Kummerin teoria

Algebrallisessa lukuteoriassa Kummerin teoria antaa kuvauksen tietyn tyyppisistä kenttälaajennuksista , jotka koostuvat siitä, että alkuperäiseen kenttään lisätään n:nnen asteen juuri sen elementistä. Teorian kehitti Ernst Eduard Kummer noin 1840 työssään Fermat'n lauseesta .

Edellyttäen, että kentän p ominaisuus on koprime n: n kanssa p > 0, teorian pääväite ei riipu kentän luonteesta ja kuuluu siksi yleiseen algebraan.

Kummerin teorialla on analogi tapaukselle n = p (Artin-Schreier-teoria). Ryhmän roolia (katso alla) tässä tapauksessa esittää alkuperäisen kentän yksinkertaisen alikentän additiivinen ryhmä. $\mu _{n}$ $\mathbb {F} _{p}$

Tästä teoriasta on myös E. Wittin johdosta yleistys tapaukseen , jossa Witt-vektoreita käyttämällä . $n=p^{s}$ $s>1$

Kummerin teoria on perustavanlaatuinen esimerkiksi luokkakenttäteoriassa ja Abelin laajennusten ymmärtämisessä . Hän toteaa, että jos ykseyden juuret ovat riittävät, sykliset laajennukset voidaan ymmärtää juurien poimimisena.

Kummerin laajennukset

Kummer-laajennus on kentän L/K laajennus (eli kentän K upottaminen kenttään L ) siten, että jollekin kokonaisluvulle n > 1 seuraavat kaksi ehtoa:

K sisältää n erillistä yksikön n :nnettä juurta (eli yhtälön x n − 1 kaikki juuret)
L / K sisältää Abelin Galois-ryhmän , jonka aste on n (eli n on tämän ryhmän elementtien kertalukujen pienin yhteinen kerrannainen ).

Esimerkiksi kun n = 2, ensimmäinen ehto on aina tosi, jos ominaiskäyrä K ≠ 2. Kummerin laajennukset sisältävät tässä tapauksessa neliölaajennukset L = K (√ a ), missä a :ssa K ei ole neliö. Kun ratkaistaan toisen asteen yhtälöitä, millä tahansa K :n laajennuksella on tämä muoto. Kummer-laajennus sisältää tässä tapauksessa myös kaksikvadraattiset laajennukset ja yleisemmin monineliölaajennukset . Kun ominaiskäyrä K on yhtä suuri kuin 2, tällaisia Kummer-laajennuksia ei ole.

Kun n = 3, rationaalilukukentässä Q ei ole asteen 3 Kummer-laajennuksia , koska luvulle 1 tarvitaan kolme kuutiojuurta, joten tarvitaan kompleksilukuja . Jos L on jakokenttä X 3 − a Q :n päälle , missä a ei ole rationaaliluvun kuutio, niin L sisältää alikentän K , jossa on kolme 1:n kuutiojuurta. Jälkimmäinen johtuu siitä, että jos α ja β ovat kuutiopolynomin juuret, meidän on saatava (α/β) 3 =1, joka on erotettava polynomi . L/K on siis Kummerin laajennus .

Yleisemmin ottaen, jos K sisältää n erillistä yksikön n :nnettä juuria ja K :n ominaisuus ei jaa n :tä, K :n minkä tahansa K :n alkion a n :nnen juuren lisääminen muodostaa Kummerin laajennuksen (potenssin m , joka jakaa n: n ).

Polynomin X n − a hajottelukenttänä Kummerin laajennus on välttämätön kertaluvun m syklisen Galois-ryhmän Galois-laajennuksessa .

Kummerin teoria

Kummerin teorian mukaan kun n asteen alkujuuri on annettu K :ssä , mikä tahansa n- asteen K : n syklinen laajennus muodostetaan lisäämällä n- asteen juuri .

Jos K × on K :n nollasta poikkeavien elementtien kertova ryhmä , niin K :n sykliset laajennukset, joiden aste on n , vastaavat yksiselitteisesti syklisiä alaryhmiä

K^{\times }/(K^{\times })^{n},

eli K × modulo n:nnen potenssin alkioita.

Vastaavuus voidaan kirjoittaa seuraavasti: annetaan syklinen alaryhmä

\Delta \subseteq K^{\times }/(K^{\times })^{n},

vastaava laajennus annetaan kaavalla

K(\Delta ^{1/n}),

eli yhdistämällä alkioiden Δ n:nnet juuret K: hen .

Kääntäen, jos L on K :n Kummerin laajennus , niin Δ saadaan kaavalla

\Delta =K^{\times }\cap (L^{\times })^{n}.

Tässä tapauksessa kyseessä on isomorfismi

\Delta \cong \operaattorinnimi {Hom} (\operaattorin nimi {Gal} (L/K),\mu _{n}),

annetaan kaavalla

a\mapsto {\biggl (}\sigma \mapsto {\frac {\sigma (\alpha )}{\alpha }}{\biggr )},

missä α on mikä tahansa a:n n:s juuri L : ssä .

Yleistykset

Kummerin teoriassa on lievä yleistys Galois'n asteen ryhmän Abelin laajennuksiin , ja samanlainen väite pätee tässä yhteydessä. Voidaan nimittäin todistaa, että tällaiset laajennukset ovat yksiarvoinen kartoitus alaryhmiin

K^{\times }/(K^{\times })^{n}.

Jos maakenttä K ei sisällä yksikön n -juurta , käytetään joskus isomorfismia

K^{\times }/(K^{\times })^{n}{\stackrel {\sim }{\rightarrow }}H^{1}(G_{K},\mu _{n }).

Katso myös

Neliöllinen kenttä

Linkit

Bryan Birch, "Cyclotomic fields and Kummer extensions", julkaisussa JWS Cassels ja A. Frohlich (toim.), Algebraic number theory , Academic Press , 1973. Kappale III, s. 85-93.
Leng S., Algebra, käänn. Englannista, M., 1068;
Algebrallinen lukuteoria, trans. Englannista, M., 1969;
Takahashi S., "J. Math. Soc. Japan", 1968, v. 20, nro 1-2, s. 365