Rationaalisen murtoluvun hajottaminen yksinkertaisimpiin

Rationaalisen murtoluvun hajottaminen yksinkertaisimmiksi on rationaalisen murtoluvun esitys polynomin ja yksinkertaisimpien murtolukujen summana . Hajottamista yksinkertaisimpiin käytetään monissa ongelmissa, esimerkiksi integroinnissa [1] , laajentamisessa Laurentin sarjassa [2] , rationaalisten funktioiden Laplacen käänteisen muunnoksen laskennassa [3] .

Määritelmä

Rationaalista murtolukua kutsutaan yksinkertaisimmiksi , jos sen nimittäjä on jonkin redusoitumattoman polynomin aste ja sen osoittajan aste on pienempi kuin tämän pelkistymättömän polynomin aste. [neljä]

Murtoluvun esittämistä muodossa , jossa on polynomi ja murtoluvut ovat yksinkertaisia, kutsutaan murtoluvun hajottamiseksi yksinkertaiseksi . ${\frac {P(x)}{Q(x)}}=G(x)+\sum _{i=1}^{n}{\frac {P_{i}(x)}{ Q_{i}(x)}}$ $G(x)$ ${\frac {P_{i}(x)}{Q_{i}(x)))$ ${\frac {P(x)}{Q(x)))$

Tällainen esitys on olemassa mille tahansa kentän rationaaliselle murtoluvulle ja on ainutlaatuinen termien permutaatioon asti.

Hajotusmenetelmät

Koko osan valinta

Mikä tahansa kentän ylittävä rationaalinen murto-osa voidaan esittää yksiselitteisesti polynomin (jota kutsutaan murto-osan kokonaislukuosaksi) ja oikean murto-osan (kutsutaan murto-osiksi) summana. [5] Mikä tahansa oikea murto-osa voidaan puolestaan jakaa vain yksinkertaisten murtolukujen summaksi ilman polynomitermiä. Näin ollen ongelma murto-osan hajottamisesta yksinkertaisimpiin voidaan ratkaista kahdessa vaiheessa: ensin hajotetaan kokonaisluvun ja murto-osien summaksi (tätä menettelyä kutsutaan kokonaislukuosan valinnaksi) ja miksi murto-osa hajotetaan yksinkertaisimpien summa.

Kokonaislukuosan valinta tapahtuu jakamalla osoittajan polynomi nimittäjässä olevalla polynomilla sarakkeeksi. Tuloksena oleva epätäydellinen osamäärä on kokonaislukuosa, ja jakoosa jaettuna osingolla on murto-osa.

Jakoalgoritmi sarakkeessa kussakin iteraatiossa saa uuden arvon jäännökselle ja osamäärälle. Ennen aloittamista asetamme jäännöksen arvon yhtä suureksi kuin osinko ja osamäärän arvoksi 0.

Jos jäännöksen aste on pienempi kuin jakajan aste, niin algoritmi päättyy.
Olkoon jäännöstermi, jolla on korkein aste, jakajatermi, jolla on korkein aste. Sitten lisäämme osamäärään ja vähennämme jäännöksestä ja siirrymme vaiheeseen 1. [6] ${\displaystyle ax^{n))$ ${\displaystyle bx^{m))$ ${\frac {a}{b}}x^{nm}$ ${\frac {a}{b}}x^{nm}Q(x)$

Siten lopussa saamme epätäydellisen osamäärän ja jäännöksen . Tämän seurauksena , , jossa on oikea murto-osa, joka laajenee yksinkertaisten murtolukujen summaksi. Ongelma pelkistettiin yksinkertaisimpien säännöllisten murtolukujen summaan. $G(x)$ $R(x)$ ${\frac {P(x)}{Q(x)}}=G(x)+{\frac {R(x)}{Q(x)))$ ${\frac {P(x)}{Q(x)))$

Huolimatta siitä, että useimpia menetelmiä oikean murtoluvun hajottamiseksi yksinkertaisimmiksi voidaan soveltaa myös väärään, kaikki nämä menetelmät ovat paljon monimutkaisempia kuin polynomien jakaminen sarakkeeseen. Kokonaisluvun kertoimien alustava löytäminen sarakkeeseen jakamalla vähentää kertoimien määrää, joita tulee etsiä "kompleksisilla" menetelmillä, mikä yksinkertaistaa laskelmia.

Määrittämättömien kertoimien menetelmä

Epämääräisten kertoimien menetelmä on kirjoittaa muistiin laajennus yksinkertaisimpiin, joiden kertoimet ovat tuntemattomia, muodostaa näille kertoimille yhtälöjärjestelmä ja ratkaista se. Olkoon oikea murto-osa redusoitumattomassa merkinnässä, olkoon nimittäjän hajoaminen redusoitumattomiksi tekijöiksi. Silloin hajoamalla yksinkertaisimpiin on muoto . Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla . Saamme polynomien yhtäläisyyden . Polynomit ovat yhtä suuria, kun niiden kertoimet samoilla potenssilla ovat yhtä suuret. Yhtälöimällä ne, saamme lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmän yhtälöiden ja tuntemattomien päälle . Ratkaisemalla sen saamme halutut arvot . [7] ${\frac {P(x)}{Q(x)))$ $Q(x)=(Q_{i_{1}}(x))^{m_{1}}...(Q_{i_{n}}(x))^{m_{n}}$ $Q(x)$ ${\frac {P(x)}{Q(x)}}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m_{i}}{\frac {A_{ij}}{(Q_{i}(x))^{j}}}$
$Q(x)$ $P(x)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m_{i}}A_{ij}(Q_{1}(x))^{ m_{1}}...(Q_{i-1}(x))^{m_{i-1}}(Q_{i}(x))^{m_{i}-j}(Q_{i +1}(x))^{m_{i+1}}...(Q_{n}(x))^{m_{n}}$
$A_{{ij}}$ $n$ $n$ $A_{{ij}}$

Tuloksena olevat yhtälöt ovat usein melko hankalia. Siksi käytännössä he yrittävät saada yksinkertaisempia yhtälöitä korvaamalla. Tämän tekniikan yleinen kaavio on seuraava: yhtäläisyys kerrotaan jollain polynomilla ja sitten siihen korvataan jokin tietty arvo x:n sijaan. Useimmiten kerrotaan ja korvataan sen juurella. Siten lähes kaikki termit katoavat ja saadaan melko yksinkertainen yhtälö, jonka avulla yksi kertoimista voidaan laskea lähes välittömästi. Tämän tekniikan avulla voit löytää kertoimia suuremmilla lineaaristen tekijöiden tehoilla. [8] Voit jopa käyttää juuria, joka ei kuulu pääkenttään, rivijuurena. Esimerkiksi reaaliluvut käyttävät usein kompleksista juurikorvausta ja yhdistävät sitten yhtälön reaali- ja imaginaariosat. Voit tehdä saman mielivaltaiselle kentälle. Tämä yhtälö ei kuitenkaan ole välttämätön, puuttuvat yhtälöt voidaan saada muilla tavoilla. Joskus käytetään myös äärettömyyden substituutiota: ne kertovat yhdellä laajennukseen sisältyvistä lineaarisista polynomeista ja korvaavat äärettömän (tässä murtoluvun oikeellisuus tulee oleelliseksi). Tämän tekniikan avulla voit yksinkertaisesti löytää kertoimet lineaaristen tekijöiden ensimmäisen asteen kohdalla. [9] Yleisesti ottaen yhtälön muunnos ja sitä seuraava substituutio voivat olla mitä tahansa, on vain tärkeää, että tämä substituutio on järkevä eikä muuta termejä äärettömiksi. Esimerkiksi kun korvaat nimittäjän juuria, sinun on ensin kerrottava yhtälö polynomilla, joka eliminoi jaon nollalla, ja kun korvaat äärettömän, katso, ettei missään ole kokonaislukutermi, joka sisältää . ${\frac {P(x)}{Q(x)}}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m_{i}}{\frac {A_{ij}}{(Q_{i}(x))^{j}}}$
$Q(x)$

$Q(x)$ ${\frac {P(x)}{Q(x)))$
$x$

Lineaaristen algebrallisten yhtälöiden ratkaiseminen on melko työläs prosessi, minkä vuoksi käytännössä käytetään vähemmän universaaleja, mutta yksinkertaisempia menetelmiä.

Heavisiden kansimenetelmä

Heavisiden menetelmässä kerroimet lasketaan suoraan seuraavan kaavan avulla. Olkoon pelkistymättömiksi tekijöiksi hajoamisessa lineaarinen tekijä ja sen monikertaisuus. Jaottelu yksinkertaisimpiin termeihin sisältää muotoa , jossa . Sitten $Q(x)$ $xa$ $m$ ${\frac {B_{j}}{(xa)^{j}}}$ $1\leq j\leq m$

$B_{m}={\frac {P(x)(xa)^{m}}{Q(x)}}{\Bigr |}_{x=a}$ on Heavisiden kaava [10]

Heaviside-kaavan avulla saat heti suurimman osan kertoimista ilman vaikeuksia, minkä vuoksi sitä käytetään erittäin laajasti käytännössä. Jos murto-osan nimittäjä jaetaan lineaarisiin tekijöihin, voidaan Heavisiden menetelmällä saada koko laajennus kerralla. Jos ei, niin jäljellä olevien kertoimien laskeminen edellyttää muiden menetelmien käyttöä, esimerkiksi määrittelemättömien kertoimien menetelmää.

Lagrangen menetelmä

Lagrangen menetelmä tarjoaa toisen kaavan kertoimien laskemiseen. Olkoon moninkertaisuuden nimittäjän juuri 1. Sitten kerroin at on yhtä suuri $a$ $A$ ${\frac {1}{xa))$

$A={\frac {P(x)}{Q'(x)}}{\Bigr |}_{x=a}$ on Lagrangen kaava. [yksitoista]

Kuten Heaviside-menetelmässä, Lagrange-menetelmässä voit löytää välittömästi yksinkertaisimman jaottelun, jos nimittäjä on jaettu lineaarisiin tekijöihin.

Lagrangen kaavan yleistys

Lagrangen kaava voidaan yleistää monikertajuurelle : $m$

${\displaystyle A_{m}=m!{\frac {P(x)}{Q^{(m)}(x))){\Bigr |}_{x=a))$ , missä on kerroin . [12] $Olen}$ ${\displaystyle {\frac {1}{(xa)^{m))))$

Siten mikä tahansa kerroin, joka voidaan löytää tällä kaavalla, voidaan löytää käyttämällä Heavisiden kaavaa ja päinvastoin.

Toistuvien kertoimien poistaminen

Yksi tapa löytää jäljellä olevat kertoimet käyttämättä määrittämättömien kertoimien menetelmää on ottaa pois toistuvat kertoimet. [13] Tarkastellaan asiaa esimerkin avulla.

Laajennamme murto-osaa . Otetaan pois toistuvat tekijät. . Oikea tekijä koostuu vain lineaarisista tekijöistä, mikä tarkoittaa, että sitä voidaan laajentaa Heaviside- tai Lagrange-menetelmällä. Hajotetaanpa. . Laajennamme sulkuja. . Tiedämme jo oikean jakeen hajoamisen yksinkertaisiksi. on haluttu hajoaminen. ${\frac {1}{(s+1)^{2}(s+2)))$
${\frac {1}{s+1}}\left({\frac {1}{(s+1)(s+2)))\right)$
${\frac {1}{s+1}}\left({\frac {1}{s+1}}-{\frac {1}{s+2}}\right)$
${\frac {1}{(s+1)^{2}}}-{\frac {1}{(s+1)(s+2)))$
${\frac {1}{(s+1)^{2}}}-{\frac {1}{s+1}}+{\frac {1}{s+2}}$

Rekursiivinen menetelmä

Menetelmä on löytää kaikki korkeimmat yksinkertaiset termit korkeimmalla asteella käyttämällä Heaviside-menetelmää (tai yleistettyä Lagrangea), vähennä sitten alkuperäisestä murtoluvusta ja toista tämä menettely tuloksena olevalle murtoluvulle. [neljätoista]

Laajennamme murto-osaa . Etsitään korkeimmat yksinkertaiset termit: . Vähennä ne alkuperäisestä murtoluvusta. . Tuloksena oleva murto-osa on jäljellä olevien yksinkertaisten jakeiden summa, mikä tarkoittaa, että nämä jäljellä olevat jakeet eivät ole muuta kuin tuloksena olevan jakeen hajoamista yksinkertaisiksi. Löydämme jälleen korkeimmat yksinkertaiset termit. . Vähentää. . Tuloksena on oikea murto-osa, mikä tarkoittaa, että kaikki laajennuksen ehdot löytyvät. . ${\displaystyle {\frac {1}{(x-1)^{2}(x-2)^{3))))$
$-{\frac {1}{(x-1)^{2}}},{\frac {1}{(x-2)^{3}}}$
${\frac {1}{(x-1)^{2}(x-2)^{3}}}+{\frac {1}{(x-1)^{2}}}- {\frac {1}{(x-2)^{3}}}={\frac {x-4}{(x-2)^{2}(x-1)))$
$-{\frac {2}{(x-2)^{2}}},-{\frac {3}{x-1}}$
${\frac {x-4}{(x-2)^{2}(x-1)}}+{\frac {2}{(x-2)^{2}}}+{\ frac {3}{x-1}}={\frac {3}{x-2}}$
${\frac {1}{(x-1)^{2}(x-2)^{3}}}={\frac {1}{(x-2)^{3}}}- {\frac {1}{(x-1)^{2}}}-{\frac {2}{(x-2)^{2}}}-{\frac {3}{x-1}} +{\frac {3}{x-2}}$

Tämän menetelmän suurin vaikeus on murto-osien vähentäminen sen myöhemmillä vähennyksillä. Voit yksinkertaistaa tätä vaihetta suorittamalla seuraavan tempun.

Etsitään se . Murtoluvun nimittäjä on meille jo tiedossa: se jaetaan tulolla (kertoimea huomioimatta). Siksi tehtävänä on löytää . Tätä varten kerromme koko yhtälön luvulla . Saamme sen, mikä on yhtä suuri kuin murto-osien summa. Mutta koska oikeiden murtolukujen summa on jälleen oikea murto-osa, näiden murto-osien summa on yhtä suuri kuin 0 ja itse polynomi on yhtä suuri kuin kokonaislukuosien summa. Siten riittää, että löytää vain näiden murtolukujen jaon epätäydellinen osamäärä ja jättää jäännös huomioimatta. Tällä muutoksella tätä menetelmää kutsutaan menetelmäksi hylätä jäännökset . [viisitoista] ${\frac {R(x)}{D(x)}}={\frac {P(x)}{Q(x)))-\sum _{i=1}^{n}{ \frac {A_{i}}{(x-x_{i})_{i}^{m}}}$
$D(x)$ $Q(x)$ ${\näyttötyyli (x-x_{i})}$ $R(x)$ $D(x)$ $R(x)$

Otetaan esimerkki ylhäältä. . Kerrotaan luvulla . Ensimmäinen termi on oikea, joten se voidaan hylätä. Tarkastellaan toisen termin kokonaislukuosaa. Jaetaan sarakkeeksi . Me saamme . Vastaavasti viimeisen termin kokonaislukuosa on −1. Laskemme ne yhteen ja saamme halutun polynomin - .
${\displaystyle {\frac {1}{(x-1)^{2}(x-2)^{3}}}+{\frac {1}{(x-1)^{2}}}- {\frac {1}{(x-2)^{3))))$ $D(x)$
${\frac {1}{(x-1)(x-2)}}+{\frac {(x-2)^{2}}{x-1}}-{\frac {x- 1}{x-2}}$ ${\näyttötyyli (x-2)^{2))$ $x-1$ $x-3$ $x-4$

Yksinkertaiset muunnokset

Joskus hajoaminen yksinkertaisimpiin voidaan saada yksinkertaisesti muuntamalla lausekkeita. [16]

{\frac {x^{2}-1}{x(x^{2}+1)^{2}}}={\frac {x^{2}-(x^{2}+ 1)+x^{2}}{x(x^{2}+1)^{2}}}={\frac {2x}{(x^{2}+1)^{2}}}- {\frac {1}{x(x^{2}+1)}}={\frac {2x}{(x^{2}+1)^{2}}}-{\frac {(x^ {2}+1)-x^{2}}{x(x^{2}+1)}}={\frac {2x}{(x^{2}+1)^{2}}}- {\frac {1}{x}}+{\frac {x}{x^{2}+1}}

Vähennysmenetelmä

Heavisiden kaava voidaan yleistää mielivaltaiseksi kertoimeksi.

Olkoon pelkistymättömiksi tekijöiksi hajoamisessa lineaarinen tekijä ja sen monikertaisuus. Jaottelu yksinkertaisimpiin termeihin sisältää muotoa , jossa . Sitten: $Q(x)$ $xa$ $m$ ${\displaystyle {\frac {B_{k}}{(xa)^{k))))$ $1\leq k\leq m$

$B_{k}={\frac {1}{(mk)!}}\left({\frac {P(x)(xa)^{m}}{Q(x)))\oikea) ^{(mk)}{\Bigr |}_{x=a}$ [12]

Suuren kerrannaiskertoimen kertoimissa tämä kaava edellyttää suuren kertaluvun rationaalisen murto-osan derivaatan laskemista, mikä on melko aikaa vievä toimenpide.

Korkeamman asteen polynomien kertoimet

Jos yksinkertaisimman murtoluvun nimittäjä sisältää redusoitumattoman polynomin, joka on suurempi kuin ensimmäinen aste, niin sen osoittajan löytämiseksi kaikista luetelluista menetelmistä voidaan käyttää vain epämääräisten kertoimien menetelmää. Tämä ongelma voidaan kuitenkin välttää etsimällä alkeishajotelma kentän algebrallisesta sulkemisesta (tai tarkemmin sanottuna mistä tahansa laajennuksesta, joka sisältää nimittäjähajoamiskentän ) ja lisäämällä sitten termit konjugaattinimittäjillä. Tätä menetelmää käytetään hyvin usein etsimään hajoamista yksinkertaisimpaan reaalilukukentän yli. [17]

Harkitse esimerkkiä. Etsitään hajoaminen . Siirrytään kompleksilukujen kenttään ja laajennetaan nimittäjä lineaarisiksi tekijöiksi. . Käytetään Heavisiden menetelmää. . Lisää nyt murtoluvut konjugaattinimittäjillä. on haluttu hajoaminen.
${\frac {1}{(x^{2}+1)(x+1)))$
${\frac {1}{(x+i)(xi)(x+1)}}$
${\frac {\displaystyle {\frac {1}{2}}}{x+1}}+{\frac {\displaystyle {\frac {1}{2i(i+1)))}{ xi}}-{\frac {\displaystyle {\frac {1}{2i(-i+1)}}}{x+i}}$
${\frac {\displaystyle {\frac {1}{2}}}{x+1}}+{\frac {\displaystyle {\frac {1}{2}}(1-x)}{ x^{2}+1}}$

Menetelmien yhdistelmät

Yllä olevat menetelmät antavat tapoja laskea yksittäisiä kertoimia, mutta ne eivät vaadi lopun laskemista tällä menetelmällä. Voit siis yhdistää näitä menetelmiä haluamallasi tavalla: laske yksi kerroin Heavisiden menetelmällä, toinen Lagrange-menetelmällä ja loput määrittelemättömien kertoimien menetelmällä, mikä on jo paljon yksinkertaisempaa kuin jos kaikki kertoimet olisivat tuntemattomia . Sopivien menetelmien käyttö tarpeellisissa tapauksissa mahdollistaa yksinkertaisen ja tehokkaan hajoamisen löytämisen.

Muunnelmia ja yleistyksiä

Eukleideen renkaassa

Yksinkertaisimman murto-osan käsite voidaan yleistää ilmeisellä tavalla Euklidisen renkaan murto-osien kenttään . Kutsumme murtolukua oikeaksi murtoluvuksi, jos sen osoittajan euklidinen normi on pienempi kuin sen nimittäjän euklidinen normi. Oikeaa murtolukua kutsutaan yksinkertaisimmiksi, jos sen nimittäjä sisältää jossain määrin pelkistymättömän alkion. Sitten murto-osan hajoaminen yksinkertaisimmiksi määritellään esityksenä jonkin euklidisen renkaan alkion ja yksinkertaisimpien murtolukujen summan muodossa.

Mikä tahansa Euklidisen renkaan murto-alueen murto-osa hajoaa yksinkertaisimpiin, mutta ei millekään euklidisen renkaan murto-osalle, se on aina ainutlaatuinen. [18] Esimerkiksi kokonaislukujen yläpuolella murtoluvuilla voi olla useita laajennuksia: (tässä euklidinen normi on kokonaisluvun moduuli, on yksinkertaisin murtoluku, joten se on yksinkertainen laajennus itsestään, mutta samalla olimme voi saada vielä yhden laajennuksen). ${\frac {1}{4}}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}$ ${\frac {1}{4))$

Yksinkertaisin hajotus on ainutlaatuinen kaikille euklidisen renkaan osamääräkentän elementeille, jos ja vain jos tämä rengas on joko kenttä tai isomorfinen kentän päällä olevan polynomirenkaan kanssa (lisäksi euklidinen normi vastaa polynomi). [19] .

Kokonaislukuina

Kokonaisluvuille voidaan harkita vaihtoehtoista tekijöiden määrittelyä . Vaadimme, että kaikki yksinkertaisimmat ehdot ovat positiivisia. Sitten mille tahansa rationaaliluvulle on ainutlaatuinen tekijöiden jako yksinkertaisimmiksi. [kaksikymmentä]

Esimerkiksi on ainoa hajoaminen yksinkertaisimpiin termeihin positiivisilla yksinkertaisimmilla termeillä. Jos negatiiviset alkeistermit sallitaan, laajennus ei ole enää ainutlaatuinen, kuten edellä on jo osoitettu. ${\frac {77}{12}}=5+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {2}{3}}$

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Zorich, 2019 , s. 292.
↑ Krasnov, 1971 , s. 51.
↑ Krasnov, 1971 , s. 125.
↑ Faddeev, 1984 , s. 187.
↑ Faddeev, 1984 , s. 184.
↑ Faddeev, 1984 , s. 168.
↑ Brazier, 2007 , s. 2.
↑ Gustafson, 2008 , s. 2.
↑ Gustafson, 2008 , s. 5.
↑ Gustafson, 2008 , s. 3.
↑ Hazra, 2016 , s. 28.
↑ 12 Bauldry , 2018 , s. 429.
↑ Gustafson, 2008 , s. neljä.
↑ Mies, 2009 , s. 809.
↑ Brazier, 2007 , s. 809.
↑ Kudrjavtsev, 2003 , s. 502.
↑ Bauldry, 2018 , s. 430.
↑ Bradley, 2012 , s. 1526.
↑ Bradley, 2012 , s. 1527.
↑ Bradley, 2012 , s. 1528.

Kirjallisuus

Zorich V. A. Matemaattinen analyysi. Osa 1 . - 10. painos — M. : MTsNMO, 2019. — 564 s. (Venäjän kieli)
Krasnov M. L., Kiselev A. I., Makarenko G. I. Kompleksisen muuttujan funktiot. operatiivinen laskenta. Vakauden teoria . - M . : Nauka, 1971. - 256 s. (Venäjän kieli)
Faddeev DK luennot algebrasta . - M . : Nauka, 1984. - 416 s. (Venäjän kieli)
Bauldry WC :n osittaiset murtoluvut laskennan kautta // Daniel Alpay -ongelmat , resurssit ja ongelmat matematiikan perustutkinto-opinnoissa: Journal. - 2018. - 9. toukokuuta ( nide 28 , painos 5 ). — s. 425–437 . — ISSN 1051-1970 . - doi : 10.1080/10511970.2017.1388312 .
Gustafson GB Hevisiden menetelmä (eng.) (pdf). Grant B. Gustafson osoitteessa math.utah.edu (2008). Haettu: 1.7.2021.
Brazier RA, Boman EC Kuinka laskea osittaisen fraktion hajoaminen ilman todella yrittämistä // AMATYC Review: Journal. - 2007. - Voi. 21 , ei. 1 . — s. 20–29 . — ISSN 0740-8404 .
Hazra M. Osittaisten fraktioiden hajottaminen Lagrangen menetelmällä // Research Journal Of Pure Science : aikakauslehti. - 2016. - Vol. 5 , ei. 2 . — s. 27–32 . — ISSN 2348-5361 .
Yiu-Kwong mies. Parannettu Heavisiden lähestymistapa osittaiseen jakeen laajentamiseen ja sen sovellukset // International Journal of MathematicalEducation in Science and Technology : Journal. - 2009. - 4. elokuuta ( nide 40 , painos 6 ). — s. 808–814 . - doi : 10.1080/00207390902825310 .
Bradley WT, Cook WJ Kaksi todistetta osittaisen murto-osan hajoamisen olemassaolosta ja ainutlaatuisuudesta (englanniksi) // International Mathematical Forum : Journal. - 2012. - Vol. 7 , ei. 31 . — s. 1517–1535 .
Kudrjavtsev L. D. Matemaattisen analyysin kurssi. 3 osassa. Volume 1. Useiden muuttujien funktioiden differentiaali- ja integraalilaskenta . - M . : Bustard, 2003. - 704 s. (Venäjän kieli)