Moniasteinen äärellisten elementtien menetelmä

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 13. helmikuuta 2019 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Monimittakaavainen elementtimenetelmä on elementtimenetelmän muunnelma , joka poikkeaa klassisesta erityisellä kantafunktioiden konstruointimenettelyllä.

Laajuus

Monimittakaavaista menetelmää käytetään ratkaisemaan ongelmia, joissa alue itsessään on monimittakainen, eli se voidaan esittää tiettynä suurena alueena, jolla on samat fyysiset ominaisuudet (luuranko), jossa on monia pieniä (suhteellisia) sulkeumia, joilla on erilaiset ominaisuudet. Melkein mikä tahansa luonnollinen rakennelma on monimittainen, esimerkiksi: maapalalla on sisällä monia erilaisia pieniä vaihteluja, jotka ovat sulkeumia.

Menetelmän ydin

Menetelmän ydin on, että valitaan erityinen perusta, joka ottaa huomioon sulkeumien läsnäolon. Kanta valitaan Greenin funktioperiaatteen mukaan , eli yhtälö samalla operaattorilla, mutta erityisellä oikealla puolella ja erityisillä reunaehdoilla [1] ratkaistaan . Vaihteleva formulointi voidaan suorittaa sekä Bubnov-Galyorkin-menetelmän että Petrov-Galjorkin-menetelmän perusteella.
Oletetaan esimerkiksi, että stationäärinen lämpöyhtälö, jossa on joitain reunaehtoja:

$-\nabla \cdot (\lambda \nabla u)=f(\mathbf {r} ),~in~\Omega$
$u=g,~on~\partial \Omega$

Ja ruudukko rakennetaan laskennalliselle alueelle, merkitään mielivaltainen ruudukkoelementti ja otetaan käyttöön tälle elementille paikallinen perusta, merkitään se . Sitten paikalliset monimittakaavaiset perusfunktiot voidaan laskea seuraavasti: $K$ ${\displaystyle {\Bigl .}\{\phi _{i}^{0}\}{\Bigr |}_{i=1}^{n))$

$-\nabla \cdot (\lambda \nabla \phi _{i})=0,~in~K$
$\phi _{i}=\phi _{i}^{0},~on~\partial K$

Tämän yhtälön ratkaisemiseen voidaan käyttää myös FEM-arvoa (mahdollisesti multiscale), jonka yhteydessä elementtiä kutsutaan makroelementiksi ja ruudukon elementit, joista perusfunktioita haetaan, ovat mikroelementtejä . Näitä rajaehtoja moniasteikkopohjalle kutsutaan ensimmäisen asteen reunaehdoksi . Heille on olemassa rajoitus: sisällyttäminen ei saa ylittää elementin rajaa. Kuten jo mainittiin, on mahdollista käyttää Bubnov-Galyorkinin ja Petrov-Galyorkinin formulaatioita, erona on, että toisen menetelmän projektorin toimintojärjestelmää ei oteta monimittaisena, vaan alustavana perustana. Petrov-Galyorkin-menetelmässä jäykkyysmatriisin elementit voidaan laskea seuraavalla kaavalla (Bubnov-Galyorkin-menetelmässä korvaa yksinkertaisesti ) : $K$
${\displaystyle \phi _{i}^{0))$ $\phi_i$

${\displaystyle G_{ij}={\overline {\lambda ))\int _{K}{\nabla \phi _{i}\cdot \nabla \phi _{i}^{0}dx))$

Tässä on makroelementin diffuusiokertoimen keskiarvo, keskiarvon laskeminen suoritetaan (jos se suoritetaan) ratkaistavan ongelman ominaisuuksien mukaisesti. Itse integraali voidaan laskea numeerisesti, myös laajentamalla toimintoja mikroelementtien suhteen. ${\overline {\lambda ))$

Heterogeeninen monimittainen menetelmä

Moniasteikkomenetelmän muunnelmaa käytetään, kun paikallismatriisien integraalit lasketaan numeerisesti kvadratuurikaavojen avulla. Menetelmän ideana on etsiä täysin monimittaista kantafunktiota ei koko elementistä, vaan vain integrointipisteiden läheisyydestä [1] . Tämän avulla voit nopeuttaa matriisien laskemista.

Kirjallisuus

Efendiev YR , Hou TY Moniasteinen elementtimenetelmä. Teoria ja sovellus.. - 2009. - Vol. 4. - ISBN 978-0-387-09496-0 .

Muistiinpanot

↑ 1 2 Yu. I. Shokin , E. P. Shurina , N. B. Intkina. Nykyaikaiset multigrid-menetelmät. - NSTU, 2012. - 98 s. - ISBN 978-5-7782-2119-2 .

Differentiaaliyhtälöiden ratkaisumenetelmät

Ruudukkomenetelmät

Elementtimenetelmät	Elementtimenetelmä Galerkinin menetelmä Epäjatkuva Galerkin-menetelmä Moniasteinen äärellisten elementtien menetelmä Multigrid-menetelmä
Muut menetelmät	Rajallisen eron menetelmä Rajallisen tilavuuden menetelmä Godunovin menetelmä Rajaelementtimenetelmä

Ei-ruudukkomenetelmät