Lich Grid
Lich - hila on tietyntyyppinen hila 24-ulotteisessa avaruudessa .
Rakennukset
Rakentaminen Golay-koodin avulla
Leach-hila voidaan määrittää käyttämällä Golay-koodia , jonka tyyppi on kuva vektorijoukosta , joka
on pakattu sellaisella kertoimella![{\mathcal {C}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7b3edab7022ca9e2976651bc59c489513ee9019)
![[24,12,8]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a5346c89f3c9e9c7beba1655a3fba8122150193)
![2{\sqrt {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7e70f0d473d5c0f14cd3c10c139f51295788fb5)
![(a_{1},\pisteet ,a_{{24}})\in \mathbb{Z } ^{{24}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bec028e3a98e1a78c0fd047a078e22786818c662)
ja jokaiselle modulo 4 -jäännöksen luokalle j binääri 24-bittinen sana v, jonka antaa
kuuluu .
![{\mathcal {C}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7b3edab7022ca9e2976651bc59c489513ee9019)
Rakentaminen pseudoeuklidisen allekirjoitusavaruuden kautta (25,1)
Leach-hila voidaan rakentaa käyttämällä pseudoeuklidista allekirjoitusavaruutta (25.1). Tässä avaruudessa tarkastellaan nimittäin parillista unimodulaarista hilaa , joka koostuu vektoreista , joiden kaikki koordinaatit ovat samanaikaisesti kokonaislukuja tai samanaikaisesti puolikokonaislukuja, ja tässä tapauksessa , eli skalaaritulo kaikkien yksiköiden vektorilla on parillinen.
![{\displaystyle \mathrm {II} _{25,1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e8c69aca1fd38980c23e95f667524b8a05ea91e)
![(x_{0},\pisteet ,x_{{25}})](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b46fa92e58ed79eed072d07bebca975ba7f13fc8)
![x_{0}+\pisteet +x_{{24}}-x_{{25}}\in 2\mathbb{Z }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/435c225176fe6edcb5640091f2545851761f2af1)
Isotrooppinen vektori kuuluu tällaiseen hilaan . Huomaa, että isotropiasta johtuen voimme siksi tarkastella osamääräavaruutta . Skalaaritulon rajoitus tähän osamääräavaruuteen (jälleen isotropian vuoksi ) on hyvin määritelty ja osoittautuu positiiviseksi definiitiksi. Alkuperäisen hilan ja ortogonaalisen komplementin leikkauskuva tällaisessa tekijöissä on Leach-hila tuloksena olevassa 24-ulotteisessa euklidisessa avaruudessa [1] .
![u=(0,1,\pisteet ,24,70)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ded80b8727ad67289404081962f699a397b2b1ee)
![\langle u\rangle ^{{\perp }}/\langle u\rangle](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88ee3d8d726b2783b21ec6e06fad45c66fd54003)
![u](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3e6bb763d22c20916ed4f0bb6bd49d7470cffd8)
![(\langle u\rangle ^{{\perp }}\cap {\mathrm {II}}_{{25,1}})/\langle u\rangle](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d7eabbf4efcc2a5f6cc84cc4c5000f0b25ffa68)
Ominaisuudet
- Leach-hilan automorfismiryhmä on Conway-ryhmä Co 0 . Se sisältää joitain satunnaisia ryhmiä , mukaan lukien Co 1 Co 0 : n tekijäryhmänä avaruuden inversion perusteella, Co 2 ja Co 3 alaryhminä. Conway-ryhmän kertaluku on 8 315 553 613 086 720 000. Vaikka Leach-hilan rotaatiosymmetria on erittäin korkea, sen automorfismiryhmä ei sisällä heijastuksia; toisin sanoen Leach-hila on kiraalinen .
Katso myös
Kirjallisuus
- J. Conway, N. Sloan . Pallojen, ristikoiden ja ryhmien pakkaukset. - M.: Mir, 1990.
Muistiinpanot
- ↑ JH Conway, NJA Sloane. Luku 26, Lause 3(b) // Pallopakkaukset, hilat ja ryhmät (englanniksi) . - s. 524.
- ↑ 1 2 "Pallien ja pallomaisten koodien yhteystiedot" Arkistokopio 14. lokakuuta 2008 Wayback Machinessa - elokuva sarjasta " Mathematical Etudes "
- ↑ 1 2 Weisstein, Eric W. Leech Lattice (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
- ↑ V. V. Uspenskyn kurssin huomautus The Lich Lattice, or Towards the Monster Arkistokopio 7. helmikuuta 2009 Wayback Machinessa
- ↑ Lisa Grossman. Uusi matemaattinen todistus osoittaa, kuinka pinota appelsiineja 24-ulotteiseksi // New Scientist . - 2016 - 28. maaliskuuta.