Gaussin ympyrän ongelma

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 11. huhtikuuta 2021 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Gaussin ympyräongelma on ongelma kokonaislukuhilan pisteiden lukumäärän määrittämiseksi, jotka putoavat origossa olevaan sädeympyrään . Ensimmäisen menestyksen tämän ongelman ratkaisemisessa teki Gauss , ja ongelma on nimetty hänen mukaansa.

Ongelma

Ympyrässä at , jonka säde on keskitetty origoon , on tarpeen määrittää ympyrän sisällä olevien pisteiden lukumäärä, joilla on muoto ( m , n ), missä m ja n ovat kokonaislukuja. Koska karteesisissa koordinaateissa ympyrän yhtälö annetaan kaavalla: x 2 + y 2 = r 2 , ongelman ekvivalenttimuotoilu on kysymys: kuinka monta paria kokonaislukuja m ja n täyttää epäyhtälö $\mathbb {R} ^{2}$ $r\geqslant 0$

m^{2}+n^{2}\leqslant r^{2}.

Jos tietylle r :lle merkitään haluttu arvo N ( r ), niin seuraava luettelo antaa N ( r ) arvot kokonaislukusäteen r arvoille välillä 0 ja 10:

1, 5 , 13 , 29 , 49, 81 , 113 , 149 , 197 , 253, 317 ( OEIS - sekvenssi A000328 ).

Arvojen ja hypoteesien rajat

Koska ympyrän, jonka säde on r , pinta-ala saadaan arvolla π r 2 , pisteiden lukumäärän voisi olettaa olevan noin π r 2 . Itse asiassa arvo on hieman suurempi kuin tämä arvo jollain korjauksella E ( r )

N(r)=\pi r^{2}+E(r)

Tämän korjauksen ylärajan etsiminen on ongelman ydin.

Gauss osoitti [1] sen

E(r)\leqslant 2{\sqrt {2}}\pi r.

Hardy [2] ja itsenäisesti Edmund Landau löysivät pienemmän raja-arvon osoittamalla sen

E(r)\neq o\left(r^{1/2}(\log r)^{1/4}\right),

o-pienellä merkinnällä . On olemassa hypoteesi [3] , että todellinen arvo on

E(r)=O\left(r^{1/2+\varepsilon }\right).

Jos kirjoitetaan viimeinen lauseke uudelleen muotoon , niin luvun t nykyiset rajat ovat ${\displaystyle \|E(r)\|\leqslant Cr^{t))$

{\frac {1}{2}}<t\leqslant {\frac {131}{208}}=0{,}6298\ldots ,

jossa Hardy ja Landau johtivat alarajan vuonna 1915 ja ylärajan todisti Martin Huxley vuonna 2000 [4] .

Vuonna 2007 Sylvain Cappell ja Julius Shaneson toimittivat arXiville paperin, joka sisälsi todisteen rajasta [5] . $O(r^{{\frac {1}{2}}+\epsilon })$

Tarkka esitys

Arvo N ( r ) voidaan esittää joidenkin sekvenssien summana. Jos käytät pyöristystoimintoa alaspäin , arvo voidaan ilmaista muodossa [6]

N(r)=1+4\sum _{i=0}^{\infty }\left(\left\lfloor {\frac {r^{2}}{4i+1}}\right\ rfloor -\left\lfloor {\frac {r^{2}}{4i+3}}\right\rfloor \right).

Esitys, jossa käytetään r 2 ( n ) -funktiota, joka määritellään useiksi tavoiksi esittää luku n kahden neliön summana, näyttää paljon yksinkertaisemmalta. Tässä tapauksessa [1]

N(r)=\sum _{n=0}^{r^{2}}r_{2}(n).

Yleistykset

Vaikka ongelman alkuperäinen muotoilu puhui kokonaislukuhiloista ympyrässä, ei ole mitään syytä jäädä vain ympyrään. Voit asettaa tehtäväksi löytää hilapisteiden lukumäärän muista kuvioista tai kartioista . Dirichlet'n "jakajatehtävä" vastaa tätä tehtävää, kun ympyrä korvataan hyperbolilla [3] . Voit myös laajentaa ongelmaa korkeampiin ulottuvuuksiin ja puhua pisteiden lukumäärästä n-ulotteisen pallon tai muun kohteen sisällä. Voidaan luopua ongelman geometrisestä esityksestä ja siirtyä diofantisiin epäyhtälöihin.

Suhteellisen alkulukujen ympyräongelma

Toinen yleistys voi olla yhtälön yhteislukuratkaisujen m ja n lukumäärän laskeminen

m^{2}+n^{2}\leqslant r^{2}.

Tämä ongelma tunnetaan koalkilukujen ympyräongelmana tai primitiivilukujen ympyräongelmana [7] Jos merkitsemme tällaisten ratkaisujen lukumäärää V :llä ( r ), niin V ( r ) pienille kokonaislukuarvoille, joiden säde on r

0, 4 , 8 , 16 , 32 , 48 , 72 , 88 , 120 , 152, 192, ... sekvenssi A175341 OEIS : ssä .

Käyttämällä samoja ajatuksia kuin tavallisessa Gaussin ongelmassa ja siitä tosiasiasta, että kahden luvun todennäköisyys on 6/ π 2 , on suhteellisen helppo osoittaa, että

V(r)={\tfrac {6}{\pi }}r^{2}+O(r^{1+\varepsilon }).

Kuten tavallisessa asetuksessa, suhteellisen alkulukujen ongelmana on pienentää eksponenttia korjauksessa. Tällä hetkellä tunnetuin eksponentti on , jos hyväksymme Riemannin hypoteesin [7] . Hyväksymättä Riemannin hypoteesia, paras yläraja on ${\tfrac {221}{304}}+\epsilon$

V(r)={\tfrac {6}{\pi }}r^{2}+O(r\exp(-c(\log r)^{3/5}(\log \log r ^{2})^{-1/5}))

jollekin positiiviselle vakiolle c [7] .

Erityisesti minkä tahansa muotokorjauksen rajat ovat tuntemattomia , ellei Riemannin hypoteesia hyväksytä. $1-\epsilon$ $\epsilon > 0$

Katso myös

numeroiden geometria

Muistiinpanot

↑ 12 G.H. _ Hardy, Ramanujan: Kaksitoista luentoa hänen elämänsä ja työnsä suosittelemista aiheista, 3. painos. New York: Chelsea, (1999), s. 67.
↑ G.H. Hardy, Luvun ilmaisemisesta kahden neliön summana , Quart. J Math. 46 , (1915), s. 263-283.
↑ 12 R.K. _ Guy, Ratkaisemattomia ongelmia lukuteoriassa, kolmas painos , Springer, (2004), s. 365-366.
↑ MN Huxley, kokonaislukupisteet, eksponentiaaliset summat ja Riemannin zeta-funktio , Vuosituhannen lukuteoria, II (Urbana, IL, 2000) s. 275–290, A.K. Peters, Natick, MA, 2002, MR : 19562 .
↑ S. Cappell ja J. Shaneson, Jotkut numeroteorian ongelmat I: The Circle Problem , arXiv : math/0702613 , (2007).
↑ D. Hilbert ja S. Cohn-Vossen, Geometry and the Imagination , New York: Chelsea, (1999), s. 37-38.
↑ 1 2 3 J. Wu, Primitiivisen ympyrän ongelmasta , Monatsh. Matematiikka. 135 (2002), s. 69-81.

Linkit

Weisstein, Eric W. Gauss's Circle Problem (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .