Operaattori (matematiikka)

Operaattori ( myöhäinen latinalainen operaattori - työntekijä, esiintyjä, operorista - työskentelen, toimin) - matemaattinen määritys joukkojen välillä , jossa jokaisella niistä on jokin lisärakenne ( järjestys, topologia, algebralliset operaatiot). Operaattorin käsitettä käytetään matematiikan eri aloilla sen erottamiseksi muunlaisista kartoituksista (pääasiassa numeerisista funktioista ); tarkka merkitys riippuu kontekstista, esimerkiksi funktionaalisessa analyysissä operaattorit ymmärretään kuvauksiksi, jotka yhdistävät funktioita toiseen funktioon ("operaattori funktioiden avaruudessa" eikä "funktio funktiosta").

Jotkut operaattorityypit:

funktioavaruuksien operaattorit ( differentiointi , integrointi , ytimen konvoluutio , Fourier -muunnos) funktionaalisessa analyysissä ;
kuvaukset (erityisesti lineaariset) vektoriavaruuksien välillä (projektorit, koordinaattirotaatiot, homoteetit, vektori-matriisi kertolasku) lineaarisessa algebrassa ;
sekvenssien muunnos (diskreettien signaalien konvoluutio, mediaanisuodatin) diskreetissä matematiikassa .

Perusterminologia

Operaattorin sanotaan toimivan joukosta joukkoon . Operaattoria ei välttämättä ole määritelty kaikkialla ; silloin puhutaan sen määritelmäalueesta . Tuloksena käytetään operaattoria merkitsemään tai . $A:X\to Y$ $X$ $Y$ $X$ $D_{A}=D(A)\osajoukko X$ $x\in X$ $A$ $x$ $Kirves)$ $Kirves$

Jos ja ovat vektoriavaruuksia , niin kaikkien operaattoreiden joukosta alkaen - voidaan erottaa lineaaristen operaattorien luokka . $X$ $Y$ $X$ $Y$

Jos ja ovat vektoritopologisia avaruuksia , niin operaattoreiden joukossa from to jatkuvien operaattoreiden luokka sekä lineaarisesti rajattujen operaattorien luokka ja lineaaristen kompaktien operaattorien luokka (kutsutaan myös täysin jatkuviksi) erotetaan luonnollisesti . $X$ $Y$ $X$ $Y$

Yksinkertaisia esimerkkejä

Funktiotavaruuksiin vaikuttava operaattori on sääntö, jonka mukaan funktio muunnetaan toiseksi. Säännön mukaisen funktion muunnos toiseksi funktioksi on muotoa tai yksinkertaisemmin . $x(t)$ $A$ $y(t)$ $y(t)=A\{x(t)\}$ $y = kirves$

Esimerkkejä tällaisista muunnoksista ovat kertominen luvulla: ja differentiointi: . Vastaavia operaattoreita kutsutaan luvulla kertomisen, differentioinnin, integroinnin, differentiaaliyhtälön ratkaisun jne. operaattoreiksi. $y(t)=cx(t)$ $\scriptstyle y(t)={\frac {dx(t)}{dt))$

Operaattoreita, jotka muokkaavat funktion argumenttia, kutsutaan muunnosoperaattoreiksi tai muunnoksiksi . Muunnos korvaa koordinaattiakselit, näyttää funktion toisessa tilassa. Esimerkiksi Fourier-muunnos ajasta taajuusalueeseen:

F(\omega )={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}}}\int \limits _{{-\infty }}^({\infty }}f(t)e^{ {-it\omega }}\,dt={\mathcal {F}}\{f(t)\}.

Ero operaattorin ja yksinkertaisen funktioiden superposition välillä tässä tapauksessa on se, että funktion arvo yleisesti ottaen kussakin pisteessä ei riipu vain funktiosta, vaan funktion arvoista kaikissa pisteissä . Selvitetään Fourier-muunnoksen esimerkillä. Tämän muunnoksen arvo (funktiospektri) pisteessä muuttuu alkuperäisen funktion jatkuvan muutoksen myötä minkä tahansa pisteen läheisyydessä . $y$ $t$ $x(t)$ $x$ $t$ $\omega$ $t$

Operaattoreiden teoria käsittelee operaattoreiden yleisten ominaisuuksien tutkimista ja niiden soveltamista erilaisten ongelmien ratkaisemiseen . Esimerkiksi käy ilmi, että vektori-matriisi kertolaskuoperaattorilla ja painollisen funktion konvoluutiooperaattorilla on monia yhteisiä ominaisuuksia.

Käytännön perustana on ns. lineaaristen operaattoreiden luokka . Se on myös tutkituin. Esimerkki lineaarisesta operaattorista on operaatio, jossa -ulotteinen vektori kerrotaan matriisilla, jonka koko on . Tämä operaattori kartoittaa vektoreiden -ulotteisen avaruuden -ulotteiseen avaruuteen . $n$ $n\ kertaa m$ $n$ $m$

Lineaariset operaattorit

Operaattoria (joka toimii vektoriavaruudesta vektoriavaruuteen) kutsutaan lineaariseksi homogeeniseksi (tai yksinkertaisesti lineaariseksi ), jos sillä on seuraavat ominaisuudet: $L$

voidaan soveltaa termi kerrallaan argumenttien summaan: $L(x_{1}+x_{2})=L(x_{1})+L(x_{2})$ ;
operaattorin etumerkistä voidaan ottaa skalaari (vakioarvo) : $c$ $L(cx)=cL(x)$ ;

Toisesta ominaisuudesta seuraa, että ominaisuus on tosi lineaariselle homogeeniselle operaattorille . $L(0) = 0$

Operaattoria kutsutaan lineaariseksi epähomogeeniseksi , jos se koostuu lineaarisesta homogeenisesta operaattorista johon on lisätty jokin kiinteä elementti: $L$

L\{x\}=L_{0}\{x\}+\varphi

missä on lineaarinen homogeeninen operaattori. $L_0$

Diskreettien funktioiden (sekvenssien, vektorien) lineaarimuunnoksen tapauksessa funktioiden uudet arvot ovat vanhojen arvojen lineaarisia funktioita : $y_{k}$ $x_k$

y_{k}=\sum _{{l=1}}^{n}T_{{kl}}\,x_{l}

Jatkuvien funktioiden yleisemmässä tapauksessa kaksiulotteinen painomatriisi on kahden muuttujan funktio , ja sitä kutsutaan lineaarisen integraalimuunnoksen ytimeksi : $K(t,\;\omega )$

\varphi (t)=\int \limits _{V}\!K(t,\omega )f(\omega )\,d\omega =K\{f(\omega )\}.

Operandifunktiota kutsutaan tässä tapauksessa spektrifunktioksi . Spektri voi olla myös diskreetti, jolloin se korvataan vektorilla . Tässä tapauksessa se voidaan esittää äärellisellä tai äärettömällä funktioiden sarjalla: $f(\omega)$ $f(\omega)$ $W$ $\varphi (t)$

\varphi (t)=\sum _{{i=1}}^{n}T_{i}(t)w_{i}.

Nollaoperaattori

Operaattori , joka määrittää kullekin vektorille nollavektorin, on ilmeisesti lineaarinen; sitä kutsutaan nollaoperaattoriksi [1] . $O$ ${\mathbf {a}}$ $\mathbf {0}$

Identiteetti (identiteetti) -operaattori

Operaattori , joka yhdistää jokaisen vektorin itse vektoriin, on ilmeisesti lineaarinen; sitä kutsutaan identiteetiksi tai identiteettioperaattoriksi. $E$ ${\mathbf {a}}$ ${\mathbf {a}}$

Lineaarisen operaattorin erikoistapaus, joka palauttaa operandin muuttumattomana:

E{\mathbf {a}}={\mathbf {a}},

eli kuinka matriisioperaattori määritellään yhtälöllä

\sum _{k}E_{{ik}}\,a_{k}=a_{i}

ja yhtenäisenä operaattorina tasa-arvon kautta

\int \limits _{\alpha }^{\beta }\!E(x,t)a(t)\,dt=a(x)

Identiteettimatriisi on kirjoitettu enimmäkseen symbolilla ( Kronecker-symboli ). Meillä on: klo ja klo . $E_{{ik}}$ $\delta _{{ik}}=\delta _{{ki}}$ $\delta _{{ik}}=1$ $i=k$ $\delta _{{ik}}=0$ $i\neq k$

Yksikköydin kirjoitetaan muodossa ( delta-funktio ). kaikkialla paitsi , jossa funktiosta tulee ääretön ja lisäksi sellainen, että $Alanumero)$ $E(x,t)=\delta (tx)$ $\delta(xt)=0$ $x=t$

\int \limits _{\alpha }^{\beta }\!\delta (xt)\,dt=1

Tallennus

Matematiikassa ja tekniikassa käytetään laajalti ehdollista kirjoitusoperaattorien muotoa, joka on samanlainen kuin algebrallinen symboliikka. Tällainen symboliikka mahdollistaa useissa tapauksissa monimutkaisten muunnosten välttämisen ja kaavojen kirjoittamisen yksinkertaisessa ja kätevässä muodossa. Operaattorin argumentteja kutsutaan operandeiksi , operandien lukumäärää kutsutaan operaattorin ariteiksi (esim. yksittäinen, binääri). Operaattoreiden kirjoittaminen voidaan systematisoida seuraavasti:

etuliite : jossa operaattori tulee ensin ja operandit seuraavat, esimerkiksi:

Q(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n});

postfix : jos operaattorimerkki seuraa operandia, esimerkiksi:

(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})\;Q;

infix : operandien väliin lisätty operaattori, käytetään ensisijaisesti binäärioperaattoreiden kanssa:

x_{1}\;Q\;x_{2};

positional : operaattorin merkki on jätetty pois, operaattori on implisiittisesti läsnä. Useimmiten tuoteoperaattoria (muuttujat, fyysisen yksikön numeerinen arvo, matriisit, funktion koostumus) ei kirjoiteta, esimerkiksi 3 kg. Tämä yhden operaattorin kyky vaikuttaa heterogeenisiin kokonaisuuksiin saavutetaan operaattorin ylikuormituksella ;
ala- tai yläindeksi vasemmalla tai oikealla; käytetään pääasiassa eksponentiointiin ja vektorielementtien valintaan indeksin mukaan.

Kuten näet, operaattorimerkintä saa usein lyhennetyn muodon funktioiden perinteisestä merkinnästä. Etu- tai jälkiliitteen merkintää käytettäessä sulut jätetään useimmissa tapauksissa pois, jos operaattorin ariteetti tunnetaan. Joten yksi operaattori funktion päälle kirjoitetaan yleensä lyhyyden vuoksi ; suluissa käytetään selkeyttä, esimerkiksi tuotteen toimintaa . , joka toimii , on myös kirjoitettu . Erikoismerkit otetaan käyttöön osoittamaan joitain operaattoreita, esimerkiksi unaari (factorial "!", operandin oikealla puolella), (negatio, vasemmalla) tai kalligrafiset symbolit, kuten funktion Fourier-muunnoksen tapauksessa . Eksponenttia voidaan pitää kahden argumentin binäärioperaattorina tai yhden argumentin potenssi- tai eksponentiaalifunktiona. $K$ $f$ $Qf$ $Q(f)$ $Q(fg)$ $K$ $f(x)$ $(Qf)(x)$ $n!$ $-n$ ${\mathcal {F}}\{f(t)\}$ $n^{x}$

Lineaarinen differentiaalioperaattorin symboli

Lineaarisen differentiaalioperaattorin symboli yhdistää polynomin differentiaalioperaattoriin, karkeasti sanottuna korvaten osittaisten derivaattojen koostumuksen niihin liittyvien muuttujien tulolla. Operaattorisymbolin (operaattorin pääsymbolin) korkeammat monomit heijastavat tätä operaattoria vastaavan osittaisdifferentiaaliyhtälön ratkaisun laadullista käyttäytymistä. Lineaarisille elliptisille osittaisdifferentiaaliyhtälöille on ominaista se, että niiden pääsymboli ei koskaan mene nollaan.

Antaa ja olla multi-indeksejä ja . Sitten laitamme $x=(x_{1},\ldots ,x_{n})$ $\alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})$ $\beta =(\beta _{1},\ldots ,\beta _{n})$

{\begin{aligned}D^{\alpha }x^{\beta }&={\frac {\partial ^{\vert \alpha \vert }}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}x_{1}^{\beta _{1}}\cdots x_{n}^{\beta _{n }}\\&={\frac {\partial ^{\alpha _{1}}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}}}x_{1}^{\beta _{ 1))\cdots {\frac {\partial ^{\alpha _{n))}{\partial x_{n}^{\alpha _{n))))x_{n}^{\beta _{n }}.\end{aligned}}

Olkoon lineaarinen differentiaalijärjestyksen operaattori euklidisessa avaruudessa . Tällöin derivaatassa on polynomi, moniindeksimuodossa se kirjoitetaan muodossa $P$ $k$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d))$ $P$ $D$

P=p(x,D)=\summa _{{|\alpha |\leq k}}a_{\alpha }(x)D^{\alpha }.

Polynomi on määritelmän mukaan täysi merkki : $s$ $P$

\sigma P(\xi )=p(x,\xi )=\sum _{{|\alpha |\leq k}}a_{\alpha }\xi ^{\alpha }.

Operaattorin pääsymboli koostuu suurimman asteen monomeista : $\sigma _{P}$

\sigma _{P}(\xi )=\sum _{{|\alpha |=k}}a_{\alpha }\xi ^{\alpha }

ja se on osa koko operaattorisymbolia, joka muuntuu tensoriksi koordinaatteja vaihdettaessa.

Katso myös

Operaattoreiden luettelo (matematiikka)
Potentiaalinen operaattori

Muistiinpanot

↑ Shilov G. E. Matemaattinen analyysi. Erikoiskurssi. - M .: Fizmatlit, 1961. - C. 203

Kirjallisuus

(1995) Operaattori. Matemaattinen tietosanakirja. Ch. toim. Yu. V. Prokhorov. M.: "Suuri venäläinen tietosanakirja".