Lich Grid

Lich - hila on tietyntyyppinen hila 24-ulotteisessa avaruudessa .

Rakennukset

Rakentaminen Golay-koodin avulla

Leach-hila voidaan määrittää käyttämällä Golay-koodia , jonka tyyppi on kuva vektorijoukosta , joka on pakattu sellaisella kertoimella ${\mathcal {C}}$ $[24,12,8]$ $2{\sqrt {2}}$ $(a_{1},\pisteet ,a_{{24}})\in \mathbb{Z } ^{{24}}$

a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{{24}}\equiv 4a_{1}\equiv 4a_{2}\equiv \cdots \equiv 4a_{{24}}{\pmod {8}}

ja jokaiselle modulo 4 -jäännöksen luokalle j binääri 24-bittinen sana v, jonka antaa

v_{i}={\begin{cases}1,&a_{i}\equiv j{\pmod {4)),\\0,&a_{i}\not \equiv j{\pmod {4} },\end{cases}}

kuuluu . ${\mathcal {C}}$

Rakentaminen pseudoeuklidisen allekirjoitusavaruuden kautta (25,1)

Leach-hila voidaan rakentaa käyttämällä pseudoeuklidista allekirjoitusavaruutta (25.1). Tässä avaruudessa tarkastellaan nimittäin parillista unimodulaarista hilaa , joka koostuu vektoreista , joiden kaikki koordinaatit ovat samanaikaisesti kokonaislukuja tai samanaikaisesti puolikokonaislukuja, ja tässä tapauksessa , eli skalaaritulo kaikkien yksiköiden vektorilla on parillinen. $\mathrm {II} _{25,1}$ $(x_{0},\pisteet ,x_{{25}})$ $x_{0}+\pisteet +x_{{24}}-x_{{25}}\in 2\mathbb{Z }$

Isotrooppinen vektori kuuluu tällaiseen hilaan . Huomaa, että isotropiasta johtuen voimme siksi tarkastella osamääräavaruutta . Skalaaritulon rajoitus tähän osamääräavaruuteen (jälleen isotropian vuoksi ) on hyvin määritelty ja osoittautuu positiiviseksi definiitiksi. Alkuperäisen hilan ja ortogonaalisen komplementin leikkauskuva tällaisessa tekijöissä on Leach-hila tuloksena olevassa 24-ulotteisessa euklidisessa avaruudessa [1] . $u=(0,1,\pisteet ,24,70)$ $u\in \langle u\rangle ^{{\perp ))$ $\langle u\rangle ^{{\perp }}/\langle u\rangle$ $u$ $(\langle u\rangle ^{{\perp }}\cap {\mathrm {II}}_{{25,1}})/\langle u\rangle$

Ominaisuudet

Leach-hila on tasainen itsedual (erityisesti unimodulaarinen ) hila, jonka lyhimmän vektorin pituus on 2.

Leach-hila toteuttaa suurimman mahdollisen [2] [3] yhteyshenkilön numeron dimensiossa 24. Sen yhteysnumero on [2] [3] 196560

Leech-hila toteuttaa tiheimmän [4] [5] pallojen pakkauksen dimensiossa 24. Leech-hilan pakkaustiheys on . ${\tfrac {\pi ^{12}}{12!}}\noin 0,001930$

Leach-hilan automorfismiryhmä on Conway-ryhmä Co 0 . Se sisältää joitain satunnaisia ryhmiä , mukaan lukien Co 1 Co 0 : n tekijäryhmänä avaruuden inversion perusteella, Co 2 ja Co 3 alaryhminä. Conway-ryhmän kertaluku on 8 315 553 613 086 720 000. Vaikka Leach-hilan rotaatiosymmetria on erittäin korkea, sen automorfismiryhmä ei sisällä heijastuksia; toisin sanoen Leach-hila on kiraalinen .

Katso myös

Säleikkö E8

Kirjallisuus

J. Conway, N. Sloan . Pallojen, ristikoiden ja ryhmien pakkaukset. - M.: Mir, 1990.

Muistiinpanot

↑ JH Conway, NJA Sloane. Luku 26, Lause 3(b) // Pallopakkaukset, hilat ja ryhmät (englanniksi) . - s. 524.
↑ 1 2 "Pallien ja pallomaisten koodien yhteystiedot" Arkistokopio 14. lokakuuta 2008 Wayback Machinessa - elokuva sarjasta " Mathematical Etudes "
↑ 1 2 Weisstein, Eric W. Leech Lattice (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
↑ V. V. Uspenskyn kurssin huomautus The Lich Lattice, or Towards the Monster Arkistokopio 7. helmikuuta 2009 Wayback Machinessa
↑ Lisa Grossman. Uusi matemaattinen todistus osoittaa, kuinka pinota appelsiineja 24-ulotteiseksi // New Scientist . - 2016 - 28. maaliskuuta.