Käänteinen heiluri

Käänteinen heiluri on laite, joka on heiluri , jonka massakeskus on tukipisteen yläpuolella ja joka on kiinnitetty jäykän sauvan päähän. Usein tukipiste kiinnitetään vaunuun, joka voi liikkua vaakasuunnassa. Vaikka normaali heiluri roikkuu tasaisesti alaspäin, käänteinen heiluri on luonnostaan epävakaa ja sitä on jatkuvasti tasapainotettava pysyäkseen pystyssä joko kohdistamalla vääntömomentti kääntöpisteeseen tai siirtämällä kääntöpistettä vaakasuoraan osana takaisinkytkentäjärjestelmää . Yksinkertaisin esittely olisi tasapainottaa lyijykynä sormesi päässä.

Yleiskatsaus

Käänteinen heiluri on klassinen ongelma dynamiikassa ja ohjausteoriassa, ja sitä käytetään laajasti vertailualgoritmien ( PID-ohjaimet , hermoverkot , sumea ohjaus jne.) testaamiseen.

Käänteinen heiluriongelma liittyy ohjuksen ohjaukseen, koska ohjuksen moottori sijaitsee painopisteen alapuolella, mikä aiheuttaa epävakautta. [1] Sama ongelma on ratkaistu esimerkiksi Segwayssä , itsetasapainottavassa kuljetuslaitteessa.

Toinen tapa vakauttaa käänteinen heiluri on heiluttaa alustaa nopeasti pystytasossa. Tässä tapauksessa voit tehdä ilman palautetta. Jos värähtelyt ovat riittävän voimakkaita (kiihtyvyyden ja amplitudin suhteen), käänteisheiluri voi stabiloitua. Jos liikkuva piste värähtelee yksinkertaisten harmonisten värähtelyjen mukaisesti , heilurin liikettä kuvataan Mathieu-funktiolla .

Liikeyhtälöt

Kiinteällä tukipisteellä

Liikeyhtälö on samanlainen kuin suora heiluri , paitsi että kulma-asennon merkki mitataan epävakaan tasapainon pystyasennosta :

{\ddot {\theta }}-{g \over \ell }\sin \theta =0

Käännettäessä sillä on sama merkki kulmakiihtyvyydestä :

{\ddot {\theta }}={g \over \ell }\sin \theta

Siten käänteinen heiluri kiihtyy pystysuorasta epävakaasta tasapainosta vastakkaiseen suuntaan, ja kiihtyvyys on kääntäen verrannollinen pituuteen. Korkea heiluri putoaa hitaammin kuin lyhyt.

Heiluri vaunussa

Liikeyhtälöt voidaan johtaa Lagrangen yhtälöiden avulla . Puhumme yllä olevasta kuvasta, jossa heilurin kulma on pitkä suhteessa pystysuoraan ja painovoiman ja ulkoisten voimien vaikuttavaan suuntaan . Määritä kärryn sijainti. Järjestelmän Lagrange : $\theta (t)$ $l$ $F$ $x$ $x(t)$ $L=TV$

L={\frac {1}{2}}Mv_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}mv_{2}^{2}-mg\ell \cos \theta

missä on kärryn nopeus ja materiaalipisteen nopeus . ja se voidaan ilmaista nopeudella ja kirjoittamalla paikan ensimmäisenä derivaatana. $v_{1}$ $v_{2}$ $m$ $v_{1}$ $v_{2}$ $x$ $\theta$

v_{1}^{2}={\piste {x}}^{2}

v_{2}^{2}=\left({\frac {d}{dt)){\left(x-\ell \sin \theta \right)}\right)^{2}+\ vasen({\frac {d}{dt}}{\left(\ell \cos \theta \right)}\right)^{2}

Lausekkeen yksinkertaistaminen johtaa: $v_{2}$

v_{2}^{2}={\piste {x}}^{2}-2\ell {\piste {x}}{\piste {\theta }}\cos \theta +\ell ^ {2}{\piste {\theta }}^{2}

Lagrangian määritellään nyt kaavalla:

L={\frac {1}{2}}\vasen(M+m\oikea){\piste {x}}^{2}-m\ell {\piste {x}}{\piste { \theta ))\cos \theta +{\frac {1}{2}}m\ell ^{2}{\piste {\theta }}^{2}-mg\ell \cos \theta

ja liikeyhtälöt:

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\partial {L} \over \partial {\dot {x}}}-{\partial {L} \over \ osittainen x}=F

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\partial {L} \over \partial {\dot {\theta }}}-{\partial {L} \over \partial \theta }=0

Näiden lausekkeiden korvaaminen myöhemmällä yksinkertaistamisella johtaa yhtälöihin, jotka kuvaavat käänteisen heilurin liikettä: $L$

\left(M+m\right){\ddot {x}}-m\ell {\ddot {\theta }}\cos \theta +m\ell {\piste {\theta }}^{2 }\sin \theta =F

\ell {\ddot {\theta }}-g\sin \theta ={\ddot {x}}\cos \theta

Nämä yhtälöt ovat epälineaarisia, mutta koska ohjausjärjestelmän tavoitteena on pitää heiluri pystysuorassa, yhtälöt voidaan linearisoida ottamalla . $\theta \noin 0$

Heiluri värähtelevällä pohjalla

Tällaisen heilurin liikeyhtälö liittyy massattomaan värähtelevään kantaan ja saadaan samalla tavalla kuin vaunussa oleva heiluri. Materiaalipisteen sijainti määritetään kaavalla:

\left(-\ell \sin \theta ,y+\ell \cos \theta \right)

ja nopeus löydetään paikan ensimmäisen derivaatan kautta:

v^{2}={\piste {y}}^{2}-2\ell {\piste {y}}{\piste {\theta }}\sin \theta +\ell ^{2} {\piste {\theta }}^{2}.

Tämän järjestelmän Lagrangian voidaan kirjoittaa seuraavasti:

L={\frac {1}{2}}m\left({\piste {y}}^{2}-2\ell {\piste {y}}{\piste {\theta }}\ sin \theta +\ell ^{2}{\piste {\theta }}^{2}\oikea)-mg\left(y+\ell \cos \theta \right)

liikeyhtälöt seuraavat:

{\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}{\partial {L} \over \partial {\piste {\theta ))}-{\partial {L} \over \partial \theta }=0

tuloksena:

\ell {\ddot {\theta }}-{\ddot {y}}\sin \theta =g\sin \theta .

Jos y vaihtelee yksinkertaisten harmonisten värähtelyjen mukaisesti , niin saadaan differentiaaliyhtälö : $y=A\sin \omega t$

{\ddot {\theta }}-{g \over \ell }\sin \theta =-{A \over \ell }\omega ^{2}\sin \omega t\sin \theta .

Tällä yhtälöllä ei ole alkeisratkaisua suljetussa muodossa, vaan sitä voidaan tutkia moneen suuntaan. Se on lähellä Mathieun yhtälöä esimerkiksi silloin, kun värähtelyamplitudi on pieni. Analyysi osoittaa, että heiluri pysyy pystyssä, kun heiluttaa nopeasti. Ensimmäinen kaavio osoittaa, että hitaasti värähtelevällä heilurilla heiluri putoaa nopeasti poistuttuaan vakaasta pystyasennosta. Jos se värähtelee nopeasti, heiluri voi olla vakaa pystyasennon ympärillä. Toinen kaavio osoittaa, että vakaasta pystyasennosta poistuttuaan heiluri alkaa nyt värähdellä pystyasennon ympärillä ( ), poikkeama pystyasennosta pysyy pienenä eikä heiluri putoa. $y$
$y$ $\theta=0$

Sovellus

Esimerkkinä on ihmisten ja esineiden tasapainottaminen, kuten akrobatiassa tai yksipyöräilyssä . Ja myös segway - sähköinen itsetasapainottava skootteri kahdella pyörällä.

Käänteinen heiluri oli keskeinen komponentti useiden varhaisten seismografien kehityksessä [2] .

Katso myös

itsetasapainottava yksipyörä
segway
kaksinkertainen käänteinen heiluri
Gyroskooppinen heiluri
furuta heiluri

Linkit

↑ Raketin vakaus (downlink) . Haettu 23. huhtikuuta 2012. Arkistoitu alkuperäisestä 7. kesäkuuta 2013. (määrätön)
↑ Seismometrian varhainen historia (vuoteen 1900) (linkki ei saatavilla) . Haettu 30. syyskuuta 2017. Arkistoitu alkuperäisestä 27. elokuuta 2016. (määrätön)

D. Liberzon Switching in Systems and Control (2003 Springer) s. 89ff

Lue lisää

Franklin; et ai. (2005). Dynaamisten järjestelmien palauteohjaus, 5, Prentice Hall. ISBN 0-13-149930-0