Projektiivinen ryhmä

Projektiivinen ryhmä on ryhmä projektiivisen avaruuden muunnoksia, jotka on indusoitu vastaavan vektoriavaruuden lineaarisilla muunnoksilla. Sen elementtejä kutsutaan projektiivisiksi muunnoksiksi - ne yleistävät projektiivitason muunnoksia . Matriisin näkökulmasta projektiivinen ryhmä on kaikkien ei- degeneroituneiden matriisien ryhmä skalaarimatriiseihin asti .

Määritelmä

Antaa olla vektoriavaruus kentän yli (tai yleisemmin kehon yli ) ja olla sen täysi lineaarinen ryhmä eli kaikkien käännettävien lineaaristen muunnosten ryhmä. Tämä ryhmä kommuteroi avaruushomoteeteilla (kertoja nollasta poikkeavilla kenttävakioilla ), ja siksi sen elementit indusoivat projektiivisen avaruuden muunnoksia ( osamääräavaruus ryhmän vaikutuksesta ). $V$ $F$ $K$ $GL(V)$ $Z(V)$ $V$ $F$ $\mathbb {P} (V)=V/Z(V)$ $Z(V)$

Jotkut näistä indusoiduista transformaatioista vaikuttavat triviaalisti - nämä ovat juuri avaruushomoteetiaryhmän elementtejä . Projektiivinen ryhmä on tekijäryhmä toiminnan ytimen mukaan: $\mathbb {P} (V)$ $Z(V)\cong F^{*}$ $V$

PGL(V)=GL(V)/Z(V)

Jos valitsemme eksplisiittisesti avaruuden koordinaatit, eli isomorfismin luonnolliselle , saamme $V$ $V\cong F^{n}$ $n$

PGL_{n}(F)=GL_{n}(F)/F^{*}

eli projektiivinen ryhmä on ei-degeneroituneiden matriisien ryhmän osamäärä nollasta poikkeavien skalaarimatriisien alaryhmän mukaan.

Yleistykset

Jos otamme täyden lineaarisen ryhmän sijasta erityisen lineaarisen ryhmän , eli rajoitamme lineaarisiin muunnoksiin determinantilla 1, niin saadaan projektiivinen erityinen lineaariryhmä , jota kutsutaan myös unimodulaariseksi projektiiviryhmäksi . $\mathbb {G} L(V)$ $\mathbb {S} L(V)$ $PSL(V)$

Ominaisuudet

Jos on äärellinen elementtikenttä , niin ryhmän järjestys on [1] . $F_q$ $q$ $|PSL_{n}(F_{q})|=(q-1,n)^{-1}q^{n(n-1)/2}(q^{n}-1)( q^{n-1}-1)\cdots (q^{2}-1)$
Ryhmälle , ryhmä on yksinkertainen paitsi ja [1] . $n\geq 2$ $PSL_{n}(F)$ $PSL_{2}(F_{2})$ $PSL_{2}(F_{3})$

Muistiinpanot

↑ 1 2 Vinberg, EB (2001), Projektiivinen ryhmä , Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4