Galois'n teorian peruslause

Galois'n teorian päälause on lause tietyn muodon kenttien laajennuksista, joka on Galois'n teorian keskeinen tulos .

Lause: äärelliselle Galois-laajennukselle on yksi yhteen vastaavuus muodon välikenttien joukon ja tämän laajennuksen Galois-ryhmän aliryhmien joukon välillä (lisäksi lause määrittelee tämän vastaavuuden eksplisiittisesti). $E\ järkyttynyt F$ $K$ $E\supset K\supset F$

Vaatimustenmukaisuuden kuvaus

Tietylle äärelliselle laajennukselle vastaavuus on järjestetty seuraavasti: $E\ järkyttynyt F$

Jokaiselle Galois-ryhmän alaryhmälle vastaava välikenttä, jota yleensä merkitään , on joukko niitä kentän elementtejä, jotka ovat kunkin automorfismin kiinteitä pisteitä osoitteesta , ja operaatiot indusoituvat . $H$ $E^{H}$ $E$ $H$ $E$
Minkä tahansa välikentän osalta sitä vastaava alaryhmä koostuu niistä automorfismista, jotka vaikuttavat samalla tavalla tässä välikentässä.

Esimerkiksi kenttä vastaa triviaalia alaryhmää ja koko ryhmää (koska kaikki Galois-ryhmän automorfismit säilyttävät pienemmän kentän, ja mille tahansa muulle elementille on olemassa automorfismi, joka vaikuttaa siihen ei-triviaalisti). $E$ $F$

Vastaa ominaisuuksia

Tällä kirjeenvaihdolla on useita hyödyllisiä ominaisuuksia. Erityisesti se kääntää järjestyksen sisällyttämällä: Galois-ryhmän alaryhmille ehto vastaa . Lisäksi kenttä on normaali laajennus (tai vastaavasti Galois-laajennus , koska jokainen erotettavan laajennuksen alilaajennus on erotettavissa) jos ja vain jos se on Galois-ryhmän normaali aliryhmä . Osamääräryhmä on isomorfinen laajennuksen Galois-ryhmän suhteen . $H_{1}\subseteq H_{2}$ $E^{H_{2}}\subseteq E^{H_{1}}$ $E^{H}$ $F$ $EH$ $E^{H}\supset F$

Esimerkki

Tarkastellaanpa kenttää . Jokainen elementti voidaan kirjoittaa muodossa $\mathbb {Q} ({\sqrt {2)),{\sqrt {3)))$

a+b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}+d({\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {3}}),

missä , , , ovat rationaalilukuja. Harkitse laajennuksen automorfismia . Koska tämän laajennuksen luovat ja , kaikki automorfismi määräytyvät yksilöllisesti niiden kuvien perusteella. Minkä tahansa laajennuksen automorfismit voivat vaihtaa polynomin juuret vain pienemmän kentän päälle, joten tässä tapauksessa kaikki mahdolliset ei-triviaalit automorfismit ovat permutaatio ja (merkitsimme tätä automorfismia ), permutaatio ja (automorfismi ) ja niiden koostumus . Tarkemmin sanottuna nämä muunnokset määritellään seuraavasti: $a$ $b$ $c$ $d$ $\mathbb {Q} ({\sqrt {2)),{\sqrt {3)))\supset \mathbb {Q}$ ${\sqrt {2}}$ ${\sqrt {3}}$ ${\sqrt {2}}$ $-{\sqrt 2}$ $f$ ${\sqrt {3}}$ $-{\sqrt 3}$ $g$ $fg$

f(a+b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}+d{\sqrt {6}})=ab{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3 }}-d{\sqrt {6}},

g(a+b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}+d{\sqrt {6}})=a+b{\sqrt {2}}-c{\sqrt {3}}-d{\sqrt {6}}.

On selvää, että nämä kuvaukset toimivat bijektiivisesti ja muuttavat summan summaksi, joten tasa-arvon tarkistamiseksi riittää, että se tarkistetaan perusalkioiden pareista, mikä on myös triviaalia. Siten tämän laajennuksen Galois-ryhmä on Kleinin neljän ryhmä : $f(ab)=f(a)\cdot f(b)$

G=\{1,f,g,fg\}.

Siinä on kolme ei-triviaalia alaryhmää:

alaryhmän automorfismit säilyttävät välikentän elementtejä ; ${\näyttötyyli \{1,f\))$ $\mathbb {Q} ({\sqrt {3)))$
automorfismit säilykkeestä ; ${\näyttötyyli \{1,g\))$ $\mathbb {Q} ({\sqrt {2)))$
automorfismit säilytyksestä . $\{1,fg\}$ $\mathbb {Q} ({\sqrt {6}})$

Sovellukset

Päälause pelkistää kysymyksen välikenttien olemassaolosta kysymykseen jonkin äärellisen ryhmän aliryhmien olemassaolosta (koska Galois'n ryhmän järjestys on yhtä suuri kuin laajennuksen mitta), monet Galois'n teorian ongelmat ratkaistaan päälauseen yksinkertainen sovellus.

Esimerkiksi kysymys yhtälön ratkaistavuudesta radikaaleilla muotoillaan yleensä seuraavasti: voidaanko tietyn polynomin juuret ilmaista kertoimilla käyttämällä vain aritmeettisia operaatioita ja th:n asteen juuren ottamista . Kenttäteorian kielellä tämä kysymys voidaan muotoilla seuraavasti: tarkastellaan polynomin kertoimilla generoitua kenttää ja sen juuret laskemalla saatua kenttää. Kysymys kuuluu, onko olemassa tällaista välikenttien ketjua $n$ $F$ $E$

E=K_{n}\supset K_{n-1}\supset \ldots \supset K_{1}\supset K_{0}=F,

että missä on yhtälön juuri ja kenttä sisältää kaikki yhtälön juuret . Tässä tapauksessa voidaan todistaa, että vastaavalla Galois-ryhmän aliryhmien sarjalla on ominaisuus, että osamääräryhmä on olemassa ja on syklinen . Ryhmien, joille on olemassa ainakin yksi sarja, jolla on tämä ominaisuus, sanotaan olevan ratkaistavissa , joten yhtälö on ratkaistavissa radikaaleissa silloin ja vain, jos sen Galois-ryhmä on ratkaistava. $K_{i+1}=K_{i}(\alpha )$ $\alpha$ ${\displaystyle x^{n}-a,\ a\in K_{i))$ $K_{i}$ $x^{n}-1$ $G_{i}/G_{i+1}$

Teoriat, kuten Kummerin teoria ja luokkakenttäteoria, perustuvat Galois'n teorian peruslauseeseen.

Kirjallisuus

Bourbaki N. Algebra. Osa 2. Polynomit ja kentät. Tilatut ryhmät - M .: Nauka, 1965
P. Aluffi. Algebra: Luku 0 (Matematiikan jatko-opinnot) - American Mathematical Society, 2009 - ISBN 0-8218-4781-3 .
Marcus, Daniel. Numerokentät (määrittämätön) . - New York: Springer-Verlag , 1977. - ISBN 0-387-90279-1 .