuloksen:

\det(H)\noin a_{n}\,n^{{-1/4}}(2\pi )^{n}\,4^{{-n^{2}}}

missä a n konvergoi vakioon kohdassa , jossa A on Glaisher-Kinkelin-vakio . $e^{{1/4}}2^{{1/12}}A^{{-3}}\noin 0,6450$ $n\rightarrow\infty$

Hilbert- matriisin käänteismatriisi voidaan ilmaista eksplisiittisesti binomikertoimien avulla :

(H^{{-1}})_{{ij}}=(-1)^{{i+j}}(i+j-1){n+i-1 \valitse nj}{n+j -1 \valitse ni}{i+j-2 \valitse i-1}^{2}

missä n on matriisin järjestys. Siten käänteismatriisin alkiot ovat kokonaislukuja. $H^{{-1}}$

n × n Hilbert-matriisin ehtoluku kasvaa . $O((1+{\sqrt {2}})^{{4n}}/{\sqrt {n}})$

Katso myös

David Hilbertin panos tieteeseen
tilat	Hilbertin avaruus Pre-Hilbert-tila Gilbert tiili
aksiomatiikka	Hilbertin aksiomaattinen
Lauseet	Hilbertin lause 90 Hilbertin peruslause Hilbertin nollalause Hilbert-Schmidtin lause
Operaattorit	Hilbertin muunnos Hilbert-Schmidt operaattori
Yleinen suhteellisuusteoria	Einstein-Hilbertin yhtälöt " Hilbert ja gravitaatiokenttäyhtälöt "
Muut	Hilbertin ongelmia Hilbertin käyrä Hilbertin matriisi Hilbert-Arnoldin ongelma Hilbert-sarja ja Hilbert-polynomi Paradoksi "Grand Hotel"

Linkit

Hilbert, David (1894), Ein Beitrag zur Theorie des Legendre'schen Polynoms , Acta Mathematica (Springer Netherlands). — T. 18: 155–159, ISSN 0001-5962 , DOI 10.1007/BF02418278 . Uusintapainos julkaisussa Hilbert, David. artikla 21 // Kerätyt julkaisut (uusi.) . - T. II.
Beckermann, Bernard. Todellisten Vandermonde-, Krylov- ja positiivisten määrättyjen Hankel-matriisien ehtonumero // Numerische Mathematik : päiväkirja. - 2000. - Voi. 85 , no. 4 . - s. 553-577 . - doi : 10.1007/PL00005392 .
Choi, M.-D. Tricks or Treats with the Hilbert Matrix // American Mathematical Monthly : Journal . - 1983. - Voi. 90 , ei. 5 . - s. 301-312 . - doi : 10.2307/2975779 . — .
Todd, John. Hilbert-matriisin äärellisen segmentin ehtonumero // National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series : Journal. - 1954. - Voi. 39 . - s. 109-116 .
Wilf, H.S. Eräiden klassisten epäyhtälöiden rajalliset osat . - Heidelberg: Springer, 1970. - ISBN 3-540-04809-X .