Eräänlainen lajike

Lajikkeen suku on homomorfismi suljettujen lajikkeiden kobordismirenkaasta joksikin renkaaksi , yleensä rationaalisten lukujen renkaaksi .

Määritelmä

Suku φ valitsee jokaiselle lajikkeelle X alkion φ( X ) jostakin renkaasta K niin, että

φ( X ∪ Y ) = φ( X ) + φ( Y ) (jossa ∪ on hajanainen liitto )
φ( X × Y ) = φ( X )φ( Y )
φ( X ) = 0, jos X on kobordantti nollan kanssa.

Tässä tapauksessa tarkasteltavat jakoputket voidaan varustaa lisärakenteella, esimerkiksi suuntauksella tai spinorirakenteella.

Rengas K on yleensä rationaalilukujen kenttä, mutta myös modulaaristen muotojen rengas otetaan huomioon . $\mathbb{Z } _{2}$

φ:n ehdot voidaan muotoilla uudelleen sanomalla, että φ on monisarjojen kobordismirenkaan homomorfismi (rakenne huomioiden) toiseksi renkaaksi.

Muodollisen tehosarjan suku

Polynomien K 1 , K 2 ,... jonoa muuttujissa p 1 , p 2 ... kertovaksi jos

1+p_{1}z+p_{2}z^{2}+\ldots =(1+q_{1}z+q_{2}z^{2}+\ldots )(1+r_ {1}z+r_{2}z^{2}+\ldots )

pitäisi

\sum _{i}K_{i}(p_{1},p_{2},\ldots )z^{i}=\sum _{j}K_{j}(q_{1},q_ {2},\ldots )z^{j}\cdot \sum _{k}K_{k}(r_{1},r_{2},\ldots )z^{k}.

Jos Q(z) on formaalinen potenssisarja z : ssä leikkauspisteen 1 kanssa, voimme määritellä kertovia sekvenssejä

K(p_{1},p_{2},p_{3},\ldots )=1+K_{1}(p_{1})+K_{2}(p_{1},p_{2 })+\ldots

Miten

K(p_{1},p_{2},p_{3},\ldots )=Q(z_{1})Q(z_{2})Q(z_{3})\ldots ,

missä p k on k :s alkeissymmetrinen funktio tuntemattomien kanssa . $z_{i}$

Potenssisarjaa Q vastaavien suunnattujen jakoputkien suku φ määritellään seuraavasti

\Phi (X)=K(p_{1},p_{2},p_{3},\cdots )

missä p k on X : n k : s Pontryagin - luokka . Tässä tapauksessa potenssisarjaa Q kutsutaan suvun φ ominaissarjaksi .

Esimerkkejä

L-suku ja allekirjoitus

L-suku määräytyy ominaissarjan mukaan

{{\sqrt {z}} \over \operatorname {th} ({\sqrt {z}})}=\sum _{k\geqslant 0}{2^{2k}B_{2k}z^ {k} \over (2k)!}=1+{z \over 3}-{z^{2} \over 45}+\lds

missä ovat Bernoullin luvut . Ensimmäiset arvot: $B_{{2k}}$

$L_{0}=1$
$L_{1}={\tfrac {1}{3}}p_{1}$
$L_{2}={\tfrac {1}{45}}(7p_{2}-p_{1}^{2})$
$L_{3}={\tfrac {1}{945}}(62p_{3}-13p_{1}p_{2}+2p_{1}^{3})$
$L_{4}={\tfrac {1}{14175}}(381p_{4}-71p_{1}p_{3}-19p_{2}^{2}+22p_{1}^{2} p_{2}-3p_{1}^{4})$ [1] [2]

Jos M on suljettu tasasuuntainen monisto, jonka ulottuvuus on 4n Pontryagin - luokilla , niin L-suvun arvo perusluokassa on yhtä suuri kuin allekirjoitus , eli $p_{i}=p_{i}(M)$ ${\näyttötyyli [M]}$ $\sigma (M)$

\sigma (M)=L_{n}([M])

John Milnor käytti sitä tosiasiaa, että L 2 on aina kokonaisluku sileille jakotulleille osoittaessaan paloittain lineaarisen 8-ulotteisen jakotukin olemassaolon ilman sileää rakennetta.

Â-suku

Â-suku määräytyy ominaissarjan mukaan

Q(z)={{\sqrt {z}}/2 \over \operatorname {sh} ({\sqrt {z}}/2)}=1-z/24+7z^{2}/ 5760-\ldots .

Ensimmäiset arvot

${\hat {A}}_{0}=1$
${\hat {A}}_{1}=-{\tfrac {1}{24}}p_{1}$
${\hat {A}}_{2}={\tfrac {1}{5760}}(-4p_{2}+7p_{1}^{2})$
${\hat {A}}_{3}={\tfrac {1}{967680}}(-16p_{3}+44p_{2}p_{1}-31p_{1}^{3})$
${\hat {A}}_{4}={\tfrac {1}{464486400}}(-192p_{4}+512p_{3}p_{1}+208p_{2}^{2}- 904p_{2}p_{1}^{2}+381p_{1}^{4})$

Ominaisuudet

Spinorisarjan Â-suku on kokonaisluku,
- Mittasuhteiltaan olevan spinorimoniston Â-suku on parillinen kokonaisluku. $4{\pmod {8}}$
Spinorisarjan Â-suku on yhtä suuri kuin Dirac-operaattorin indeksi .
Jos kompakti spinorisarja sallii positiivisen skalaarikaarevuuden mittarin , sen Â-suku on nolla.

Katso myös

Atiyah-Singerin indeksilause

Muistiinpanot

↑ McTague, Carl (2014) "Computing Hirzebruch L-Polynomials" Arkistoitu 5. maaliskuuta 2016 Wayback Machineen .
↑ OEIS - sekvenssi A237111 . _

Linkit

Friedrich Hirzebruch Topologiset menetelmät algebrallisessa geometriassa ISBN 3-540-58663-6
Friedrich Hirzebruch, Thomas Berger, Rainer Jung Jakoputket ja modulaariset lomakkeet ISBN 3-528-06414-5
Milnor, Stasheff, tunnusomaiset luokat , ISBN 0-691-08122-0
A. F. Kharshiladze (2001), "Pontryagin-luokka" (linkki ei saatavilla) , Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Hazewinkel, Michiel, toim. (2001), "Elliptic gena" (linkki ei saatavilla) , Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4