Zerniken polynomit

Zerniken polynomit ovat polynomien sarja, jotka ovat ortogonaalisia yksikköympyrässä . Nimetty Nobel-palkitun optikon ja faasikontrastimikroskoopin keksijän Fritz Zerniken mukaan . Niillä on tärkeä rooli optiikassa [1] .

Määritelmät

On olemassa parillisia ja parittomia Zernike-polynomeja. Jopa polynomit määritellään nimellä

Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi )=R_{n}^{m}(\rho )\,\cos(m\,\varphi )

ja outoja kuten

Z_{n}^{-m}(\rho ,\varphi )=R_{n}^{m}(\rho )\,\sin(m\,\varphi ),

missä m ja n ovat ei-negatiivisia kokonaislukuja siten, että n ≥ m , φ on atsimuuttikulma ja ρ on säteittäinen etäisyys, . Zernike-polynomit ovat rajoitettuja alueella −1 - +1, ts. . $0\leq \rho \leq 1$ $|Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi )|\leq 1$

Radiaaliset polynomit määritellään seuraavasti ${\displaystyle R_{n}^{m))$

R_{n}^{m}(\rho )=\!\sum _{k=0}^{(nm)/2}\!\!\!{\frac {(-1)^{ k}\,(nk)!}{k!\,((n+m)/2-k)!\,((nm)/2-k)!}}\;\rho ^{n-2\ ,k}

parillisille n - m arvoille ja ovat identtisesti yhtä suuria kuin nolla parittomille n - m .

Muut esitykset

Kirjoittamalla uudelleen radiaaliosan kertoimilla oleva murto-osa binomikertoimien tuloksi , voidaan osoittaa, että kertoimet potenssilla ovat kokonaislukuja: $\rho$

R_{n}^{m}(\rho )=\sum _{k=0}^{(nm)/2}(-1)^{k}{\binom {nk}{k)) {\binom {n-2k}{{\tfrac {nm}{2}}-k}}\rho ^{n-2k}

Toistojen tunnistamiseksi, sen tosiasian osoittamiseksi, että nämä polynomit ovat Jacobin polynomien erikoistapaus, differentiaaliyhtälöiden kirjoittamiseen jne. käytetään hypergeometristen funktioiden muodossa olevaa merkintää :

{\begin{aligned}R_{n}^{m}(\rho )&={\binom {n}{\tfrac {n+m}{2))}\rho ^{n}\ { }_{2}F_{1}\left(-{\tfrac {n+m}{2)),-{\tfrac {nm}{2));-n;\rho ^{-2}\oikea )\\&=(-1)^{\tfrac {n+m}{2}}{\binom {\tfrac {n+m}{2}}{\tfrac {nm}{2}}}\rho ^{m}\ {}_{2}F_{1}\left(1+n,1-{\tfrac {nm}{2));1+{\tfrac {n+m}{2)); \rho ^{2}\oikea)\end{aligned}}

parillisille arvoille n − m .

Ominaisuudet

Ortogonaalisuus

Ortogonaalisuus säteittäisessä osassa kirjoitetaan tasa-arvolla

\int _{0}^{1}\rho {\sqrt {2n+2}}R_{n}^{m}(\rho )\,{\sqrt {2n'+2}}R_{ n'}^{m}(\rho )\,d\rho =\delta _{n,n'}.

Kulmaosan ortogonaalisuutta edustaa joukko yhtäläisyyksiä

\int _{0}^{2\pi }\cos(m\varphi )\cos(m'\varphi )\,d\varphi =\varepsilon _{m}\pi ​​​​\delta _{ |m |,|m'|},

\int _{0}^{2\pi }\sin(m\varphi )\sin(m'\varphi )\,d\varphi =(-1)^{m+m'}\pi \ delta _{|m|,|m'|};\quad m\neq 0,

\int _{0}^{2\pi }\cos(m\varphi )\sin(m'\varphi )\,d\varphi =0,

jossa parametri (jota joskus kutsutaan Neumannin kertoimeksi ) on asetettu arvoon 2 if ja 1 if . Kulma- ja säteittäisten osien tulo määrittää Zernike-funktioiden ortogonaalisuuden molemmissa muuttujissa integroitaessa yksikköympyrän yli: ${\displaystyle \varepsilon _{m))$ $m = 0$ $m\neq 0$

\int Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi )Z_{n'}^{m'}(\rho ,\varphi )\,d^{2}r={\frac { \varepsilon _{m}\pi ​​​​}{2n+2}}\delta _{n,n'}\delta _{m,m'},

missä on napakoordinaattijärjestelmän jakobinen ja molemmat luvut ja ovat parillisia. $d^{2}r=\rho \,d\rho \,d\varphi$ $nm$ $n'-m'$

Esimerkkejä

Radiaalipolynomit

Alla on muutama ensimmäinen radiaalipolynomi.

R_{0}^{0}(\rho )=1

R_{1}^{1}(\rho )=\rho

R_{2}^{0}(\rho )=2\rho ^{2}-1

R_{2}^{2}(\rho )=\rho ^{2}

R_{3}^{1}(\rho )=3\rho ^{3}-2\rho

{\displaystyle R_{3}^{3}(\rho )=\rho ^{3))

R_{4}^{0}(\rho )=6\rho ^{4}-6\rho ^{2}+1

R_{4}^{2}(\rho )=4\rho ^{4}-3\rho ^{2}

R_{4}^{4}(\rho )=\rho ^{4}

R_{5}^{1}(\rho )=10\rho ^{5}-12\rho ^{3}+3\rho

R_{5}^{3}(\rho )=5\rho ^{5}-4\rho ^{3}

R_{5}^{5}(\rho )=\rho ^{5}

R_{6}^{0}(\rho )=20\rho ^{6}-30\rho ^{4}+12\rho ^{2}-1

{\displaystyle R_{6}^{2}(\rho )=15\rho ^{6}-20\rho ^{4}+6\rho ^{2))

R_{6}^{4}(\rho )=6\rho ^{6}-5\rho ^{4}

R_{6}^{6}(\rho )=\rho ^{6}.

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Zernike, F. Beugungstheorie des Schneidenverfahrens und Seiner Verbesserten Form, der Phasenkontrastmethode (saksa) // Physica I : myymälä. - 1934. - Bd. 8 . - S. 689-704 .

Ortogonaaliset polynomit
Besselin polynomit Gegenbauerin polynomit Kravchukin polynomit Laguerren polynomit Legendre-polynomit Polachek-polynomit Rogersin polynomit Zerniken polynomit Chebyshev-polynomit Charlier-polynomit Eremiittipolynomit Jacobin polynomit