Malfatin piirit

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 17. maaliskuuta 2022 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Malfatti -ympyrät  ovat kolme ympyrää tietyn kolmion sisällä siten, että jokainen ympyrä koskettaa kolmion kahta muuta ja kahta sivua. Ympyrät on nimetty Gianfrancesco Malfattin , joka aloitti näiden ympyröiden rakentamisongelman tutkimisen siinä virheellisessä uskossa, että ne muodostavat suurimman mahdollisen alueen kolmesta ei-leikkautuvasta ympyrästä kolmion sisällä. Malfatti-ongelma liittyy molempiin ongelmiin, sekä Malfatti-ympyröiden rakentamiseen että ongelmaan löytää kolme ei-leikkautuvaa ympyrää kolmion sisältä, jonka kokonaispinta-ala on suurin.

Malfatti-ongelma

Vuonna 1803 Gianfrancesco Malfatti ehdotti kolmen lieriömäisen pilarin veistämistä kolmiomaisesta marmoriprismasta siten, että pylväiden kokonaistilavuus maksimoidaan. Hän uskoi, kuten monet muut hänen jälkeensä, että ratkaisun ongelmaan antaa kolme toisiaan koskettavaa ympyrää. Eli kolme Malfatti-ympyrää antavat suurimman kokonaispinta-alan kaikista kolmion sisällä olevista ei-leikkaavista ympyröistä.

Malfatti julkaisi teoksen italiaksi, eivätkä monet pystyneet lukemaan sitä alkuperäisenä. Joseph Dias Gergonne käänsi teoksen ranskaksi Annalesin ensimmäisessä osassa (1810-1811), jota seurasi keskustelu toisessa ja kymmenennessä osassa. Kuitenkin käännöksessä Gergonne esitti vain tangenttiympyröiden ongelman, mutta ei ongelmaa maksimialueen löytämisessä.

Hypoteesi osoittautui vääräksi. Vuonna 1930 havaittiin [1] , että joissakin kolmioissa voidaan saada suurempi pinta-ala käyttämällä ahneita algoritmeja , jotka piirtävät kolmioon suurimman säteen omaavan ympyrän ja kirjoittavat sitten toisen ympyrän yhteen kulmista, jolla on pienin kulma. ja piirtää sitten kolmannen ympyrän yhdelle viidestä jäljellä olevasta alueesta. Säännöllisen kolmion pinta-alaero on pieni, hieman yli 1 % [2] mutta kuten Howard Eaves totesi vuonna 1946 , tasakylkiselle kolmiolle , jonka kärjessä on erittäin terävä kulma, optimaaliset ympyrät (toistensa yläpuolella) , alustasta alkaen) on lähes kaksinkertainen pinta-alalla Malfatti-ympyröihin verrattuna [3] [4] . Vuonna 1967 [5] osoitettiin, että mille tahansa kolmiolle rakenne antaa kolme ympyrää, joiden pinta-ala on suurempi kuin Malfatti-ympyrät, joten Malfatti-ympyrät eivät koskaan ole optimaalisia.

Vuonna 1992 [6] luokiteltiin kaikki tavat järjestää ympyröitä, joiden kokonaispinta-ala on suurin kolmion sisällä. Tätä luokittelua käyttämällä todistetaan, että ahne algoritmi löytää aina pinta-alan maksimoivia ympyröitä, ja ehdotetaan kaavaa, jolla määritetään mikä ympyröiden järjestely on optimaalinen tietylle kolmiolle. Vuonna 1997 arveltiin, että mille tahansa kokonaisluvulle n ahne algoritmi tietylle kolmiolle löytää joukon n ympyrää, joiden kokonaispinta-ala on suurin. Tiedetään, että olettamus pitää paikkansa [7] .

Historia

1700-luvun japanilainen matemaatikko Ajima Naonobu (安島 直円) ehdotti ongelmaa kolmen tangentin muodostamisesta kolmion sisään jo ennen Malfattin työtä, ja tämä ongelma sisällytettiin julkaisemattomaan Ajiman teosten kokoelmaan, joka kerättiin vuosi hänen kuolemansa jälkeen. opiskelija Kusaka Makoto [8] . Sama ongelma löydettiin aiemmasta Montepulcianon ( Gilio di Cecco da Montepulciano ) käsikirjoituksesta vuodelta 1384. Käsikirjoitus on Italian Sienan kaupunginkirjastossa 9] .

Malfatin ajoista lähtien Malfattin tangenttiympyröiden rakentamismenetelmistä on tehty suuri määrä töitä. Richard Guy huomautti, että ongelmaa käsittelevä kirjallisuus on "laajaa, hajanaista eikä aina ole tietoinen omasta olemassaolostaan" [10] [11][ määritä ] . On huomionarvoista, että Jacob Steiner esitti vuonna 1826 yksinkertaisen geometrisen rakenteen, joka perustuu yhteisiin tangentteihin . Muut kirjoittajat väittivät, että Steinerin rakennetta ei todistettu riittävästi, ja Andrew Searle Hart toimitti todisteen vuonna 1856, mutta Guy viittasi todisteeseen kahdessa Steinerin omassa paperissa. Lob ja Richmond (Lob, Richmond) mainitsivat ratkaisut Lemus (CL Lehmus, 1819), katalaani (1845), Derusso (J. Derousseau, 1895), Pampucha (A. Pampuch, 1904) ja Coolidge (JL Coolidge, 1916). ), perustuu tehtävän algebralliseen muotoiluun. Algebralliset ratkaisut eivät tee eroa ympyrän ja tietyn kolmion sisäisten ja ulkoisten kosketusten välillä. Jos ongelma on yleistetty sallien kaikenlaiset kosketukset, niin annetulle kolmiolle on 32 eri ratkaisua [12] ja päinvastoin, toisiaan tangenttiympyrän kolminkertainen ratkaisu on kahdeksalle eri kolmiolle [10] . Bottema ja Guy ( Bottema, 2001 , Guy, 2007 ) mainitsivat myös Adamsin (C. Adams, 1846), Adolphe Quidden (1850), Schellbachin (KH Schellbach, 1853), Cayleyn (1854, 1854, 1857, 1875), Clebsh (1857), Simons (P. Simons, 1874), Casey (J. Casey, 1888), Roche ja Combrus (Rouché, Comberousse, 1900), Baker (HF Baker, 1925), Rogers (LJ) Rogers, 928), Procissi (Angelo Procissi, 1932), Naito (Jun Naito, 1975) ja Rogers (DG Rogers, 2005).

Gato ja Mazzotti ( Gotto, 2000 , Mazzotti, 1998 ) esittävät 1800-luvun napolilaisen matematiikan jakson, joka liittyy Malfattin piireihin. Vuonna 1839 Vincenzo Flauti julkaisi kilpailun, jossa ratkaistiin kolme geometrista tehtävää, joista yksi oli Malfattin ympyröiden rakentaminen. Hänen tavoitteenaan oli osoittaa synteettisen tekniikan (geometria ilman koordinaattien käyttöä) paremmuus analyyttiseen verrattuna. Huolimatta siitä, että ratkaisun löysi kilpailevan analyyttisen geometrian koulukunnan opiskelija Fortunato Padula, Flauti luovutti palkinnon omalle oppilaalleen Nicola Trudille, jonka ratkaisun Flauti tiesi jo ennen kilpailun julkistamista. Viime aikoina Malfatti-ympyröiden muodostamisen ongelmaa on käytetty tietokonealgebrajärjestelmien testaamiseen [13] [14] .

Steinerin rakennus

Vaikka suuri osa Malfattin varhaisista ympyrätöistä käyttää analyyttistä geometriaa , Jacob Steiner antoi vuonna 1826 seuraavan yksinkertaisen geometrisen rakenteen.

Kolmion kahta sivua sivuavan ympyrän keskipisteen, joka havaitaan Malfatti-ympyröissä, on oltava yhdellä kolmion puolittajista (kuvassa vihreät segmentit). Nämä puolittajat jakavat kolmion kolmeen pienempään kolmioon, ja Steinerin rakentama Malfatti-ympyrät alkaa rakentamalla kolme apuympyrää (näkyy kuvassa katkoviivoilla), jotka on merkitty näihin kolmeen kolmioon. Jokaisella apuympyräparilla on kaksi yhteistä tangenttia. Yksi näistä tangenteista on puolittaja, ja toinen on esitetty kuvassa punaisella katkoviivalla. Merkitään kolmion sivut kirjaimilla a , b ja c sekä kolmella tangentilla, jotka eivät ole puolittajaa kirjaimilla x , y ja z , missä x on yhteinen tangentti ympyröille, jotka eivät kosketa sivua a , y on niiden ympyröiden yhteinen tangentti, jotka eivät kosketa sivua a. sivua b koskettava ja z on yhteinen tangentti ympyröille, jotka eivät kosketa sivua c . Sitten kolme Malfatti - ympyrää ympyrän]15[bczyjaaczx,abyxnelikulmionkolmenovat [10] piirretyt ympyrät .

Sädekaava

Jokaisen kolmen Malfatti-ympyrän säde voidaan löytää kaavalla käyttämällä kolmion sivujen a , b ja c pituuksia , piirretyn ympyrän sädettä r , puolikehää ja kolmea etäisyyttä d , e ja f kolmion piirretyn ympyrän keskipisteestä vastakkaisiin pisteisiin a , b ja c . Näiden kolmen säteen kaavat ovat:

(Sädeympyrän keskipiste kuuluu segmenttiin ; Sädeympyrän keskipiste kuuluu segmenttiin ; Säteen ympyrän keskipiste kuuluu segmenttiin .)

Stevanovićin ( 2003 ) mukaan nämä kaavat löysi Malfatti, ja ne julkaistiin postuumisti vuonna 1811.

Aiheeseen liittyviä kaavoja voidaan käyttää esimerkkejä kolmioista, joiden sivujen pituudet, ympyrän säde ja Malfattin ympyrän säteet ovat rationaalisia tai kokonaislukuja. Esimerkiksi kolmion, jonka sivut ovat 28392, 21000 ja 25872, piirretyn ympyrän säde on 6930 ja Malfattin säteet 3969, 4900 ja 4356. Toinen esimerkki: kolmiolla, jonka sivut ovat 152460, 165000 ja 165000 ja 5, ympyrän säde 7401 ja 201,9074 säteet 27225, 309076 ja [16] .

Points of Ajima - Malfatti

Kun on annettu kolmio ABC ja sen kolme Malfatti-ympyrää, olkoon D , E ja F pisteitä, joissa nämä kaksi ympyrää koskettavat ,  vastapäätä pisteitä A , B ja C. Sitten kolme suoraa AD , BE ja CF leikkaavat yhdessä merkittävässä pisteessä , joka tunnetaan ensimmäisenä Ajima-Malfatti-pisteenä . Toinen piste Ajima-Malfatti on kolmen suoran leikkauspiste, jotka yhdistävät Malfattin ympyröiden kosketuspisteet kolmion ulkopiirien keskusten kanssa [17] [18] . Muita Malfatti-ympyröihin liittyviä kolmion keskipisteitä ovat Iffa-Malfatti-piste, joka on muodostettu samalla tavalla kuin ensimmäinen Malfatti-piste, kolmesta toisiaan tangenttiympyrästä ja kolmion (pidennetyistä) sivuista, mutta joka on osittain kolmion ulkopuolella, [19] ja radikaalikeskus kolme Malfatti-ympyrää [20] .

Katso myös

Muistiinpanot

  1. ↑ Lob, Richmond, 1930 , s. 287-304.
  2. ↑ Wells, 1991 .
  3. ↑ Eves, 1946 .
  4. ↑ Ogilvy, 1990 .
  5. ↑ Goldberg, 1967 .
  6. ↑ Zalgaller, Los, 1992 , s. 14-33.
  7. ↑ Andreatta, Bezdek, Boroński, 2010 .
  8. ↑ Fukagawa, Rothman, 2008 .
  9. ↑ Simi, Rigatelli, 1993 .
  10. ↑ 1 2 3 Mies, 2007 .
  11. ↑ Richard K. Guy. Kolmio. - S. 114.
  12. ↑ Bottema, 2001 kiittää Pampuhia (1904) näiden ratkaisujen luettelemisesta, mutta Cajori (1893) huomautti, että ratkaisujen lukumäärä oli annettu jo vuonna 1826 Steinerin huomautuksissa.
  13. ↑ Hitotumatu, 1995 .
  14. ↑ Takeshima, Anai, 1996 .
  15. ↑ Martin, 1998 , harjoitus 5.20 sivulla 96.
  16. ↑ Miller, 1875 .
  17. ↑ Weisstein, Eric W. Ajima-Malfatti Pisteet  Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
  18. ↑ C. Kimberling, Encyclopedia of Triangle Centers Arkistoitu 19. huhtikuuta 2012 Wayback Machinessa , X(179) ja X(180).
  19. ↑ Encyclopedia of Triangle Centers, X(400).
  20. ↑ Stevanovic, 2003 .

Kirjallisuus

Linkit