Monoidinen luokka

Monoidaalinen luokka (tai tensoriluokka ) on luokka C , joka on varustettu bifunktorilla

⊗ : C × C → C ,

joka on assosiatiivinen luonnolliseen isomorfismiin asti ja myös objekti I , joka on identiteetti ⊗ myös luonnolliseen isomorfismiin asti. Luonnollisille isomorfismeille asetetaan myös joitain lisäehtoja. Monoidikategoriassa voidaan antaa monoidin määritelmä, joka yleistää monoidin ominaisuudet yleisestä algebrasta. Itse asiassa tavalliset monoidit ovat monoideja sellaisten sarjojen luokassa, joissa on suora tuote monoidituotteena.

Tavallinen tensoritulo tekee vektoriavaruuksista , Abelin ryhmistä ja moduuleista monoidikategorioita, mielivaltaiset monoidiluokat voidaan nähdä näiden esimerkkien yleistyksenä.

Määritelmä

Muodollisesti monoidaalinen luokka on luokka, joka on varustettu: $\mathbf {C}$

bifunktori , jota kutsutaan tensorituotteeksi tai monoidituotteeksi , $\otimes \colon {\mathbf C}\times {\mathbf C}\to {\mathbf C}$
esine , jota kutsutaan yksiköksi tai identtiseksi objektiksi , $minä$
kolme luonnollista isomorfismia , jotka ilmaisevat, että tensoritulon toiminta
- assosiatiivinen: on olemassa luonnollinen isomorfismi (ns. assosiaattori ) , , $\alpha$ $\alpha _{{A,B,C}}\kaksoispiste (A\oisin B)\oikein C\oikein A\oisin (B\oisin C)$
- $minä$ on yksikkö: on olemassa kaksi luonnollista isomorfismia ja , ja . $\lambda$ $\rho$ $\lambda _{A}\colon I\otimes A\to A$ $\rho _{A}\colon A\otimes I\to A$

Näille luonnollisille isomorfismeille asetetaan lisäehtoja:

kaikille , , , seuraavassa viisikulmaisessa kaaviossa on kommutatiivinen : $A$ $B$ $C$ $D$ $\mathbf {C}$

kaikille ja kolmiokaavio on kommutatiivinen: $A$ $B$

Näistä ehdoista seuraa, että mikä tahansa tämän tyyppinen diagrammi (eli kaavio, jonka nuolet koostuvat yksiköstä , , , yksiköstä ja tensoritulosta) on kommutatiivinen: tämä on MacLanen koherenssilauseen aihe . Esimerkiksi useilla assosiaattorin sovelluksilla on helppo osoittaa, että ja ovat isomorfisia. Assosiaattoreita voidaan soveltaa eri järjestyksessä (esimerkiksi kaaviossa on kaksi tapaa N = 4), mutta koherenssilause tarkoittaa, että eri sovellussekvenssit määrittelevät saman mappauksen. $\alpha$ $\lambda$ $\rho$ $(A_{N}\otimes A_{{N-1}})\otimes \cdots )\otimes A_{2})\otimes A_{1})$ $(A_{N}\otimes (A_{{N-1}}\otimes \cdots \otimes (A_{2}\otimes A_{1})$

Tiukasti monoidaalinen luokka on luokka, jonka luonnolliset isomorfismit α , λ , ρ ovat identtisiä.

Esimerkkejä

Mikä tahansa luokka, jossa on äärellisiä tuotteita , on monoidinen, ja kategorinen tuote on monoidinen tuote ja pääteobjekti yksikkönä . Tällaista luokkaa kutsutaan joskus karteesiseksi monoidikategoriaksi . Esimerkiksi:
- ${\mathbf {Set}}$ — joukkojen luokka, jossa on suorakulmainen tulo ja yksielementtijoukko yksikkönä.
Mikä tahansa luokka, jossa on äärelliset sivutulot , on myös monoidi, jonka yksikkönä on yhteistulo ja alkuobjekti .
R -Mod , kommutatiivisen renkaan R ylittävien moduulien luokka , on monoidaalinen, ja tensoritulo⊗ R ja rengas R (ymmärretään moduulina itsensä yläpuolella) ovat identiteetti.
Endofunktioiden luokka (funktiot itseensä) luokassa C on tiukka monoidaalinen luokka, jonka tuotetoimintona on funktionaalikoostumus.

Katso myös

Muistiinpanot

Kelly, G. Max (1964). "MacLanen ehdoista luonnollisten assosiaatioiden, kommutatiivisuuksien jne. koherenssille." —Journal of Algebra 1 , 397-402
Kelly, G. Max. Rikastetun kategoriateorian peruskäsitteet . - Cambridge University Press , 1982. - (London Mathematical Society Lecture Note Series No. 64).
Mac Lane, Saunders (1963). "Luonnollinen assosiaatio ja kommutatiivisuus". —Rice University Studies 49 , 28-46.
McLane S. Luku 7. Monoidit // Kategoriat työskentelevälle matemaatikolle / Per. englannista. toim. V. A. Artamonova. - M .: Fizmatlit, 2004. - S. 188-221. — 352 s. — ISBN 5-9221-0400-4 .