Willmore Energy

Willmoren energia on numeerinen mitta tietyn pinnan poikkeamasta pyöreästä pallosta . Matemaattisesti kolmiulotteiseen euklidiseen avaruuteen upotetun sileän suljetun pinnan Willmore -energia määritellään keskikaarevuuden neliön integraaliksi miinus Gaussin kaarevuus . Termi on nimetty englantilaisen geometrin Thomas Willmoren mukaan .

Määritelmä

Symbolisesti pinnan S Willmore-energia on

{\mathcal {W}}=\int _{S}H^{2}\,dA-\int _{S}K\,dA

missä on keskimääräinen kaarevuus , on Gaussin kaarevuus ja dA on S :n pinta-ala . Suljetulle pinnalle Gauss-Bonnet-kaavaa käyttäen Gaussin kaarevuusintegraali voidaan laskea pinnan Euler-ominaisuuden avulla. $H$ $K$ $\chi (S)$

\int _{S}K\,dA=2\pi \chi (S),

joka on topologisesti invariantti eikä siksi ole riippuvainen tietystä upotuksesta . Sitten Willmoren energia voidaan ilmaista muodossa $\mathbb {R} ^{3}$

{\mathcal {W}}=\int _{S}H^{2}\,dA-2\pi \chi (S)

Vaihtoehtoinen, mutta vastaava kaava on

{\mathcal {W}}={1 \over 4}\int _{S}(k_{1}-k_{2})^{2}\,dA

missä ja ovat pinnan pääkaarevuus . $k_{1}$ $k_{2}$

Ominaisuudet

Willmoren energia on aina suurempi tai yhtä suuri kuin nolla. Pyöreällä pallolla ei ole Willmoren energiaa.

Willmore-energiaa voidaan pitää funktiona funktiona tietyssä tilassa olevien upotusten avaruudessa variaatiolaskelman mielessä, ja pinnan upotusta voidaan muuttaa jättäen se topologisesti ennalleen.

Kriittiset kohdat

Variaatiolaskennan pääongelma on kriittisten pisteiden ja funktionaalisuuden minimin etsiminen .

Tietylle topologiselle avaruudelle tämä vastaa funktion kriittisten pisteiden löytämistä

{\näyttötyyli \int _{S}H^{2}\,dA}

koska Eulerin ominaisuus on vakio.

Willmoren energialle voidaan löytää (paikallinen) minimi käyttämällä gradienttilaskua , jota tässä yhteydessä kutsutaan Willmoren virtaukseksi.

3-ulotteiseen avaruuteen upotetun pallon kriittiset pisteet luokitteli Bryant [1] - ne ovat kaikki minimaalisten pintojen konformisia muunnoksia , pyöreä pallo on minimi ja kaikki muut kriittiset arvot ovat kokonaislukuja, jotka ovat suurempia tai yhtä suuria kuin 4 . Niitä kutsutaan Willmore-pinnoiksi. $\pi$

Willmoren virta

Willmoren virtaus on geometrinen virtaus , joka vastaa Willmoren energiaa. Se on gradienttivirtaus . $L^{2}$

e[{\mathcal {M}}]={\frac {1}{2}}\int _{\mathcal {M}}H^{2}\,\mathrm {d} A

jossa H tarkoittaa jakoputken keskimääräistä kaarevuutta . ${\mathcal {M}}$

Virtauslinjat täyttävät differentiaaliyhtälön:

\partial _{t}x(t)=-\nabla {\mathcal {W}}[x(t)]\,

missä se on pinnalla. $x$

Tämä virtaus johtaa evoluutioongelmaan differentiaaligeometriassa - pinta kehittyy ajassa jyrkimmän energian laskun jälkeen. Kuten pintadiffuusio, virtaus on neljännen kertaluvun virtaus, koska energian vaihtelu sisältää neljännen derivaatan. ${\mathcal {M}}$

Sovellukset

Solukalvot pyrkivät asentoon, jossa Willmore-energia on mahdollisimman pieni [2] .
Willmoren energiaa käytetään luomaan optimaalinen palloversio , minimax versio .

Katso myös

Willmoren hypoteesi

Muistiinpanot

↑ Bryant, 1984 , s. 23–53.
↑ Müller, Röger, 2014 , s. 109–139.

Kirjallisuus

Stefan Müller, Matthias Röger. Pienimmän taivutusenergian rajatut rakenteet // Journal of Differential Geometry. - 2014. - toukokuu ( nide 97 , numero 1 ). doi : 10.4310 /jdg/1404912105 .
Willmore TJ Tutkimus Willmore-immersioista // Geometry and Topology of Submanifolds, IV (Leuven, 1991). River Edge, NJ: World Scientific, 1992. s. 11–16.
Robert L. Bryant. Kaksinaisuuslause Willmoren pinnoille // Journal of Differential Geometry . - 1984. - T. 20 , no. 1 . - S. 23-53 .