Luken sekvenssi

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 3.10.2020 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Matematiikassa Lucas - sekvenssit ovat toisen asteen lineaaristen toistuvien sekvenssien parien perhe , jonka ensimmäisenä tarkasteli Edouard Luca .

Lucas-sekvenssit ovat sekvenssipareja ja , jotka täyttävät saman toistuvuussuhteen kertoimilla P ja Q : $\{U_{n}(P,Q)\}$ $\{V_{n}(P,Q)\}$

U_{0}(P,Q)=0,\quad U_{1}(P,Q)=1,\quad U_{n+2}(P,Q)=P\cdot U_{n+ 1 }(P,Q)-Q\cdot U_{n}(P,Q),\,n\geq 0

V_{0}(P,Q)=2,\quad V_{1}(P,Q)=P,\quad V_{n+2}(P,Q)=P\cdot V_{n+ 1 }(P,Q)-Q\cdot V_{n}(P,Q),\,n\geq 0

Esimerkkejä

Joillakin Luke-sarjoilla on omat nimensä:

$\{U_{n}(1,-1)\}$ - Fibonaccin numerot
$\{V_{n}(1,-1)\}$ - Lucasin numerot
$\{U_{n}(2,-1)\}$ – Pell-luvut
$\{V_{n}(2,-1)\}$ - Pell-Luc numerot
$\{U_{n}(3,2)\}$ - Mersennen numerot
$\{V_{2^{n}}(3,2)\}$ - Fermat-numerot
$\{U_{n}(1,-2)\}$ ovat Jacobstahlin numerot
$\{U_{n}(2x,1)\}$ — Toisen tyypin Chebyshev-polynomit
${\displaystyle \{V_{n}(2x,1)\))$ - Ensimmäisen tyyppiset Chebyshev-polynomit kerrottuna kahdella

Eksplisiittiset kaavat

Lucas-sekvenssien ominaispolynomi on : $\{U_{n}(P,Q)\}$ $\{V_{n}(P,Q)\}$

x^{2}-P\cdot x+Q.

Sen diskriminantin oletetaan olevan nollasta poikkeava. Karakterisen polynomin juuret $D=P^{2}-4Q$

\alpha ={\frac {P+{\sqrt {D}}}{2}}

ja

\beta ={\frac {P-{\sqrt {D}}}{2}}

voidaan käyttää eksplisiittisten kaavojen saamiseksi:

U_{n}(P,Q)={\frac {\alpha ^{n}-\beta ^{n)){\alpha -\beta ))={\frac {\alpha ^{n} -\beta ^{n}}{\sqrt {D}}}

ja

V_{n}(P,Q)=\alpha ^{n}+\beta ^{n}.

Vieta-kaavat voidaan ilmaista myös muodossa: $P$ $K$

P=\alpha +\beta ,

Q=\alpha \cdot \beta .

Degeneroitunut tapaus

Diskriminantti katoaa joltain numerolta . Tässä tapauksessa ja vastaavasti: $D$ $P=2S,Q=S^{2}$ $S$ $\alpha =\beta =S$

U_{n}(2S,S^{2})=nS^{n-1},

V_{n}(2S,S^{2})=2S^{n}.

Ominaisuudet

{\displaystyle DU_{n}=V_{n+1}-QV_{n-1}=2V_{n+1}-PV_{n))

{\displaystyle V_{n}=U_{n+1}-QU_{n-1}=2U_{n+1}-PU_{n))

U_{n+m}=U_{n}U_{m+1}-QU_{m}U_{n-1}={\frac {U_{n}V_{m}+U_{m}V_ {n}}{2}}

{\displaystyle V_{n+m}=V_{n}V_{m}-Q^{m}V_{nm))

U_{2n}=U_{n}V_{n}={\frac {U_{n+1}^{2}-Q^{2}U_{n-1}^{2}}{P }}

V_{2n}=V_{n}^{2}-2Q^{n}

{\displaystyle U_{2n+1}=U_{n+1}^{2}-QU_{n}^{2))

Linkit

V. P. Palamodov. Polynomeista, jotka muodostavat 2. kertaluvun toistuvan sekvenssin // Matemaattinen koulutus . Toinen sarja. - 1957. - Numero. 1 . - S. 139-147 .
Grant Arakelyan . Kultaisen suhteen matematiikka ja historia . — M.: Logos, 2014, 404 s. - ISBN 978-5-98704-663-0.