Vähimmän pakotuksen periaate

Vähimmäisrajoitteen periaate eli Gaussin periaate koostuu siitä, että kullakin ajanhetkellä järjestelmän todellinen liike aktiivisten voimien vaikutuksesta ja ihanteellisten rajoitusten alaisena poikkeaa kaikista kinemaattisesti mahdollisista samasta alkukonfiguraatiosta tehdyistä liikkeistä. ja samoilla alkunopeuksilla, sillä ominaisuudella, että todelliselle liikkeelle poikkeama vapaasta liikkeestä eli pakotuksesta on minimi.

Vähimmän rajoituksen periaate on yksi mekaniikan differentiaalisista variaatioperiaatteista, ja K. F. Gauss ehdotti [1] sitä vuonna 1829 teoksessaan "On a New General Law of Mechanics" . Periaate soveltuu mekaanisiin järjestelmiin, joissa on ihanteelliset kytkennät ja jonka Gauss on muotoillut seuraavasti: "Aineellisten pisteiden järjestelmän liike, joka on yhdistetty mielivaltaisella tavalla ja on alttiina mille tahansa vaikutukselle, tapahtuu joka hetki täydellisimmällä mahdollisella tavalla, sen liikkeen mukaisesti, että nämä pisteet, jos ne kaikki vapautuivat, eli tapahtuu pienimmällä mahdollisella pakotuksella, jos äärettömän pienen hetken aikana sovelletun pakotuksen mittana otetaan kunkin pisteen massan tulojen summa sen poikkeaman suuruuden neliöllä sen miehittämästä sijainnista, jos se olisi vapaa" [2] .

Gaussin periaatteen muotoilu ei ollut riittävän tarkka. Tämän periaatteen analyyttiselle muotoilulle oli suuri merkitys G. Schefflerin (1820-1903) teoksella "Mekaniikan Gaussin peruslaista" , joka julkaistiin vuonna 1858 [3] . Siinä Scheffler määritteli uudelleen [4] pakotuksen . seuraavasti (nykyaikaisessa merkinnässä [5]): ) lauseke:

Z\;=\;{\frac {1}{2}}\;{\overset {}{{\overset {N}({\underset {i=1}{\sum ))))))\, m_{{i}}\left({\mathbf {w}}_{{i}}-{\frac {{\mathbf {F}}_{{i}}}{m_{{i}}}} \oikea)^{{2}}

missä on järjestelmään sisältyvien pisteiden lukumäärä, on pisteen massa , on siihen kohdistettujen aktiivisten voimien resultantti, on tietyn pisteen kiihtyvyys (itse asiassa Scheffler käytti skalaarimuotoista merkintää, ja hänellä ei ollut tekijää summamerkin edessä). Sen jälkeen funktion minimin olemassaolosta tuli pienimmän rajoituksen periaatteen matemaattinen ilmaus . $N$ $mi}}$ $i$ ${\mathbf {F}}_{{i}}$ ${\mathbf {w}}_{{i}}$ $Z$

Perustelut

Olkoon mekaanisen järjestelmän piste, jolla on massa tällä hetkellä, paikallaan . Vapaalla liikkeellä piste kattaa etäisyyden hyvin pienellä aikavälillä (kuva 1), missä on pisteen nopeus hetkellä . Jos aktiivinen voima vaikuttaa pisteeseen, piste liikkuu tämän voiman vaikutuksesta . Laajentamalla siirtymävektorin sarjaksi ajassa, saamme: $mi}}$ $t_{0}$ $Mi}$ $\tau$ ${\overline {M_{i}A_{i))}\,=\,\mathbf {v} _{i}\,\tau$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{i))$ $t_0$ ${\mathbf {F}}_{{i}}$ ${\displaystyle {\overline {M_{i}B_{i))))$

\mathbf {r} (t_{0}+\tau )\;=\;\mathbf {r} (t_{0})+{\overset {\cdot }{\mathbf {r} }}( t_{0})\,\tau +{\frac {1}{2}}\;{\overset {\cdot \cdot }{\mathbf {r} }}(t_{0})\,\tau ^ {2}+...

Mutta

{\overset {\cdot }{\mathbf {r} }}(t_{0})\;=\;\mathbf {v} ,\;\;{\overset {\cdot \cdot }{\ mathbf {r} }}(t_{0})\;=\;{\frac {\mathbf {F} _{i}}{m_{i}}}

Siksi tämä siirtymä, pieneen kolmanteen kertaluokkaan asti, on yhtä suuri:

{\overline {M_{i}B_{i}}}\;=\;\mathbf {v} _{i}\,\tau +{\frac {1}{2}}\;{\ frac {\mathbf {F} _{i}}{m_{i}}}\,\tau ^{2}

Jos toisaalta pisteeseen asetetaan sidoksia , sen liike voiman vaikutuksesta ja sidosten läsnä ollessa on pieneen kolmanteen kertaluokkaan asti yhtä suuri: ${\mathbf {F}}_{{i}}$

{\overline {M_{i}C_{i}}}\;=\;\mathbf {v} _{i}\,\tau +{\frac {1}{2}}\;\mathbf {w} _{i}\,\tau ^{2}

missä on pisteen kiihtyvyys sen todellisessa liikkeessä. Tällöin pisteen poikkeama vapaasta liikkeestä esitetään vektorilla . Se on selvää ${\mathbf {w}}_{{i}}$ ${\displaystyle {\overline {B_{i}C_{i))))$

{\overline {B_{i}C_{i}}}\;=\;{\overline {M_{i}C_{i}}}-{\overline {M_{i}B_{i}} }\;=\;{\frac {1}{2}}\;\tau ^{2}\left(\mathbf {w} _{i}-{\frac {\mathbf {F} _{i} }{m_{i}}}\oikea)

pieneen kolmanteen tilaukseen asti. Mitatakseen pisteen poikkeamaa vapaasta liikkeestä Gauss otti poikkeaman neliöön verrannollisen arvon , jota hän kutsui pakotukseksi . Voimalla pisteelle, jolla on massa, on seuraava lauseke: ${\displaystyle {\overline {B_{i}C_{i))))$ $mi}}$

Z_{i}\;=\;{\frac {1}{2}}\;m_{i}\left(\mathbf {w} _{i}-{\frac {\mathbf {F} _{i}}{m_{i}}}}\oikea)^{2}

Kun järjestelmän kaikkien kohtien rajoitukset summataan, saadaan:

Z\;=\;{\frac {1}{2}}\;{\overset {}{{\overset {N}({\underset {i=1}{\sum ))))))\, m_{{i}}\left({\mathbf {w}}_{{i}}-{\frac {{\mathbf {F}}_{{i}}}{m_{{i}}}} \oikea)^{{2}}

Artikkelin alussa annetusta määritelmästä seuraa, että todellisessa liikkeessä oleville kiihtyvyyksille

\delta \,Z\;=\;0

lisäksi vaihtelu otetaan vain kiihtyvyyksissä, kun taas koordinaatit ja nopeudet oletetaan muuttumattomiksi. Tällaista muunnelmaa kutsutaan Gaussin muunnelmaksi .

Gaussin periaatteen merkitys

Yksi ensimmäisistä, jotka arvostivat Gaussin vähiten rajoitusten periaatteen tärkeyttä, oli erinomainen venäläinen matemaatikko ja mekaanikko M. V. Ostrogradsky , joka piti erityisen tärkeänä Gaussin lähestymistapaa yhteyksien ymmärtämiseen. Vuonna 1836 julkaistussa muistelmassaan "Vaihtuviin olosuhteisiin kohdistuvan järjestelmän hetkellisistä siirtymistä" Ostrogradsky toi esiin sellaisen Gaussin periaatteen seurauksen: paineen liitoksiin järjestelmän pisteistä järjestelmän todellisessa liikkeessä tulisi olla minimaalinen verrattuna. muihin kinemaattisesti mahdollisiin liikkeisiin [6] . Vuonna 1878 I. I. Rakhmaninov antoi [7] Gaussin periaatteelle energiatulkinnan ja muotoili sen uudelleen vähiten kadonneen työn periaatteeksi [8] .

Ranskalainen matemaatikko J. Bertrand kuvaili Gaussin periaatetta "kauniiksi lauseeksi, joka sisältää samanaikaisesti tasapainon ja liikkeen yleiset lait ja ilmeisesti yleisin ja tyylikkäin lauseke, joka niille on annettu" [9] .

Vähimmän rajoituksen periaatteella on hyvin suuri yleisyys, koska sitä voidaan soveltaa monenlaisiin mekaanisiin järjestelmiin: konservatiivisiin ja ei-konservatiivisiin, holonisiin ja ei-holonisiin järjestelmiin. Siksi sitä käytetään usein [10] lähtökohtana ei- holonisten järjestelmien liikeyhtälöiden johtamiseen . Samaan aikaan Gaussin periaatetta käytetään myös suoraan - tehtävissä, jotka liittyvät kiinteiden kappaleiden järjestelmien (erityisesti manipulointirobottien ) dynamiikan tietokonesimulointiin ; tässä tapauksessa pakotuksen numeerinen minimointi suoritetaan matemaattisen ohjelmoinnin menetelmillä [11] .

Gaussin periaate on yleistetty [12] tapaukseen, jossa järjestelmä vapautetaan osasta rajoituksista [13] [14] , sekä tapaukseen, jossa järjestelmiä rajoittavat ei-ideaaliset rajoitukset, ja tapaukseen, jossa jatkuva media [ 15] .

Katso myös

Bolotov, Jevgeni Aleksandrovitš

Muistiinpanot

↑ Tyulina, 1979 , s. 178.
↑ Gauss K. Uudesta mekaniikan yleisestä periaatteesta : La . artikkelit / Toim. L. S. Polak. - M .: Fizmatgiz , 1959. - 932 s. - S. 170-172.
↑ Moiseev, 1961 , s. 334.
↑ Tyulina, 1979 , s. 179-180.
↑ Markeev, 1990 , s. 90.
↑ Moiseev, 1961 , s. 336.
↑ Rakhmaninov I. I. Vähiten kadonneen työn alku mekaniikan yleisenä alkuna // Izv. Kiovan yliopisto . 1878. Nro 4. - S. 1-20.
↑ Markeev, 2000 , s. 38-39.
↑ Pogrebyssky, 1964 , s. 270.
↑ Golubev Yu. F. Teoreettisen mekaniikan perusteet. - M . : Moskovan kustantamo. un-ta, 2000. - 719 s. — ISBN 5-211-04244-1 . - S. 427.
↑ Vereshchagin A. F. Gaussin pienimmän rajoituksen periaate robottitoimilaitteiden dynamiikassa // Popov E. P. , Vereshchagin A. F., Zenkevich S. L. Manipulaatiorobotit: dynamiikka ja algoritmit. — M .: Nauka , 1978. — 400 s. - S. 77-102.
↑ Markeev, 2000 , s. 43.
↑ Bolotov E. A. Gaussin periaatteella // Izv. Fys.-Math. about-va Kazanissa. un-niitä. Ser. 2 . 1916. V. 21, nro 3. - S. 99-152.
↑ Chetaev N. G. Gaussin periaatteella // Izv. Fys.-Math. about-va Kazanissa. un-niitä. Ser. 3 . 1932-1933. T. 6. - S. 68-71.
↑ Rumjantsev V.V. Joistakin jatkumomekaniikan vaihteluperiaatteista // Prikl. matematiikka. ja turkista. 1973. T. 37. Numero. 6. - S. 963-973.

Kirjallisuus

Mekaniikan variaatioperiaatteet: la. artikkelit / Toim. L. S. Polak . - M .: Fizmatgiz , 1959. - 932 s.
Lanczos K. Mekaniikan variaatioperiaatteet . — M .: Mir , 1965. — 408 s.
Markeev A.P. Gauss-periaatteella // Tieteellisten ja metodologisten artikkelien kokoelma. Teoreettinen mekaniikka. Ongelma. 23. - M . : Moskovan kustantamo. un-ta, 2000. - 264 s. - S. 29-45.
Markeev A.P. Teoreettinen mekaniikka. — M .: Nauka , 1990. — 416 s. — ISBN 5-02-014016-3 .
Moiseev N. D. Esseitä mekaniikan kehityksen historiasta. - M . : Moskovan kustantamo. un-ta, 1961. - 478 s.
Pogrebyssky I. B. Lagrangesta Einsteiniin: 1800-luvun klassinen mekaniikka. — M .: Nauka , 1964. — 327 s.
Tyulina I. A. Mekaniikan historia ja metodologia. - M . : Moskovan kustantamo. un-ta, 1979. - 282 s.
Tsyganova N. Ya. Vähimmän pakotuksen periaatteen kehityksen päävaiheet // Luonnontieteiden historia ja metodologia. - M .: MGU, 1979. - Numero. 9 . - S. 122-134 .