Weylin rajoitus

Skalaarirajoitus (tunnetaan myös nimellä "Weyl-rajoitus") on funktori , joka mille tahansa äärelliselle kentän laajennukselle L/k ja mille tahansa algebralliselle variaatiolle X yli L tuottaa toisen muunnelman Res L / k X , joka on määritelty k yli . Skalaarirajoite on hyödyllinen pelkistettäessä kysymyksiä lajikkeista suurilla pelloilla monimutkaisempia lajikkeita koskeviin kysymyksiin pienempien peltojen osalta.

Määritelmä

Olkoon L/k äärellinen kenttälaajennus ja X monisto, joka on määritelty L: n yli . Funktori k - skeemoista op joukkoihin määritellään lausekkeella $\mathrm {Res} _{L/k}X$

\mathrm {Res} _{L/k}X(S)=X(S\times _{k}L)

(Erityisesti lajikkeen k -rationaaliset pisteet ovat X :n L -rationaalisia pisteitä .) Tämän funktorin edustamaa lajiketta kutsutaan skalaarirajoitteeksi, ja se on ainutlaatuinen isomorfismiin asti, jos sellainen on olemassa. $\mathrm {Res} _{L/k}X$

Joukkopyörien näkökulmasta skalaarien rajoitus on yksinkertaisesti differentiaali morfismin Spec L Spec k mukaan ja on oikea konjugaatti kaavioiden kuitutuloon , joten yllä oleva määritelmä voidaan muotoilla uudelleen yleisemmin. Erityisesti kenttälaajennukset voidaan korvata millä tahansa rengasmaisella topoi- morfismilla , ja oletus X :stä voidaan lieventää esimerkiksi pinoiksi. Tämä johtaa löyhempään hallintaan skalaarirajoitteen käyttäytymisessä. $\to$

Ominaisuudet

Minkä tahansa äärellisen kentän laajennukselle skalaarirajoite ottaa kvasiprojektiii- visen muunnelman kvasiprojektiiviseksi. Tuloksena olevan jakotukin mitta kerrotaan laajennusasteella.

Oikeissa olosuhteissa (esimerkiksi litteä, oikea, äärellisesti esitetty) mikä tahansa algebrallisten avaruuksien morfismi tuottaa skalaarirajoitusfunktion, joka kuvaa algebralliset pinot algebrallisiin pinoihin säilyttäen sellaiset ominaisuudet kuin Artin-pino, Deligne. -Mumford-pino ja ajateltavuus. $T\to S$

Esimerkit ja sovellukset

1) Olkoon L s-asteen kentän k äärellinen jatke. Silloin (Spec L ) = Spec( k ) ja on s-ulotteinen affiniavaruus Spec k :n yli . ${\displaystyle \mathrm {Res} _{L/k))$ $Res_{L/k}\mathbb {A} ^{1}$ $\mathbb {A} ^{s}$

2) Jos X on lausekkeen määrittelemä affiini L -monisto

X={\text{Spec}}L[x_{1},\dots ,x_{n}]/(f_{1},\dots ,f_{m})

voidaan kirjoittaa muodossa Spec , jossa y i,j ( ) ovat uusia muuttujia ja g l,r ( ) on polynomi in, joka saadaan valitsemalla laajennuksen L k - kanta ja asettamalla ja . $\mathrm {Res} _{L/k}X$ $k[y_{i,j}]/(g_{l,r})$ $1\leq i\leq n,1\leq j\leq s$ $1\leq l\leq m,1\leq r\leq s$ $y_{i,j}$ ${\displaystyle e_{1},\dots ,e_{s))$ ${\displaystyle x_{i}=y_{i,1}e_{1}+\dots +y_{i,s}e_{s))$ ${\displaystyle f_{t}=g_{t,1}e_{1}+\dots +g_{t,s}e_{s))$

3) Skalaarien rajoittaminen äärellisen kentän laajennuksen yli muuttaa ryhmäkaaviot ryhmäkaavioiksi.

Erityisesti:

4) Thor

{\displaystyle \mathbb {S} :=\mathrm {Res} _{\mathbb {C} /\mathbb {R} }\mathbb {G} _{m))

jossa G m tarkoittaa multiplikatiivista ryhmää, sillä on olennainen rooli Hodge-teoriassa, koska todellisten Hodge-rakenteiden Tannakie-kategoria vastaa esitysten luokkaa S . Reaalipisteillä on Lie -ryhmärakenne, joka on isomorfinen . Katso Mumford–Tate-ryhmä . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times ))$

5) (Kommutatiivisen) ryhmämoniston Weil-rajoitus on jälleen dimensioiden (kommutatiivinen) ryhmämonisto, jos L on erotettavissa k :n yli . Alexander Momot sovelsi Weilin rajoituksia kommutatiivisille ryhmävarianteille uusien tulosten saamiseksi transsendenssiteoriassa, joka perustui algebrallisen ulottuvuuden kasvuun. $\mathrm {Res} _{L/k}\mathbb {G}$ $\mathbb {G}$ $[L:k]\dim \mathbb {G}$ $k=\mathbb {R}$ $L=\mathbb {C}$

6) Abelin lajikkeiden skalaarien rajoitus (esim. elliptiset käyrät ) antaa Abelin lajikkeita, jos L on erotettavissa k yli . James Meehl käytti tätä pelkistääkseen Birch-Swinnerton-Dyer- oletuksen Abelin lajikkeista kaikilla lukukentillä samaksi olettamukseksi rationaalilukujen osalta.

7) Elliptisessä kryptografiassa Weilin laskeutuminen käyttää Weylin rajoitusta elliptisen käyrän diskreetin logaritmiongelman muuntamiseen äärellisen kentän laajennuksen L/K yli diskreetiksi logaritmiongelmaksi hyperbolisen käyrän Jacobi-monistossa peruskentän K yli, mikä on mahdollisesti helpompi ratkaista pienemmän kenttäkoon K ansiosta.

Weilin rakenteet vs. Greenbergin muunnokset

Skalaarirajoitus on samanlainen kuin Greenberg-muunnos, mutta ei yleistä sitä, koska kommutatiivisen algebran A Witt-vektorirengas ei yleensä ole A -algebra.

Muistiinpanot

Kirjallisuus

Andrew Weil. Adeles ja algebralliset ryhmät. - Birkhäuser, 1982. - T. 23. - (Matematiikan edistyminen). Muistiinpanot luennoille 1959-1960.
- Weil A. ADELIE JA ALGEBRAISET RYHMÄT // Matematiikka. - 1964. - T. 8 , no. 4 . - S. 3-74 .
Siegfried Bosch, Werner Lütkebohmert, Michel Raynaud . Neron mallit. - Berliini, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 1990. - T. 21. - (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzbiete). — ISBN 3-540-50587-3 . — ISBN 0-387-50587-3 .
James S. Milne. Abelin lajikkeiden aritmetiikasta // Keksi. Matematiikka. - 1972. - Numero. 17 . - S. 177-190 .
Martin Olson. Hom-pinot ja skalaarien rajoittaminen // Duke Math J .. - 2006. - Vol. 134 . — S. 139–164 .
Björn Poonen. Järkeviä näkökohtia lajikkeista . - American Mathematical Society, 2017. - V. 186. - (Matematiikan jatko-opinnot). - ISBN 978-1-4704-3773-2 .
Alexander Lech Momot. Rationaalisten pisteiden tiheys kommutatiivisilla ryhmälajikkeilla ja pieni transsendenssiaste . – 2010.