Radonin mittaus

Radon -mitta on Hausdorffin topologisessa avaruudessa X olevien Borel - joukkojen sigma-algebran mitta , joka on paikallisesti äärellinen ja sisäisesti säännöllinen.

Määritelmä

Olkoon μ Borel-joukkojen sigma-algebran mitta Hausdorffin topologisessa avaruudessa X .

Mitan μ sanotaan olevan luonnostaan säännöllinen , jos mille tahansa Borel-joukolle B μ ( B ) on sama kuin B:n kompaktien osajoukkojen K supremumi μ ( K ) .

Mitan μ sanotaan olevan ulompi säännöllinen , jos mille tahansa Borel-joukolle B μ ( B ) on μ ( U ) infimumi kaikissa avoimissa joukoissa U , jotka sisältävät B :n.

Mitan μ sanotaan olevan paikallisesti äärellinen , jos jokaisella X :n pisteellä on lähialue U , jonka arvo μ ( U ) on äärellinen. (Jos μ on paikallisesti äärellinen, niin μ on äärellinen kompakteissa joukoissa.)

Mitta μ kutsutaan radon-suureksi, jos se on sisäisesti säännöllinen ja paikallisesti äärellinen.

Huomautus

Määritelmä voidaan yleistää ei-Hausdorffin tiloihin korvaamalla sanat "tiivis" sanalla "suljettu ja kompakti" kaikkialla, mutta tällä yleistyksellä ei ole vielä sovellutuksia.

Esimerkkejä

Esimerkkejä radonmittauksista:

Lebesguen mitta euklidisessa avaruudessa (rajoitettu Borelin osajoukkoon);
Haar-mitta missä tahansa paikallisesti kompaktissa topologisessa ryhmässä;
Dirac-mitta missä tahansa topologisessa avaruudessa;
Gaussin mittaa euklidisessa avaruudessa sen Borel-sigma-algebralla; $\mathbb {R} ^{n}$
Todennäköisyysmittaukset minkä tahansa puolalaisen avaruuden Borel -joukkojen σ-algebralla . Tämä esimerkki ei ainoastaan yleistä edellistä esimerkkiä, vaan sisältää monia mittauksia paikallisesti kompakteissa avaruudessa, kuten Wiener-mitan todellisten jatkuvien funktioiden avaruudessa intervallilla [0,1].

Seuraavat toimenpiteet eivät ole radonmittauksia:

Euklidisen avaruuden laskentamitta ei ole Radon-mitta, koska se ei ole paikallisesti äärellinen.
Järjestysavaruus ensimmäiseen määräämättömään järjestystopologiaa käyttävään ordinaaleihin asti on kompakti topologinen avaruus . Mitta, joka on 1 missä tahansa joukossa, joka sisältää laskemattoman suljetun joukon, ja 0 muuten, on Borel-mitta, mutta ei Radon-mitta.
Olkoon X joukko [0,1), joka on varustettu nuolitopologialla . Lebesguen mitta tässä topologisessa avaruudessa ei ole Radon-mitta, koska se ei ole sisäisesti säännöllinen. Jälkimmäinen johtuu siitä, että tämän topologian kompaktit joukot ovat korkeintaan laskettavissa.
Tuotteen vakiomitta , jossa on lukematon , ei ole Radon-mitta, koska mikä tahansa kompakti joukko sisältyy lukemattoman määrän suljettujen intervallien tuloon, joista jokainen on pienempi kuin 1. ${\displaystyle (0,1)^{\kappa ))$ $\kappa$

Ominaisuudet

Seuraavassa X tarkoittaa paikallisesti kompaktia topologista avaruutta , μ Radon-mitta on . $X$

Mitta μ määrittelee lineaarifunktion kaikkien X:n äärellisten funktioiden avaruudessa , eli jatkuvat funktiot kompaktilla tuella: $I\colon f\mapsto \int \limits _{X}f\,d\mu$

Lisäksi:

Tämä toiminto määrittelee itse toimenpiteen täysin.
Tämä toiminta on jatkuvaa ja positiivista. Positiivinen tarkoittaa, että jos . $I(f)\geqslant 0$ $f\geqslant 0$

Radon-metriikka

Kaikkien radonmittojen kartiolle voidaan antaa täydellisen metriavaruuden rakenne . Kahden radonmitan välinen etäisyys määritellään seuraavasti: $X$ ${\displaystyle \mu _{1},\mu _{2))$

\rho (\mu _{1},\mu _{2})=\sup \left\{\int \limits _{X}f(x)\,d(\mu _{1}- \mu _{2})(x)\oikea\},

jossa ylin on otettu kaikkien jatkuvien toimintojen haltuun $f\colon X\to [-1,1]$

Tätä mittaria kutsutaan radonmittariksi . Radon-mittarin mittojen lähentymistä kutsutaan joskus vahvaksi konvergenssiksi .

Radonin todennäköisyysavaruus mittaa , $X$

{\mathcal {P}}(X):=\{\mu \mid \mu (X)=1\},

ei ole peräkkäin kompakti tämän metriikan suhteen, eli ei ole taattua, että millä tahansa todennäköisyysmittausten sarjalla on konvergoiva osasekvenssi.

Radon-mittarin konvergenssi tarkoittaa toimenpiteiden heikkoa lähentymistä:

\rho (\mu _{n},\mu )\to 0\Rightarrow \mu _{n}\rightharpoonup \mu

Päinvastoin ei yleensä pidä paikkaansa.

Integrointi

Integraalin määrittely laajempaan toimintoluokkaan (ei välttämättä kompaktilla tuella) suoritetaan useissa vaiheissa:

Alempien puolijatkuvien positiivisten (todellisten) funktioiden g ylempi integraali μ*(g) määritellään positiivisten lukujen μ ( h ) supremumiksi (mahdollisesti äärettömäksi) äärellisille jatkuville funktioille h ≤ g .
Ylempi integraali μ*( f ) mielivaltaiselle positiiviselle reaaliarvoiselle funktiolle f määritellään alempien puolijatkuvien funktioiden g ≥ f ylempien integraalien μ*(g) infiumiksi .
Vektoriavaruus F = F ( Х ; μ ) määritellään kaikkien X:n funktioiden f avaruudeksi, joille ylempi integraali μ*(|f|) on äärellinen; Absoluuttisen arvon ylempi integraali määrittää puolinormin F : ssä ja F on täydellinen avaruus suhteessa tämän puolinormin määrittelemään topologiaan.
Integroitavien funktioiden avaruus L 1 ( X , μ ) määritellään jatkuvien äärellisten funktioiden avaruuden F sulkemiseksi .
L 1 : n funktioiden integraali ( X , μ ) määritetään jatkuvuuden perusteella (sen jälkeen kun on tarkistettu, että μ on jatkuva suhteessa L 1 :n topologiaan ( X , μ )).
Joukon mitta määritellään joukon indikaattorin funktion integraaliksi (jos se on olemassa) .

Voidaan nähdä, että nämä operaatiot tuottavat teorian, joka on identtinen Radon-mitalla alkavan teorian kanssa, joka määritellään funktiona, joka antaa numeron jokaiselle X :n Borel - joukolle .

Kirjallisuus

Bourbaki, Nicolas (2004), Integration I , Springer Verlag , ISBN 3-540-41129-1 .
Dieudonné, Jean (1970), Tutkimus analyysistä , voi. 2 Academic Press
Hewitt, Edwin & Stromberg, Karl (1965), Todellinen ja abstrakti analyysi , Springer-Verlag .
König, Heinz (1997), Mittaus ja integrointi: syvennyskurssi perusmenettelyistä ja sovelluksista , New York: Springer, ISBN 3-540-61858-9
Schwartz, Laurent (1974), Radonin mittaukset mielivaltaisissa topologisissa avaruuksissa ja sylinterimäisissä mittauksissa , Oxford University Press, ISBN 0-19-560516-0

Linkit

R.A. Minlos (2001), Radon-mittaus , Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4