Hellyn perhe

Helly-perhe kertaluvun k on joukko joukkoja , joiden ominaisuus on, että missä tahansa vähimmäisalaperheessä , jossa on tyhjä leikkauspiste, on k tai vähemmän joukkoa. Vastaavasti kaikilla äärellisillä alaperheillä, joilla on ominaisuus, että mikä tahansa k joukon leikkauspiste on ei-tyhjä, on ei-tyhjä yhteinen leikkauspiste [1] .

Perheen k sanotaan olevan Helle , jos se on Helly-perhe luokan k [2] . Konsepti on nimetty matemaatikko Edward Hellyn (1884-1943) mukaan. Hellyn lause konvekseista joukoista , joka sai aikaan käsitteen käyttöönoton, sanoo, että konveksit joukot euklidisessa avaruudessa, jonka ulottuvuus on n , ovat Hellyn perhettä, jonka kertaluku on n  + 1 [1] . Luku k jätetään usein pois, kun keskustellaan tapauksesta k  = 2.

Esimerkkejä

Muodollinen määritelmä

Muodollisesti k - kertainen Helly-perhe on joukkojen perhe ( F ,  E ), missä F on joukko E :n osajoukkoja , joilla on ominaisuus, että mille tahansa äärelliselle joukolle G ⊆ F ,

voimme löytää sellaisen joukon H ⊆ G , että

ja

[yksi]

Joissakin tapauksissa samaa määritelmää harkitaan kaikille G :n alikokoelmille , olettamatta äärellisyyttä. Tällainen määritelmä on kuitenkin vahvempi rajoittava määritelmä. Esimerkiksi reaaliakselin avoimet aikavälit täyttävät Helly-ominaisuuden äärellisille alikokoelmille, mutta eivät äärettömille - intervalleilla (0,1/ i ) (jos i = 1, 2, 3, ...) on pareittainen ei -tyhjä leikkauspiste, mutta kaikkien tällaisten välien leikkauspiste tyhjä.

Helly-ulottuvuus

Jos joukkojen perhe on Helly-perhe kertaluvun k , niin perheellä sanotaan olevan Helly-luku k . Metrinen avaruuden Helly-ulottuvuus on yksi pienempi kuin tämän tilan metripalloperheen Helly-luku. Hellyn lauseesta seuraa, että euklidisen avaruuden Helly-ulottuvuus on yhtä suuri kuin sen dimensio todellisena vektoriavaruutena [4] .

Euklidisen avaruuden osajoukon S Helly-ulottuvuus , kuten monitahoinen, on yhden pienempi kuin rinnakkaisten käännösten perheen Helly-luku S [5] . Esimerkiksi minkä tahansa hyperkuution Helly-ulottuvuus on 1, vaikka tällainen kuvio olisi erittäin korkeaulotteisessa euklidisessa avaruudessa [6] .

Helly-ulottuvuus koskee myös muita matemaattisia objekteja. Esimerkiksi Domokos [7] määrittelee ryhmän Helly-ulottuvuuden ( algebrallinen rakenne, joka muodostuu käännettävästä ja assosiatiivisesta kaksipaikkaisesta operaatiosta) yhtä pienemmäksi kuin ryhmän vasen kosettien perheen Helly-ulottuvuus [8] .

Helly-ominaisuus

Jos ei-tyhjien joukkojen perheessä on tyhjä leikkauspiste, sen Helly-luvun on oltava vähintään kaksi, joten pienin k , jonka tapaus ei ole triviaali, on 2. 2-Helly-ominaisuus tunnetaan myös nimellä Helly-ominaisuus . 2-Hell-perhe tunnetaan Helvetin perheenä [1] [2] .

Metrinen avaruus , jossa suljetut pallot ovat 2-Hell (eli avaruus, jonka Helly-ulottuvuus on 1), kutsutaan injektiiviseksi tai hyperkuperaksi [9] . Tiheän kuoren olemassaolo mahdollistaa minkä tahansa metrisen avaruuden upottamisen tilaan, jonka ulottuvuus on Helly [10] .

Muistiinpanot

  1. ↑ 1 2 3 4 Bollobás, 1986 , s. 82.
  2. ↑ 1 2 3 Duchet, 1995 , s. 381-432.
  3. ↑ Tämä on Hellyn lauseen yksiulotteinen tapaus. Tämän todistuksen ydin, mukaan lukien värikkäät lauseet nukkuvista opiskelijoista, katso Savchevin ja Andreescun artikkeli (Savchev , Andreescu 2003 , s. 104–106).
  4. ↑ Martini, 1997 , s. 92–93.
  5. ↑ Bezdek, 2010 , s. 27.
  6. ↑ Sz.-Nagy, 1954 , s. 169-177.
  7. ↑ Domokos, 2007 .
  8. ↑ Domokos, 2007 , s. 49–63.
  9. ↑ M.&E. Deza, 2012 , s. 19.
  10. ↑ Isbell, 1964 , s. 65–76.

Kirjallisuus