Heijastava tila

Refleksiivinen avaruus on Banach-avaruus (yleisemmässä tapauksessa paikallisesti kupera avaruus ) , joka sopii yhteen sen toisen duaalin kanssa kanonisesti upotettuna . $X$ $X^{{**}}$

Refleksiiviset Banach-välit

Olkoon Banach-avaruus kompleksilukujen kentän päällä [1] , ja on avaruus dual to , eli kaikkien jatkuvien lineaaristen funktioiden joukko normin kanssa $X$ ${{\mathbb C}}$ $X^{*}$ $X$ $f:X\to {\mathbb {C} }$

$||f||=\sup _{{||x||\leq 1}}|f(x)|$ .

Toinen kaksoisavaruus määritellään avaruuteen, joka on kaksoistila . Kiinteänä kartoitus on lineaarinen jatkuva funktio , eli tilan elementti . Siksi kartoitus , , on määritelty . Jos se on Banach-avaruuden isomorfismi , niin Banach-avaruuden sanotaan olevan refleksiivinen . Riittävä ehto tälle on kartoituksen surjektiivisuus eli ehto . $X^{{**}}$ $X^{*}$ $x\in X$ $f\in X^{*}\mapsto f(x)\in {\mathbb {C} }$ $X^{*}$ $X^{{**}}$ $J_{X}:X\-X^{{**}}$ $J_{X}(x)(f)=f(x)$ $x\in X$ $f\in X^{*}$ $X$ $J_{X}:X\-X^{{**}}$ $J_{X}(X)=X^{{**}}$

Esimerkkejä

Välit ja , ovat refleksiivisiä, $\ell _{p}$ $L_{p}(a,b)$ $1<p<\infty$
Tilat eivät ole refleksiivisiä. $Ohjaamo]$ $L_{1}[a,b],L_{\infty [a,b]$

Ominaisuudet

Tila on refleksiivinen silloin ja vain, jos se on refleksiivinen. $X$ $X^{*}$
Välilyönti X on refleksiivinen silloin ja vain, jos tämän tilan yksikköpallo on heikosti kompakti .
Refleksiivinen tila on heikosti täydellinen . Päinvastoin ei pidä paikkaansa, heikosti täydellisiä ei-refleksiivisiä tiloja on esimerkiksi . $L_{1}$
Refleksiivisen tilan suljettu aliavaruus on refleksiivinen.

Refleksiiviset paikallisesti kuperaavaruudet

Reflexiivisuuden käsite ulottuu luonnollisesti paikallisesti kuperaan tilaan .

Kaikille paikallisesti konveksille avaruudelle , merkitään jatkuvien lineaaristen funktionaalisten funktioiden avaruudella, joilla on vahva topologia , eli tasaisen konvergenssin topologia rajoitetuissa joukoissa . Avaruutta kutsutaan avaruuden kaksoisavaruudeksi . Kuten Banachin tapauksessa, toinen kaksoisvälilyönti määritellään välilyönniksi duaaliksi . Kaava , määrittelee avaruuden luonnollisen kartoituksen toiseen kaksoisavaruuteen . $X$ $X^{*}$ $X$ $\beta (X', X)$ $X$ $X^{*}$ $X$ $X^{{**}}$ $X^{*}$ $J_{X}(x)(f)=f(x)$ $x\in X$ $f\in X^{*}$ $X$ $X^{{**}}$

Jos kartoitus on lokaalikonveksiavaruuksien isomorfismi , niin avaruutta kutsutaan refleksiiviseksi paikallisesti konveksiavaruudeksi . $J_{X}:X\-X^{{**}}$ $X$

Esimerkkejä:

Erityistapauksessa, kun avaruus on Banach, sen refleksiivisyys Banach-avaruudena vastaa sen refleksiivisuutta paikallisesti kuperaa avaruutta. $X$
Tasaisten toimintojen tila tasaisella jakoputkella on refleksiivinen. ${{\mathcal C}}^{\infty }(M)$ $M$
Holomorfisten funktioiden avaruus monimutkaisessa analyyttisessä monimutkaisessa joukossa on refleksiivinen. ${{\mathcal O}} (M)$ $M$

Stereotyyppiset tilat ja muut refleksiivisuuden yleistykset

Kaikkien funktionaalisessa analyysissä käytettävien lokaalikonveksien avaruuksien joukossa (myös kaikkien Banach-avaruuksien joukossa) refleksiivisten tilojen luokka on liian kapea muodostaakseen omavaraisen luokan millään tavalla. Tämän käsitteen heijastama kaksinaisuuden ajatus herättää kuitenkin intuitiivisia odotuksia, että sopivat muutokset refleksiivisuuden määritelmään voivat johtaa toiseen käsitteeseen, joka on kätevämpi matematiikan sisäisiin tarkoituksiin. Yhtenä tällaisena tavoitteena voidaan pitää ajatusta analyysin tuomisesta lähemmäksi matematiikan muita osia, kuten algebraa ja geometriaa , muotoilemalla analyysin tulokset uudelleen luokkateorian puhtaasti algebrallisella kielellä .

Tämä ohjelma on kehitetty stereotypiaavaruuksien teoriassa , joka määritellään paikallisesti kupera-avaruuksiksi , jotka täyttävät samanlaisen refleksiivisyysehdon, mutta avaruuden määritelmässä on tasaisen konvergenssin topologia täysin rajatuissa joukoissa ( rajattujen joukkojen sijaan ) . Toisin kuin klassisissa refleksiivisissä tiloissa, stereotyyppisten tilojen luokka Ste on melko laaja (sisältää erityisesti kaikki Fréchet-avaruudet ja siten kaikki Banach-avaruudet ), se muodostaa suljetun monoidiluokan ja sallii standardioperaatioita (määritelty Ste :ssä ) . uusien avaruuksien rakentamiseen, kuten suljetun aliavaruuden ottaminen, erotettava osamääräavaruus, projektiiviset ja injektiiviset rajat, operaattoriavaruudet, tensoritulot jne. Kategorialla Ste on sovelluksia ei-kommutatiivisten ryhmien duaalisuusteoriassa. $X^{*}$

Samoin voidaan korvata kaksoisavaruuden määritelmässä rajattujen (ja täysin rajattujen) osajoukkojen luokka muilla osajoukkojen luokilla, esimerkiksi kompaktien osajoukkojen luokka - vastaavan refleksiivisyysehdon määrittelemiä avaruuksia kutsutaan reflektiivisiksi [ 2] [3] , ja ne muodostavat vielä laajemman luokan kuin Ste , mutta ei tiedetä (2012), muodostaako tämä luokka luokan, jonka ominaisuudet ovat lähellä Ste :n ominaisuuksia . $X$ $X^{*}$ $X$

Kirjallisuus

Shefer H. Topologiset vektoriavaruudet. M.: Mir, 1971.
Dunford N., Schwartz J., Lineaariset operaattorit, osa 1 – Yleinen teoria, käänn. Englannista, M., 1982;
Yosida K., Funktionaalinen analyysi, käänn. Englannista, M., 1967;
Kantorovich L. V. , Akilov G. P. , Funktionaalinen analyysi, 1. painos, M., 1977.
Trenogin V. A. Funktionaalinen analyysi. - M .: Nauka , 1980 . — 495 s.
Funktionaalinen analyysi / toimittaja S. G. Kerin . — 2., tarkistettu ja täydennetty. - M .: Nauka , 1972 . — 544 s. — (Matemaattinen viitekirjasto).

Peach A. Ydin paikallisesti kuperaavaruutta. - M .: Mir , 1967 .

Muistiinpanot

↑ ...tai reaalilukukentän yli samanlaisella määritelmällä. $\mathbb {R}$
↑ Garibay Bonales, F.; Trigos-Arrieta, FJ, Vera Mendoza, R. Pontryagin-van Kampenin kaksinaisuuden karakterisointi paikallisesti kuperaavaruutta varten // Topologia ja sen sovellukset : päiväkirja. - 2002. - Voi. 121 . - s. 75-89 .
↑ Akbarov, SS; Shavgulidze, ET Kahdesta tilaluokista, jotka ovat refleksiivisiä Pontryaginin (englanniksi) merkityksessä // Mat. Sbornik: päiväkirja. - 2003. - Voi. 194 , nro. 10 . - s. 3-26 .