Hermanin symboliikka - Mogen

Hermann–Mogen-symboleja käytetään edustamaan pisteryhmien (samalla Schoenflies-symbolien ), tasoryhmien ja avaruusryhmien symmetriaa. Niitä ehdotti saksalainen kristallografi Carl Hermann vuonna 1928, ja ranskalainen mineralogi Charles Victor Mauguin muutti niitä vuonna 1931. Kutsutaan myös kansainvälisiksi symboleiksi, koska niitä on käytetty kansainvälisissä kristallografiataulukoissa [1] niiden ensimmäisestä painoksesta vuonna 1935. Ennen tätä piste- ja tilaryhmien osoittamiseen käytettiin yleensä Schoenflies-symboleja .

Sisältö

Kristallografisten pisteryhmien merkintä

Herman-Mogen-symboli tarkoittaa symmetrisesti ei-ekvivalentteja symmetriaelementtejä. Pyörivät symmetria-akselit on merkitty arabialaisilla numeroilla - 1, 2, 3, 4 ja 6. Käänteisakselit on merkitty arabialaisilla numeroilla, joiden yläosassa on viiva - 1 , 3 , 4 ja 6 . Tässä tapauksessa akseli 2 , joka on yksinkertaisesti symmetriataso, on merkitty symbolilla m (englanniksi peili - peili). Tason suunta on siihen nähden kohtisuorassa oleva suunta (eli 2 -akseli ). Peiliakseleita ei käytetä kansainvälisissä symboleissa.

Elementin suunta koordinaattiakseleiden suhteen saadaan elementin sijainnista ryhmäsymbolissa. Jos symmetria-akselin suunta on kohtisuorassa tason suuntaan, ne kirjoitetaan samaan paikkaan murtolukuna. Jos inversioakselilla on suurempi symmetria-arvo (toistokyky) kuin sen kanssa yhtenevällä pyörimisakselilla, se ilmoitetaan symbolissa (eli ne eivät kirjoita , vaan 6 ; jos ryhmässä on inversiokeskus, ei 3, mutta 3 ). $\väri {musta}{\tfrac {3}{m}}$

Alin luokka on pisteryhmät, joissa minkä tahansa akselin maksimijärjestys (kierto tai väärä kierto) on kaksi. Se sisältää ryhmät 1, 1 , 2, m, , 222, mm2 ja . Jos ryhmäsymbolissa on kolme paikkaa, niin $\väri {musta}{\tfrac {2}{m}}$ $\color {musta}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$

1. asemassa - suunta X-akselia pitkin

2. asemassa - suunta Y-akselia pitkin

3. asemassa - suunta Z-akselia pitkin

Mukautetussa asetuksessa mm2-ryhmä voidaan kirjoittaa muodossa m2m tai 2mm. Vastaavasti ryhmät 2, m ja voidaan kirjoittaa tarkemmin - osoittaen mitä koordinaattiakselia pitkin toisen kertaluvun akselin ja/tai tason suunta kulkee. Esimerkiksi 11m, 1m1 tai m11. Tällä symbolismin ominaisuudella kuvataan yksiselitteisesti avaruusryhmiä, joilla on erilainen koordinaattijärjestelmä, koska avaruusryhmien symbolit on johdettu niitä vastaavien pisteryhmien symboleista. $\väri {musta}{\tfrac {2}{m}}$

Keskiluokka - pisteryhmät, joissa on yksi järjestysakseli kahden yläpuolella (korkein järjestysakseli). Tässä on huomattava, että kristallografia käyttää kristallografista koordinaattijärjestelmää, joka liittyy kiteen symmetriaan. Tässä järjestelmässä akselit valitsevat kiteen erityiset suunnat (suunnat, joita pitkin symmetria- tai translaatioakselit kulkevat). Siksi yhden 3. tai 6. kertaluvun akselin läsnä ollessa X- ja Y-suuntien välinen kulma on 120° eikä 90°, kuten tavallisessa suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä .

1. asemassa - pääakselin suunta, eli Z-akseli

2. asennossa - sivusuunta. Eli suunta X-akselia pitkin ja vastaava Y-akseli

3. asemassa - diagonaalinen suunta symmetrisesti vastaavien sivusuuntien välillä

Tämä luokka sisältää ryhmät 3, 4, 6, 3 , 4 , 6 , 32, 422, 622, 3m, 4mm, 6mm, 3 , 4 2m, 6 m2, , , ja . $\väri {musta}{\tfrac {2}{m}}$ $\väri {musta}{\tfrac {4}{m}}$ $\väri {musta}{\tfrac {6}{m}}$ $\color {musta}{\tfrac {4}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$ $\color {musta}{\tfrac {6}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$

Koska 3-akseli ja siihen kohtisuorassa oleva taso vastaavat 6 -akselia , niin = 6 ja m2 = 6 m2, mutta on suositeltavaa käyttää merkintää käänteisellä akselilla 6 , koska sen symmetria on suurempi kuin 3:n symmetria. Ryhmät 4 2m ja 6 m2 voidaan kirjoittaa 4 m2 ja 6 2m. Yllä oli venäjänkielisessä kirjallisuudessa käyttöön otettuja nimityksiä. Symbolien 2 ja m järjestys näissä ryhmissä tulee tärkeäksi kuvattaessa niistä johdettuja avaruusryhmiä, koska toisessa asemassa oleva elementti on suunnattu Bravais-solun akselia pitkin ja kolmannessa asemassa oleva elementti on suunnattu solun diagonaalia pitkin. kasvot. Esimerkiksi symbolit P 4 2m ja P 4 m2 edustavat kahta eri tilaryhmää. Ryhmä 32 voidaan myös kirjoittaa 2-akselin eri suuntauksille tarkemmin 321 tai 312. Samoin eri orientaatiot johtavat kahteen eri tilaryhmään P321 ja P312. Sama koskee ryhmiä 3m (vaihtoehtoiset merkinnät 3m1 ja 31m) ja 3 (vaihtoehtoiset merkinnät 3 1 ja 3 1 ). $\väri {musta}{\tfrac {3}{m}}$ $\väri {musta}{\tfrac {3}{m}}$ $\väri {musta}{\tfrac {2}{m}}$ $\väri {musta}{\tfrac {2}{m}}$ $\väri {musta}{\tfrac {2}{m}}$

Korkein luokka ovat pisteryhmät, joissa on useita korkeamman asteen akseleita.

1. paikassa - vastaavat suunnat X, Y, Z

2. asemassa - läsnä aina neljä akselia 3 tai 3

3. asemassa - koordinaattiakselien välinen diagonaalisuunta

Tähän kategoriaan kuuluu viisi ryhmää - 23, 432, 3 , 4 3m ja 3 $\väri {musta}{\tfrac {2}{m}}$ $\väri {musta}{\tfrac {4}{m}}$ $\väri {musta}{\tfrac {2}{m}}$

Kansainväliset symbolit yksinkertaistetaan yleensä korvaamalla ne m :llä, jos n -akselin muodostavat muut symbolissa esitetyt symmetriaelementit. Et voi poistaa vain pääakselin nimitystä keskiluokasta. Esimerkiksi ne kirjoittavat mmm, mm ja 3 m 3 m. $\väri {musta}{\tfrac {n}{m}}$ $\color {musta}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$ $\color {musta}{\tfrac {4}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$ $\väri {musta}{\tfrac {4}{m}}$ $\väri {musta}{\tfrac {4}{m}}$ $\väri {musta}{\tfrac {2}{m}}$

Pisteryhmien merkintä

Ryhmät, joissa on yksi korkeampi akseli, kirjoitetaan samoilla periaatteilla kuin keskiluokan kristallografiset ryhmät. Ne voidaan luetella seuraavassa taulukossa.

Schoenflies	HM symboli	3	neljä	5	6	7	kahdeksan	9	kymmenen	yksitoista	12	13	neljätoista	...	$\infty$
$C_{{n}}$	$n$	3	neljä	5	6	7	kahdeksan	9	kymmenen	yksitoista	12	13	neljätoista	...	$\infty$
$C_{nv}$	$n$ m	3 m		5 m		7 m		9m		11 m		13 m			$\infty$ m
$C_{nv}$	$n$ mm		4 mm		6 mm		8 mm		10 mm		12 mm		14 mm		$\infty$ m
$S_{2n}$	$\bar{n}$	3		5		7		9		yksitoista		13			$\tfrac{\infty}{m}$
$S_{n}$			neljä				kahdeksan				12
$C_{\tfrac{n}{2}h}$					6				kymmenen				neljätoista
$C_{nh}$	${\tfrac {n}{m))$		$\tfrac{4}{m}$		$\tfrac{6}{m}$		$\tfrac{8}{m}$		$\tfrac{10}{m}$		$\tfrac{12}{m}$		$\tfrac{14}{m}$
$D_{n}$	$n$ 2	3 2		5 2		7 2		9 2		11 2		13 2			$\infty$ 2
$D_{n}$	$n$ 22		4 22		6 22		8 22		10 22		12 22		14 22		$\infty$ 2
$D_{nd}$	$\bar{n}\tfrac{2}{m}$	3 $\tfrac{2}{m}$		5 $\tfrac{2}{m}$		7 $\tfrac{2}{m}$		9 $\tfrac{2}{m}$		yksitoista $\tfrac{2}{m}$		13 $\tfrac{2}{m}$			$\tfrac{\infty}{m}m$
$D_{\tfrac{n}{2}d}$	$\bar{n}2m=$ $=\bar{n}m2$		42 m_				8 2m				12 2m
$D_{\tfrac{n}{2}h}$	$\bar{n}2m=$ $=\bar{n}m2$				6 m2				10 m2				14 m2
$D_{nh}$	$\tfrac{n}{m}\tfrac{2}{m}\tfrac{2}{m}$		$\tfrac{4}{m}\tfrac{2}{m}\tfrac{2}{m}$		$\tfrac{6}{m}\tfrac{2}{m}\tfrac{2}{m}$		$\tfrac{8}{m}\tfrac{2}{m}\tfrac{2}{m}$		$\tfrac{10}{m}\tfrac{2}{m}\tfrac{2}{m}$		$\tfrac{12}{m}\tfrac{2}{m}\tfrac{2}{m}$		$\tfrac{14}{m}\tfrac{2}{m}\tfrac{2}{m}$

Lopullisista ei-kristallografisista ryhmistä on jäljellä vain kaksi ryhmää, jotka sisältävät useita korkeamman asteen akseleita. Tämä on ikosaedrin symmetriaryhmä ja sen alaryhmä on ikosaedrin aksiaalinen symmetriaryhmä (kuuden 5. asteen akselin, kymmenen 3. asteen akselin ja 15 2. kertaluvun akselin yhdistelmä). Koska Hermann-Moguinin symboliikka oli alun perin tarkoitettu vain kristallografisille ryhmille, näiden ryhmien symbolit ovat melko mielivaltaisia ja ne on rakennettu kuten korkeimman luokan kristallografisten ryhmien symbolit. Myöskään näille ryhmille ei ole standardoitua koordinaattijärjestelmän asetusta (ja kansainvälinen symboli riippuu siitä). Alla on useita merkkivaihtoehtoja.

[2] 3 5 (lyhennetty m 3 5 ) ja 235. $\väri {musta}{\tfrac {2}{m}}$

[3] [4] 5 (lyhennetty m 5 ) ja 25 - analogisesti symbolien 3 (lyhennettynä m 3 ) ja 23 kanssa. $\väri {musta}{\tfrac {2}{m}}$ $\väri {musta}{\tfrac {2}{m}}$

[5] m 5 m ja 532 - analogisesti symbolien m 3 m ja 432 kanssa.

[6] 5 3 (lyhennettynä 5 3 m) ja 532 - analogisesti symbolien 3 ja 432 kanssa. $\väri {musta}{\tfrac {2}{m}}$ $\väri {musta}{\tfrac {4}{m}}$ $\väri {musta}{\tfrac {2}{m}}$

[7] 5 3m ja 53.

Käytännössä näitä ryhmiä käytetään yleensä Schoenflies- symboleilla I h ja I.

Viittä ryhmää taulukosta c kutsutaan rajaryhmiksi [8] tai Curie -ryhmiksi . Näihin sisältyy kaksi muuta ryhmää, joita ei ole esitetty taulukossa. Tämä on ryhmä kaikkia mahdollisia pyörityksiä kaikkien pisteen läpi kulkevien akselien ympäri - kiertojen ryhmä sekä ryhmä , joka kuvaa pallon symmetriaa - suurin mahdollinen pistesymmetria kolmiulotteisessa avaruudessa; kaikki pisteryhmät ovat ryhmän alaryhmiä . Jälleen, kuten ikosaedrin symmetriaryhmissä, näille ryhmille on useita merkintöjä ( ja , ja ). Matematiikassa ja teoreettisessa fysiikassa niitä merkitään yleensä SO(3) ja O(3) ( erityinen ortogonaalinen ryhmä kolmiulotteisessa avaruudessa ja ortogonaalinen ryhmä kolmiulotteisessa avaruudessa). $n=\infty$ $\infty \infty$ $\color{Musta}\tfrac{\infty}{m}\infty$ $\color{Musta}\tfrac{\infty}{m}\infty$ $2\infty$ $m\bar{\infty}$ $\infty \infty$ $\infty \infty m$

Tilaryhmän merkintä

Avaruusryhmän Hermann-Mogen-symboli on rakennettu samojen periaatteiden mukaan kuin kristallografinen pisteryhmän symboli, ja solun keskityksen tyyppi lisätään symbolin alkuun. Seuraavat keskitystyypit ovat mahdollisia

P - primitiivinen
I - kehokeskeinen (lisäsolmu solun keskellä).
F - kasvokeskeinen (lisäsolmut kaikkien kasvojen keskuksissa).
C, A tai B - kantakeskeinen (lisäsolmu kasvojen C, A tai B keskellä). Soluja A ja B kutsutaan myös sivukeskeisiksi.
R - kaksinkertaisesti vartalokeskeinen (kaksi lisäsolmua solun suurella diagonaalilla).

Peilitasot on merkitty samalla tavalla kuin pisteryhmissä - symbolilla m . Liukuvat heijastustasot on merkitty liukusuunnan mukaan suhteessa kidekennon akseleihin. Jos liukuminen tapahtuu jollain akselilla, taso ilmaistaan vastaavalla latinalaisella kirjaimella a , b tai c . Tässä tapauksessa lipsahdus on aina yhtä suuri kuin puolet käännöksestä. Jos liukuma on suunnattu kasvojen tai solun avaruudellista diagonaalia pitkin, tasoa merkitään kirjaimella n , jos poikkeama on puolet lävistäjästä, tai d :llä, jos liukuma on yhtä suuri kuin neljäsosa lävistäjästä (tämä on mahdollista vain, jos lävistäjä on keskitetty). N- ja d - tasoja kutsutaan myös kiilatasoiksi . d -tasoja kutsutaan joskus timanttitasoiksi, koska ne ovat läsnä timantin rakenteessa (englanniksi timantti - timantti).

Nikolai Vasiljevitš Belov ehdotti myös merkinnän r käyttöön ottamista tasoille, joilla on liukuminen avaruuden diagonaalia pitkin romboederisessä solussa. Kuitenkin r taso osuu aina yhteen tavallisten peilitasojen kanssa, eikä termi ole tarttunut kiinni. Viidessä avaruusryhmässä on tasoja, joissa liukumista tapahtuu sekä solun yhtä akselia että toista akselia pitkin (eli taso on sekä a että b tai a ja c tai b ja c ). Tämä johtuu kasvojen keskittämisestä samansuuntaisesti liukutason kanssa. Vuonna 1992 tällaisille koneille otettiin käyttöön symboli e . [9]

Ryhmän numero	39	41	64	67	68
vanha symboli	Abm2	Aba2	cmca	cmma	ccca
Uusi symboli	Aem2	Aea2	cmce	cmme	Cce

Tavalliset n :nnen kertaluvun pyörivät akselit on merkitty samalla tavalla kuin pisteryhmissä - arabialaisella numerolla n . Ruuviakselit on merkitty vastaavan pyörivän akselin numerolla indeksillä, joka kuvaa siirron määrää akselia pitkin samanaikaisen pyörityksen aikana. Mahdolliset kierteiset akselit 3D-tapauksessa: 2 1 (käännä 180° ja siirrä 1/2 siirtoa), 3 1 (käännä 120° ja siirrä 1/3 siirtoa), 3 2 (käännä 120° ja siirrä 2/3 siirtoa), 4 1 (käännä 90° ja siirrä 1/4 käännöstä), 4 2 (käännä 90° ja siirrä 1/2 käännöstä), 4 3 (käännä 90° ja siirrä 3/4 käännöksiä), 6 1 , 6 2 , 6 3 , 6 4 , 6 5 (käännä 60° ja siirrä vastaavasti 1/6, 2/6, 3/6, 4/6 ja 5/6). Akselit 3 2 , 4 3 , 6 4 ja 6 5 ovat enantiomorfisia akseleille 3 1 , 4 1 , 6 2 ja 6 1 vastaavasti. Näiden akselien ansiosta avaruusryhmiä on 11 enantiomorfista paria - jokaisessa parissa yksi ryhmä on peilikuva toisesta.

P4 1	P4 1 22	P4 1 2 1 2	P3 1	P3 1 12	P3 1 21	P6 1	P6 2	P6 1 22	P6 2 22	P4 1 32
P4 3	P4 3 22	P4 3 2 1 2	P3 2	P3 2 12	P3 2 21	P6 5	P64 _	P6 5 22	P6 4 22	P4 3 32

Välilyöntiryhmän asettaminen ja Bravais-solun valinta

Herman-Mogen-symboli riippuu avaruusryhmän asetuksesta, eli siitä, kuinka symmetriaelementit (akselit, tasot, translaatiot) on suunnattu suhteessa valittuun koordinaattijärjestelmään. Tämä on erityisen tärkeää avaruusryhmien tapauksessa, kun koordinaattijärjestelmä eli Bravais-solun valinta vaikuttaa vilkkuvan heijastustason ( a, b, c, n, d ) nimeämiseen ja solun tyyppiin. keskitys. Ryhmissä, joissa yksi suunta eroaa kahdesta muusta (esim. pisteryhmät 3, 4, 6, mm2, 3m 4mm, 6mm, 32, 422, 622 ja niistä johdetut avaruusryhmät), valitaan tämä erikoissuunta. Z -akseli ( Bravais-solun vektori c ). Tärkeä poikkeus ovat monokliiniset syngoniaryhmät (pisteryhmät 2, m, 2/m ja niistä johdetut avaruusryhmät), joissa tämä tietty suunta on valittu Y -akseliksi ( Bravais-solun vektori b ). Syy tähän on puhtaasti historiallinen ja peräisin mineralogiasta. Kuten Belov kirjoittaa , "klassinen kristallografi ja ennen kaikkea mineralogi tietää hyvin, että kiteen venymä, johon hän epäröimättä yhdistää pystyakselin Z , ei useimmissa tapauksissa ole sama kuin monokliinisen erikoissuunnan kristalli , jolle morfologi tarjoaa toisen akselin Y. [10] Näin ollen näiden ryhmien laajennetut kansainväliset merkit olisivat seuraavat.

Ryhmän numero	3	neljä	5	6	7	kahdeksan	9	kymmenen	yksitoista	12	13	neljätoista	viisitoista
Symboli	P2	P2 1	C2	pm	PC	cm	CC	P2/m	P2 1 /m	C2/m	P2/c	P21 / c	C2/c
Laajennettu symboli	P121	P12 1 1	C121	P1m1	P1c1	C1m1	C1c1	P1 1 $\väri {musta}{\tfrac {2}{m}}$	P1 1 $\color{Black}\tfrac{2_{1}}{m}$	C1 1 $\väri {musta}{\tfrac {2}{m}}$	P1 1 $\color{Black}\tfrac{2}{c}$	P1 1 $\color{Black}\tfrac{2_{1}}{c}$	C1 1 $\color{Black}\tfrac{2}{c}$

Vakioasetuksessa liukutaso monokliinisessä järjestelmässä ei voi olla b , koska liukusuunta ei voi olla kohtisuorassa itse tasoon nähden. Myöskään solun keskitys ei voi olla B, koska tässä tapauksessa voisi mennä primitiiviseen soluun, jonka tilavuus on puolet ja sama symmetria.

Katso myös

Muistiinpanot

↑ (Kansainväliset taulukot) Kotisivu . Haettu 20. marraskuuta 2011. Arkistoitu alkuperäisestä 28. marraskuuta 2011. (määrätön)
↑ Wiley Online Library: IUCR ITL Access Denied (linkki ei saatavilla) . Haettu 20. marraskuuta 2011. Arkistoitu alkuperäisestä 4. heinäkuuta 2013. (määrätön)
↑ P. M. Zorkiy. Molekyylien ja kiderakenteiden symmetria, Moskovan valtionyliopisto, 1986, s. 42.
↑ Pisteryhmien perheet . Haettu 20. marraskuuta 2011. Arkistoitu alkuperäisestä 15. huhtikuuta 2012. (määrätön)
↑ B. K. Weinstein, V. M. Fridkin, V. L. Indenbom. Nykyaikainen kristallografia. Osa 1. M.: Nauka, 1979, s. 97.
↑ Pisteryhmät kolmessa ulottuvuudessa
↑ A. V. Shubnikov. Äärillisten hahmojen symmetria ja antisymmetria, Neuvostoliiton tiedeakatemian kustantamo, 1951
↑ Rajapisteryhmät . Haettu 21. marraskuuta 2011. Arkistoitu alkuperäisestä 23. helmikuuta 2008. (määrätön)
↑ PM de Wolff, Y. Billiet, J. D. H. Donnay, W. Fischer, R. B. Galiulin, A. M. Glazer, Th. Hahn, M. Senechal, D. P. Shoemaker, H. Wondratschek, A. J. C. Wilson ja S. C. Abrahams, 1992, Acta Cryst., A48, 727-732.
↑ N. V. Belov, G. P. Litvinskaya, Alempien järjestelmien kiteiden asennuksesta. — Kirjassa: Problems of Crystallology. M.: Moskovan valtionyliopiston kustantamo, 1976. s. 13-14

Kirjallisuus

Pisteryhmät

P. M. Zorkiy. Molekyylien ja kiderakenteiden symmetria. M.: Publishing House of Moscow State University, 1986 (saatavilla verkossa http://www.chem.msu.su/rus/teaching/zorkii2/welcome.html )
Yu. K. Egorov-Tismenko, G. P. Litvinskaja. Kiteiden symmetriateoria. Moskova: Kustantaja GEOS, 2000 (saatavilla verkossa http://geo.web.ru/db/msg.html?mid=1163834 )
Yu.K. Egorov-Tismenko, G.P. Litvinskaya, Yu.G. Zagalskaya. Kristallografia. M.: Moskovan valtionyliopiston kustantamo, 1992
Yu. G. Zagalskaya, G. P. Litvinskaya. Geometrinen kristallografia. M.: Moskovan valtionyliopiston kustantamo, 1973

Tilaryhmät

Yu. K. Egorov-Tismenko, G. P. Litvinskaja. Kiteiden symmetriateoria. Moskova: Kustantaja GEOS, 2000 (saatavilla verkossa http://geo.web.ru/db/msg.html?mid=1163834 )
Yu. G. Zagalskaya, G. P. Litvinskaya. Geometrinen mikrokristallografia. M.: Moskovan valtionyliopiston kustantamo, 1976
N. V. Belov. Hieno menetelmä avaruussymmetriaryhmien johtamiseen. Neuvostoliiton tiedeakatemian kristallografian instituutin julkaisut. 1951. Nro 6. S. 25-62.
N. V. Belov. Esseitä rakennekristallografiasta ja Fedorovin symmetriaryhmistä. M.: Tiede. 1986.