Minimax versio

Minimax eversion on sphere eversion luokka välimallien avulla .

Tämä on variaatiomenetelmä ja koostuu erityisistä homotopioista (jotka ovat lyhimpiä polkuja Willmoren energiassa ).

Alkuperäinen välimallien menetelmä ei ollut optimaalinen - tavalliset homotopiat kulkevat välimallien läpi, mutta polku pyöreästä pallosta välimalliin rakennettiin manuaalisesti, eikä se ollut gradienttinousu/lasku.

Välikuvioiden kautta tapahtuvaa käännöstä kutsutaan kukkaromerkkien versioksi [ 1] .

Keskitason mallit

Välimalli on pallon upottaminen sisään ja sitä kutsutaan niin, koska se on pallon kääntymisen välivaihe . Tällä inversioluokalla on ajallinen symmetria - säännöllisen homotopian ensimmäinen puolikas kartoittaa säännöllisen pyöreän pallon välimalliin ja toinen puoli (joka kartoittaa välimallin käännetylle pallolle) on sama prosessi käänteisesti. $S^{2}$ $\mathbb {R} ^{3}$

Selitys

Rob Kushner ehdotti optimaalista versiota versiosta käyttämällä Willmore-energiaa pallon kaikkien upotusten tilassa . Pyöreä pallo ja käänteinen pyöreä pallo ovat Willmoren energian ainoat globaalit minimit, ja minimax-inversio on reitti, joka yhdistää nämä tilat satulapisteen kautta (samanlainen kuin matkustaminen kahden laakson välillä vuoristopolkua pitkin) [2] . $S^{2}$ $\mathbf {R} ^{3}$

Kushner-välimallit ovat satulapisteitä Willmore-energialle, joka syntyy (Brianin lauseen mukaan) tietyistä täydellisistä minimaalisista pinnoista kolmiulotteisessa avaruudessa. Minimax-versio koostuu gradienttinoususta pyöreästä pallosta välimalliin, sitten gradienttilaskeumisesta käännetylle pallolle (gradienttilaskua Willmoren energialla kutsutaan Willmore-virtaukseksi ). Symmetrisemmin, aloita välimallista, siirry yhteen suuntaan ja mene alas Willmore-virtaa pitkin pyöreäksi palloksi ja siirry sitten vastakkaiseen suuntaan alaspäin Willmore-virtaa pitkin käännetylle pallolle.

Välimalleja on kaksi perhettä (tämä havainto johtuu Francisista ja Morinista):

pariton järjestys: Pojan pinnan yleistys : 3-kertainen, 5-kertainen jne. symmetria. Välimalli on kaksinkertaisesti peitetty projektiivinen taso (yleensä 2-1 sisäkkäinen pallo).
parillinen järjestys: Morin-pinnan yleistys : 2-kertainen, 4-kertainen jne. symmetria. Välimalli on yleensä 1-1 sisäkkäinen pallo, ja puolikierros vaihtaa pallon pintoja.

Historia

Shapiro ja Phillips ehdottivat ensimmäistä hyvin määriteltyä palloversiota 1960-luvun alussa käyttäen Boy-pintaa välimallina. Morin löysi myöhemmin pinnan (joka on nyt nimetty hänen mukaansa) ja käytti sitä muiden pallon käänteisten käänteiden rakentamiseen. Kushner keksi minimax-version 1980-luvun alussa - historiallisia yksityiskohtia .

Muistiinpanot

↑ Carter, 2012 , s. 17.
↑ Emmer, 2005 , s. 485.

Kirjallisuus

Bending Energy and the Minimax Eversions ( John M. Sullivanin teoksessa " The Optiverse" and Other Sphere Eversions )
Michele Emmer. Visuaalinen mieli II . - MIT Press, 2005. - ISBN 978-0-262-05076-0 .
J. Scott Carter. Tutkimus kaavioalgebrassa: Pallon kääntäminen punaisesta siniseksi . - World Scientific, 2012. - ISBN 978-981-4374-50-7 .