Monoidinen luokka

Monoidaalinen luokka (tai tensoriluokka ) on luokka C , joka on varustettu bifunktorilla

⊗ : C × C → C ,

joka on assosiatiivinen luonnolliseen isomorfismiin asti ja myös objekti I , joka on identiteetti myös luonnolliseen isomorfismiin asti. Luonnollisille isomorfismeille asetetaan myös joitain lisäehtoja. Monoidikategoriassa voidaan antaa monoidin määritelmä, joka yleistää monoidin ominaisuudet yleisestä algebrasta. Itse asiassa tavalliset monoidit  ovat monoideja sellaisten sarjojen luokassa, joissa on suora tuote monoidituotteena.

Tavallinen tensoritulo tekee vektoriavaruuksista , Abelin ryhmistä ja moduuleista monoidikategorioita, mielivaltaiset monoidiluokat voidaan nähdä näiden esimerkkien yleistyksenä.

Määritelmä

Muodollisesti monoidaalinen luokka on luokka, joka on varustettu:

Näille luonnollisille isomorfismeille asetetaan lisäehtoja:

Näistä ehdoista seuraa, että mikä tahansa tämän tyyppinen diagrammi (eli kaavio, jonka nuolet koostuvat yksiköstä , , , yksiköstä ja tensoritulosta) on kommutatiivinen: tämä on MacLanen koherenssilauseen aihe . Esimerkiksi useilla assosiaattorin sovelluksilla on helppo osoittaa, että ja ovat isomorfisia. Assosiaattoreita voidaan soveltaa eri järjestyksessä (esimerkiksi kaaviossa on kaksi tapaa N = 4), mutta koherenssilause tarkoittaa, että eri sovellussekvenssit määrittelevät saman mappauksen.

Tiukasti monoidaalinen luokka  on luokka, jonka luonnolliset isomorfismit α , λ , ρ  ovat identtisiä.

Esimerkkejä

Katso myös

Muistiinpanot