Hajoaminen kahvoihin

M - jakotukkien M kahvahajotus on suodatus

\emptyset =M_{-1}\subset M_{0}\subset M_{1}\subset M_{2}\subset \dots \subset M_{m-1}\subset M_{m}=M

josta kukin saadaan yhdistämällä - kahvat . Jakotukin kahvahajotelma vastaa CW-hajottelua topologisessa avaruudessa - kahvahajotelma antaa meille mahdollisuuden käyttää menetelmiä CW-kompleksien tutkimiseen, jotka on mukautettu sileiden jakoputkien maailmaan . Siten i - kahva on i - solun tasainen analogi. Käsittele monistojen hajoamista syntyy Morse-teoriasta . Kahvarakenteiden muuntaminen liittyy läheisesti Cerfin teoriaan . $Mi}$ $M_{{i-1}}$ $i$

Tausta

Tarkastellaan n-pallon standardia CW -osiota, jossa on yksi nollasolu ja yksi n - solu. Sileän jakosarjan näkökulmasta se on pallon rappeutunut osio, koska tällä osiolla ei ole luonnollista tapaa nähdä tasaista rakennetta , erityisesti sileä rakenne lähellä 0 -solua riippuu pallon käyttäytymisestä. ominaisuuskartoitus lähistöllä . $S^{n}$ $\chi :D^{n}\to S^{n}$ $S^{{n-1}}$

CW-hajotusten ongelmana on, että liitettävissä olevat solukartoitukset eivät elä monisarjojen välisten tasaisten kartoitusten maailmassa. Alkuperäinen idea tämän puutteen korjaamiseksi on putkimainen naapurilause . Kun monistossa M on annettu piste p , sen suljettu putkimainen ympäristö on diffeomorfinen . Siten saamme M :n osion disjoint-liitoksi ja liimataan niiden yhteistä rajaa pitkin. Pääkysymys tässä on, onko tämä liimauskartoitus diffeomorfismi. Ota sileä käyrä upotettuna , sen putkimainen naapurusto on diffeomorfinen . Tämä antaa meille mahdollisuuden kirjoittaa kolmen jakosarjan liitoksina, jotka on liimattu osia niiden rajoista: $N_p$ ${\näyttötyyli D^{m))$ $N_p$ $M\setminus \operaattorinimi {int} (N_{p})$ $M\setminus \operaattorinimi {int} (N_{p})$ $I\times D^{m-1}$ $M$

${\näyttötyyli D^{m))$
$I\times D^{m-1}$
käyrän avoimen putkimaisen alueen komplementti . $M\setminus \operaattorinimi {int} (N_{p})$

Huomaa, että kaikki liimatut mappaukset ovat sileitä, varsinkin kun liimataan :lla , ekvivalenssirelaatio muodostetaan upottamalla sisään , joka on sileä putkimaisen naapuruuslauseen mukaan . $I\times D^{m-1}$ ${\näyttötyyli D^{m))$ ${\näyttötyyli (\osittainen I)\times D^{m-1))$ $\partial D^{m}$

Kahvan laajennukset esitteli Steven Smale [1] . Alkuperäisessä formulaatiossa j - kahvan liittäminen m -jakosarjaan M olettaa, että upottaminen suoritetaan . Anna . Monisto (toisin sanoen M : n liitto j -kahvan kanssa pitkin f ) vastaa hajautettua liittoa ja identifiointia sen kuvan kanssa kohdassa , eli: ${\displaystyle f:S^{j-1}\times D^{mj))$ $\osittainen M$ $H^{j}=D^{j}\times D^{mj}$ ${\displaystyle M\cup _{f}H^{j))$ $M$ $H^{j}$ ${\displaystyle S^{j-1}\times D^{mj))$ $\osittainen M$

M\cup _{f}H^{j}=\left(M\sqcup (D^{j}\times D^{mj})\right)/\sim

jossa ekvivalenssisuhde on annettu kuten kaikille . $\sim$ ${\näyttötyyli (p,x)\sim f(p,x)}$ ${\displaystyle (p,x)\in S^{j-1}\times D^{mj}\subset D^{j}\times D^{mj))$

Monista N sanotaan saatavan M :stä lisäämällä j -kahvat, jos M : n liitto äärellisen määrän j -kahvoja kanssa on diffeomorfinen N :n kanssa . Sitten jakotukin kahvoihin hajoaminen määritellään asteittaiseksi lisäykseksi tyhjään kahvasarjaan, niin että lopulta saamme . Siten jakoputkella on kahvahajotus 0 -kahvoilla vain , jos se on diffeomorfinen pallojen epäyhtenäisen liitoksen kanssa. Yhdistettyä jakotukkia, joka sisältää vain kahden tyyppisiä kahvoja (eli 0-kahvat ja j -kahvat joillekin kiinteälle j :lle ), kutsutaan rungoksi, jossa on kahvoja . $M$ $M$

Terminologia

Otetaan liitto M , jossa on j - kahva : $H^{j}$

M\cup _{f}H^{j}=\left(M\sqcup (D^{j}\times D^{mj})\right)/\sim

$f(S^{j-1}\times \{0\})\subset M$ jota kutsutaan tarttumispalloksi (tai plantaaripalloksi ) [2] .

$f$ jota kutsutaan joskus liimapallon kehykseksi, koska se antaa trivialisoinnin sen normaalista nipusta .

${\displaystyle \{0\}^{j}\times S^{mj-1}\subset D^{j}\times D^{mj}=H^{j))$ on kahvan vyö . _ $H^{j}$ ${\displaystyle M\cup _{f}H^{j))$

Jakoputkisto, joka saadaan kiinnittämällä -kahvojen kopioita levyyn, on (m, k) -runko, jossa on g -suvun kahvoja . $g$ $k$ ${\näyttötyyli D^{m))$

Kobordismien esitykset

Kobordismin kahvaesitys koostuu kobordismista W missä ja suodatuksesta ${\displaystyle \partial W=M_{0}\cup M_{1))$

W_{-1}\subset W_{0}\subset W_{1}\subset \cdots \subset W_{m+1}=W

missä ja ovat -ulotteisia monistoja, ovat -ulotteisia, diffeomorfisesti , ja saadaan lisäämällä i -kahvat. Koska monisarjojen kahvahajotelmat ovat analogisia topologisten tilojen soluhajotelmien kanssa, kahvan kobordismin esitykset rajoilla varustetuille monistoille ovat analogisia avaruusparien suhteellisten solujen hajottelujen kanssa. $M_{0}$ $M_{1}$ $m$ $W$ $m+1$ $V_{{-1}}$ $M_{0}\times [0,1]$ $W_i$ $W_{i-1}$

Morse-teorian näkökulmasta

Jos Morse-funktio annetaan kompaktille monistolle M ilman rajaa siten, että funktion kriittiset pisteet täyttävät ja $f:M\to \mathbb {R}$ $\{p_{1},\ldots ,p_{k}\}\subset M$ $f$ $f(p_{1})<f(p_{2})<\cdots <f(p_{k})$

t_{0}<f(p_{1})<t_{1}<f(p_{2})<\cdots <t_{k-1}<f(p_{k})<t_{k }

silloin kaikille j :lle se on diffeomorfinen , missä on kriittisen pisteen indeksi . Indeksi vastaa tangenttiavaruuden maksimialiavaruuden ulottuvuutta , jossa Hessian on negatiivinen definiitti. $f^{-1}[t_{j-1},t_{j}]$ ${\displaystyle (f^{-1}(t_{j-1})\times [0,1])\cup H^{I(j)))$ $I(j)$ $p_{j}$ $I(j)$ $T_{p_{j}}M$

Jos indeksit tyydyttävät epäyhtälön , niin saadaan hajoaminen jakosarjan M kahvoihin . Lisäksi missä tahansa jakoputkessa on tällainen Morse-funktio, joten niissä on kahvahajotus. Vastaavasti, kun otetaan huomioon kobordismi c ja funktio , joka on Morse-funktio sisäpuolella, on vakio rajalla ja täyttää indeksin lisäysominaisuuden, syntyy kobordismin kahvaesitys W . $I(1)\leqslant I(2)\leqslant \cdots \leqslant I(k)$ $W$ ${\displaystyle \partial W=M_{0}\cup M_{1))$ $f:W\to \mathbb {R}$

If on Morse-funktio , on myös Morse-funktio. Vastaavaa kahvan hajotelman/kobordismin esitystä kutsutaan kaksoishajotelmaksi . $f$ $M$ $-f$

Jotkut päälauseet ja havainnot

Suljetun suuntautuvan 3-jakotukin Heegaard -laatoitus on 3 -jakotukin laatoitus kahden (3,1) -rungon yhtymäksi, joissa on kädensijat niiden yhteisellä rajalla, jota kutsutaan Heegaard-laatoitukseksi pinnalle. Heegaard-laatoitus syntyy 3 - jakotukkiin useilla luonnollisilla tavoilla. Jos annetaan 3-jakotukin jaottelu kahvoihin, 0 - ja 1 -kahvojen liitto on (3,1) -runko kahvoilla, ja 3 - ja 2 -kahvojen liitos antaa myös (3, 1) -kahvoilla varustettu runko (kaksoislaatoituksen kannalta), eli Heegaard-laatoitus. Jos 3 -jakoputkella on kolmio T , niin syntyy Heegaardin laatoitus, jossa ensimmäinen (3,1) -kappale kahvoilla on 1 -luurankon säännöllinen ympäristö ja toinen (3,1) -runko kahvoilla on säännöllinen naapurustossa dual 1 - core . $T^{1}$
Jos kiinnitämme kaksi kahvaa peräkkäin , voimme muuttaa kiinnitysjärjestystä edellyttäen , että tämä jakoputkisto on erilainen kuin näkymän jakosarja asianmukaisia kiinnityskartoituksia varten. ${\displaystyle (M\cup _{f}H^{i})\cup _{g}H^{j))$ $j\leqslant i$ ${\displaystyle (M\cup H^{j})\cup H^{i))$
Raja on diffeomorfinen , leikattu pitkin kehystettyä palloa . Tämä on tärkein linkki leikkauksen , kahvojen ja Morsen toimintojen välillä. ${\displaystyle M\cup _{f}H^{j))$ $\osittainen M$ $f$
Seurauksena on, että m - monisto M on m+1 -jakosarjan W raja , jos ja vain, jos M voidaan saada leikkauksesta kehystettyjen linkkien joukossa . Esimerkiksi minkä tahansa 3 -jakosarjan tiedetään olevan 4-jakosarjan raja ( samalla tavalla suunnatut spinori - 3 -jakoputket ovat suuntautuneiden ja spinori- 4 - jakoputkien rajana vastaavasti) René Thomin kobordismia käsittelevän työn mukaan . Siten mikä tahansa 3-jakotukki voidaan saada leikkauksella 3 - pallon takiloiduilla linkeillä. Suunnatussa tapauksessa on tapana pelkistää nämä kehystetyt linkit hajattoman ympyröiden liitoksen kehystetyksi upotukseksi. $S^{m}$ $S^{m}$
H - kobordismin lause on todistettu yksinkertaistamalla sileiden jakoputkien kahvahajoja.

Katso myös

Pen Casson
[Ko]bordismien teoria
CW kompleksi
runko kahvoilla
Kirby Calculus
Jakosarjan hajoaminen

Muistiinpanot

↑ Smale, 1962 , s. 387-399.
↑ Scorpan, 2016 , s. 46.

Kirjallisuus

Smale S. Jakoputkien rakenteesta // Amer. J Math. - 1962. - T. 84 .
- Artikkeli on painettu uudelleen kirjassa: S. Smale. Jakoputkien rakenteesta // Topologinen kirjasto. Osa 1: Kobordismit ja niiden sovellukset / Vastaava toimittaja: Louis H. Kauffman; Toimittajat: SP Novikov, IA Tairnanov. — World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd, 2007. - V. 39. - (SARJA SOMUISTA JA KAIKISTA). - ISBN 978-981-270-559-4 .
Scorpan A. Neliulotteisten monistojen hämmästyttävä maailma. — M. : MTsNMO, 2016. — ISBN 978-5-4439-2385-7 .

Pääkirjallisuus

Kosinksi A. Jakotukit. - Academic Press, 1992. - V. 138. - (Puhdas ja sovellettu matematiikka).
Robert Gompf, Andras Stipsic. 4-Jakoputket ja Kirby Calculus. - Providence, RI: American Mathematical Society, 1999. - V. 20. - ( Matematiikan jatko-opinnot ). - ISBN 0-8218-0994-6 .