Fundamentaalinen jäännöslause

Perusjäännöslause on tehokas työkalu meromorfisen funktion integraalin laskemiseen suljetun ääriviivan yli. Sitä käytetään usein myös todellisten integraalien laskemiseen. Se on yleistys Cauchyn integraalilauseesta ja Cauchyn integraalikaavasta .

Lauseke: jos funktio on analyyttinen jossain suljetussa yksinkertaisesti yhdistetyssä toimialueessa , lukuun ottamatta äärellistä määrää singulaaripisteitä , joista yksikään ei kuulu rajaviivaan , niin seuraava kaava pätee: $f$ $\overline G\subset {\mathbb C}$ $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}$ $\osittainen G$

~\int \limits _{\partial G}f(z)\,dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\mathop {\mathrm {res} } _{z =a_{k}}f(z),

missä on funktion jäännös pisteessä . ${\mathop {{\mathrm {res}}}}_{{z=a_{k}}}f$ $f$ $a_{k}$

Silmukkaa ajetaan vastapäivään. Lauseen käyttämiseksi reaaliintegraalien laskennassa on välttämätöntä laajentaa integroitava reaalifunktio analyyttisesti kompleksitasolle ja löytää sen jäännökset, mikä on yleensä melko yksinkertaista tehdä. Sen jälkeen on tarpeen sulkea integrointikäyrä lisäämällä todelliseen segmenttiin puoliympyrä, joka sijaitsee ylemmässä tai alemmassa kompleksipuolitasossa. Tämän jälkeen integraali tämän ääriviivan yli voidaan laskea käyttämällä pääjäännöslausetta. Usein puoliympyrän yli oleva integraali voi pyrkiä arvoon 0 valitsemalla se oikein, minkä jälkeen ääriviivaintegraalista tulee yhtä suuri kuin todellinen. $\osittainen G$

Esimerkki

Integraali

~\int \limits _{-\infty }^{\infty }{e^{itx} \over x^{2}+1}\,dx

syntyy todennäköisyysteoriassa Cauchyn jakauman ominaisfunktiota laskettaessa, eikä sitä voida laskea tavanomaisilla menetelmillä. Lasketaan se integraalin kautta kuvan ( ) ääriviivan yli. Integraali on $C$ $a>1$

~\int \limits _{C}{f(z)}\,dz=\int \limits _{C}{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz.

Koska on kokonainen funktio ( kompleksitasolla ei ole singulariteettia ), funktiolla on singulaarisuutta vain pisteissä, joissa . Koska tämä on mahdollista vain painikkeella tai . Vain yksi näistä pisteistä on ääriviivan sisällä. $e^{{itz}}$ $z^{2}+1=0$ $z^{2}+1=(z+i)(zi)$ $z=i$ $z=-i$

${\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}$	${}={\frac {e^{itz}}{2i}}\left({\frac {1}{zi}}-{\frac {1}{z+i}}\oikea)$
	${}={\frac {e^{itz}}{2i(zi)))-{\frac {e^{itz}}{2i(z+i))),$