Liukuva keskiarvo malli

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 22. huhtikuuta 2019 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Kolmannen kertaluvun liukuva keskiarvomalli on aikasarjamalli , jonka muoto on: $q$ $MA(q)$

X_{t}=\sum _{{j=0}}^{q}b_{j}\varepsilon _{{tj}}

missä on valkoinen kohina , ovat malliparametreja ( voidaan pitää yhtä suurena kuin 1 ilman yleisyyden menetystä). $\varepsilon _{t}$ $b_{j}$ $b_{0}$

Myös vakio lisätään joskus malliin. Koska kuitenkin useimmiten liukuvan keskiarvon malleja käytetään mallintamaan satunnaisvirheitä aikasarjoissa, vakiota voidaan pitää päämallin parametrina.

Valkoisen kohinan prosessia voidaan muodollisesti pitää nollan kertaluvun liukuvan keskiarvon prosessina - MA(0) .

Käytännössä yleisimmin käytetty on ensimmäisen asteen liukuva keskiarvoprosessi MA(1)

X_{t}=\varepsilon _{t}+b\varepsilon _{{t-1}}

Waldin lauseen mukaan mikä tahansa "säännöllinen" stationäärinen prosessi voidaan esittää joksikin prosessi -prosessiksi joillakin kertoimilla (niiden moduulien summan on oltava äärellinen). Tästä seuraa erityisesti, että mikä tahansa "säännöllinen" stationäärinen prosessi voidaan approksimoida millä tahansa tarkkuudella jollakin äärellisen kertaluvun MA(q)-prosessilla. Tällainen menetelmä vaatisi kuitenkin joskus erittäin suuren mallin tilauksen. ARMA -mallit , jotka täydentävät MA-malleja autoregressiivisellä osalla , mahdollistavat malliparametrien määrän vähentämisen . $MA(\infty )$

Operaattorin esitys

Viiveoperaattoria käyttämällä tämä malli voidaan kirjoittaa seuraavasti: $L:~Lx_{t}=x_{{t-1}}$

X_{t}=(1+\sum _{{j=1}}^{q}b_{j}L^{j})\varepsilon _{t}=b(L)\varepsilon _{t}

Jos ominaispolynomin juuret ovat kompleksitasossa yksikköympyrän ulkopuolella (eli itseisarvo on ehdottomasti suurempi kuin yksi), aikasarja on käännettävä, eli se voidaan esittää äärettömänä autoregressiivisenä prosessina: $b(z)$

b^{{-1}}(L)X_{t}=\varepsilon _{t}\Rightarrow X_{t}=c_{0}+\sum _{{j=1}}^{{\infty } }c_{j}X_{{tj}}+\varepsilon _{t}

MA(1)-prosessille palautusehto tarkoittaa, että modulokerroin b on ehdottomasti pienempi kuin yksi.

Autokorrelaatiofunktio

Tätä prosessia varten autokovarianssifunktiolla on muoto

{\begin{cases}\gamma (k)=(\sum _{{j=0}}^{{qk}}b_{j}b_{{k+j}})\sigma _{{\varepsilon } }^{2}&k\leqslant q\\\gamma (k)=0&k>q\end{cases}}

Tästä seuraa, että tämä prosessi on kiinteä prosessi, jossa on dispersio:

\gamma (0)=(\sum _{{j=0}}^{q}b_{j}^{2})\sigma _{{\varepsilon }}^{2}

Siksi autokorrelaatiofunktiolla on muoto:

{\begin{cases}r(k)=\sum _{{j=0}}^{{qk}}b_{j}b_{{k+j}}/\sum _{{j=0}} ^{q}b_{j}^{2}&k\leqslant q\\r(k)=0&k>q\end{cases}}

Voidaan myös osoittaa, että osittainen autokorrelaatiofunktio pienenee eksponentiaalisesti mahdollisen värähtelyn kanssa. Näin ollen tilanne on päinvastainen kuin autoregressiivinen prosessi : osittainen autokorrelaatio vaimenee ja tavallinen autokorrelaatio katoaa q:n jälkeen. Tätä autokorrelaatiofunktioiden ominaisuutta käytetään tunnistamaan liukuvan keskiarvon mallin järjestys.

Arviointimenetelmät

MA-mallien parametrien arvioinnissa tavanomaisten pienimmän neliösumman käyttö on vaikeaa, koska residuaalien neliöiden summaa ei ilmaista analyyttisesti sarjan arvoilla. Voit käyttää suurimman todennäköisyyden menetelmää olettaen normaalijakauman. Arviointiin tarvittava kovarianssimatriisi saadaan yllä olevista MA-prosessin kovarianssien kaavoista. Seuraavaksi käytetään numeerisia menetelmiä log -todennäköisyysfunktion maksimoimiseksi .

Vaihtoehtoinen lähestymistapa, joka vastaa asymptoottisesti suurimman todennäköisyyden menetelmää, on menettely, joka muistuttaa pienimmän neliösumman menetelmää. Jos oletetaan, että havaintojamme edeltävinä ajanjaksoina (siihen asti, jolloin aikasarjoista on tietoja) arvot ovat nolla, niin saadaan: $\varepsilon$

x_{1}=\varepsilon _{1}~,~x_{2}=\varepsilon _{2}+b_{1}\varepsilon _{1}~,~x_{3}=\varepsilon _{3} +b_{1}\varepsilon _{2}+b_{2}\varepsilon _{1},...

Siksi peräkkäisiä lausekkeita voidaan käyttää jäännöksinä:

e_{1}=x_{1}~,~e_{2}=x_{2}-b_{1}e_{1}~,~e_{3}=x_{3}-b_{1}e_{2 }-b_{2}e_{1},\pisteet

Minimoimalla näiden jäännösten neliösumman parametreilla ( numeerisilla menetelmillä ) saamme tarvittavat arviot. Joskus tämän menettelyn muunnelmaa käytetään alkuarvojen ennusteella taaksepäin ( englanninkielinen backcasting ).

Katso myös

liukuva keskiarvo

Kirjallisuus

Ayvazyan S.A. Sovellettu tilasto. Ekonometriikan perusteet. Osa 2. - M . : Unity-Dana, 2001. - 432 s. - ISBN 5-238-00305-6 .
Magnus Ya.R., Katyshev P.K., Peresetsky A.A. Ekonometria. Alkukurssi. - M . : Delo, 2007. - 504 s. - ISBN 978-5-7749-0473-0 .
Ekonometria. Oppikirja / Toim. Eliseeva I.I. - 2. painos - M. : Talous ja tilastot, 2006. - 576 s. — ISBN 5-279-02786-3 .