Aseta ero

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 25. maaliskuuta 2021 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Kahden joukon ero on joukkoteoreettinen operaatio, jonka tuloksena on joukko, joka sisältää kaikki ensimmäisen joukon alkiot, jotka eivät sisälly toiseen joukkoon. Yleensä joukkojen ja ero on merkitty , mutta joskus voit nähdä merkinnän ja . $A$ $B$ $A\setmiinus B$ $AB$ $A\sim B$

Olkoon ja kaksi määritelmässä määritettyä joukkoa, niin niiden ero määritellään (joukkoteoreettisella kielellä): $A$ $B$

A\setminus B=\{x\in A\mid x\not \in B\}.

Tätä joukkoa kutsutaan usein joukon komplementiksi joukkoon . (vain kun joukko B kuuluu kokonaan joukkoon A) $B$ $A$

Yleensä oletetaan, että tarkastellaan saman joukon osajoukkoja, joita tässä tapauksessa kutsutaan universumiksi , vaikkapa . Sitten voimme tarkastella yhdessä kunkin joukon kanssa sen suhteellista komplementtia , joka usein merkitään jättämällä pois universumin kuvake: $X$ $A\alajoukko X$ $X\setminus A$ $\setminus A$ ; Samalla sanotaan, että se on (yksinkertaisesti) joukon komplementti (täsmentämättä, mitä tietty joukko täydentää). $\setminus A$

Tämän huomautuksen valossa käy ilmi , että , eli joukon komplementti joukkoon on joukon ja joukon komplementin leikkauspiste . $A\setminus B=A\cap (\setminus B)$ $B$ $A$ $A$ $B$

Käytetään myös muodon operaattorimerkintää tai (jos yleisjoukko jätetään pois ) , . $A^{\täydentää }$ $\complement _{X}A$ $\täydennä A$ $\overline A$ $A'$

Joukkoerooperaatio ei ole määritelmän mukaan symmetrinen siihen sisältyvien joukkojen suhteen. Kahden joukon joukkoteoreettisen eron symmetrinen versio kuvataan symmetrisen eron käsitteellä .

Esimerkkejä

Anna . Sitten $A=\{1,\;2,\;3,\;4\},\;B=\{3,\;4,\;5,\;6,\;7\}$ $A\setminus B=\{1,\;2\},\;B\setminus A=\{5,\;6,\;7\}.$
Antaa olla joukko reaalilukuja , on joukko rationaalilukuja , ja on joukko kokonaislukuja . Sitten - kaikkien irrationaalisten lukujen joukko ja - murtoluku . $\mathbb {R}$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ $\mathbb {Q} \setminus \mathbb {Z}$

Ominaisuudet

Antaa olla mielivaltaisia joukkoja. $A,\;B,\;C,\;D$

Joukon vähentäminen itsestään johtaa tyhjään joukkoon :

A\setminus A=\varnothing .

Tyhjän joukon ominaisuudet suhteessa eroon:

\varnothing \setminus A=\varnothing ;

A\setminus \varnothing =A.

Kahden sarjan ero sisältyy minuendiin:

A\setmiinus B\osajoukko A.

$A\kuppi (B\setminus A)=A\kuppi B$ . Tästä kaavasta seuraa, että erooperaatio ei ole summaoperaation (eli liiton) käänteisfunktio.
$A\setminus B=A\setminus (A\cap B).$
Ero ei leikkaa aliosan kanssa:

A\cap (B\setminus A)=\varnothing .

Joukkoero on yhtä suuri kuin tyhjä joukko, jos ja vain, jos minuend sisältyy aliosaan:

A\setminus B=\varnothing \Leftrightarrow A\subset B.

De Morganin lait joukkoalgebrassa on muotoiltu seuraavasti:

A\setminus (B\cap C)=(A\setminus B)\cup (A\setminus C);

A\setminus (B\cup C)=(A\setminus B)\cap (A\setminus C).

$(A\cup B)\setminus C=(A\setminus C)\cup (B\setminus C);$
$A\setminus (B\setminus C)=(A\setminus B)\cup (A\cap C);$
$A\setminus (B\cup C)=(A\setminus B)\setminus C;$
$(B\setminus A)\cap C=(B\cap C)\setminus A=B\cap (C\setminus A);$
$(B\setminus A)\cup C=(B\cup C)\setminus A$ jos . $C\cap A=\varnothing$
Jos ja sitten $A\alajoukko B$ $C\alajoukko D$ $(A\setminus D)\osajoukko (B\setminus C);$
Jos , niin mille tahansa . Tällä suhteella on analoginsa aritmetiikassa : jos , niin mille tahansa . $A\alajoukko B$ $C$ $(C\setminus B)\osajoukko (C\setminus A)$ $a\leqslant b$ $c$ $(cb)\leqslant (ca)$

Tietokonetoteutukset

Mathematica - paketissa toiminto on toteutettu funktiolla Complement . MATLAB - paketissa se on myös toteutettu funktiolla setdiff.

Pascal- ohjelmointikielessä (samoin kuin sen objektipäätteessä Object Pascal ) joukkoerooperaatiota edustaa operaattori "−", jonka molemmat operandit ja tulos ovat tyypin arvoja . set

Python-ohjelmointikielessä toiminto on toteutettu diff-menetelmällä tyyppiset objektille.

Aseta täydennys

Määritelmä

Jos kontekstista seuraa, että kaikki tarkasteltavat joukot ovat jonkin kiinteän universumin osajoukkoja , niin summausoperaatio määritellään: $X$

A^{\complement }=X\setminus A\equiv \{x\in X\mid x\not \in A\}.

Ominaisuudet

Komplementtioperaatio on unaarinen Boolen operaatio . $2^{X}$
Täydennä lakeja: [1]

$A\cup A^{\complement }=X;$
$A\cap A^{\complement }=\varnothing .$

Erityisesti, jos molemmat ja eivät ole tyhjiä , on osio .

A

A^{\täydentää }

\{A,\;A^{\complement }\}

X

$X^{\complement }=\varnothing ;$
$\varnothing ^{\complement }=X;$
$(A\osajoukko B)\nuoli vasemmalle oikealle (B^{\complement }\subset A^{\complement }).$

Komplementtioperaatio on involuutio :

(A^{\complement })^{\complement }=A.

De Morganin lait :

$(A\cup B)^{\complement }=A^{\complement }\cap B^{\complement };$
$(A\cap B)^{\complement }=A^{\complement }\cup B^{\complement }.$

Aseta erolakeja:

$A\setminus B=A\cap B^{\complement };$
$(A\setminus B)^{\complement }=A^{\complement }\cup B.$

Koodaus

grafeemi	Nimi	Unicode	HTML	LaTeX
∁	TÄYDENTÄÄ	U+2201	∁	\complement

Katso myös

Toiminnot sarjoissa

Kirjallisuus

Lavrov I. A. , Maksimova L. L. Joukkoteorian, matemaattisen logiikan ja algoritmien teorian ongelmat. - M .: Fizmatlit, 2004. - 256 s.
Kuratovsky K. , Mostovsky A. Joukkoteoria/Per. englannista. M. I. Lyhyesti, toim. A.D. Taimanova. -M.: Mir, 1970. - S. 16, 20-22.

Muistiinpanot

↑ Iljin V.A. , Sadovnichiy V.A. , Sendov Bl. H. . Luku 2. Reaaliluvut // Matemaattinen analyysi / Toim. A. N. Tikhonova . - 3. painos , tarkistettu ja ylimääräistä - M. : Prospekt, 2006. - T. 1. - S. 66. - 672 s. — ISBN 5-482-00445-7 .

Johdannaisia latinalaisesta kirjaimesta C, c
Kirjaimet	Çç Ç̌ç̌ Ç̇ç̇ Ćć Ĉĉ Ċċ Čč Č̓č̓ č̣̓ Ƈƈ Ȼȼ Ḉḉ ɕ ʗ ʗ̃ ʗ̬ 𝼏 ᴄ Ꜿꜿ Ꞓꞓ Ꞔꞔ 𝼝 Ↄↄ / C̀c̀ C̆c̆ C̨̆c̨̆ c̑ ç̑ C̓c̓ C̈c̈ C̄c̄ C̃c̃ Čič C̱c̱ C̣c̣ C̦c̦ Č̣č̣ Č̈č̈ c̋c̋ c̟ ʨ
Symbolit	₵ ₡ ¢ ℂ 𝔠 © 🄯 ¶•⸿ ∁ 𝄡 𝇐 ℃ ₠ ₢ 𝄊 Ⓒⓒ ⒞