Symmetrinen ero

Kahden joukon symmetrinen ero on joukkoteoreettinen operaatio, jonka tuloksena syntyy uusi joukko, joka sisältää kaikki alkuperäisten joukkojen alkiot, jotka eivät samanaikaisesti kuulu kumpaankin alkuperäiseen joukkoon. Toisin sanoen, jos on kaksi joukkoa ja , niiden symmetrinen ero on sellaisten elementtien liitto, jotka eivät ole sisällä elementtien kanssa, jotka eivät ole . Kirjoituksessa merkintätapaa käytetään merkitsemään joukkojen symmetristä eroa ja , merkintää tai [1] käytetään harvemmin . $A$ $B$ $A$ $B$ $B$ $A$ $A$ $B$ $A\bigtriangleup B$ $A\,{\piste {-}}\,B$ $A+B$

Määritelmä

Symmetrinen ero voidaan syöttää kahdella tavalla:

kahden annetun joukon symmetrinen ero ja on sellainen joukko , joka sisältää kaikki ne ensimmäisen joukon elementit, jotka eivät sisälly toiseen joukkoon, sekä ne toisen joukon elementit, jotka eivät sisälly ensimmäiseen joukkoon: $A$ $B$ $A\bigtriangleup B$

A\bigtriangleup B=\left(A\setminus B\right)\cup \left(B\setminus A\right).

kahden tietyn joukon symmetrinen ero ja on sellainen joukko , joka sisältää kaikki ne kummankin joukon elementit, jotka eivät ole yhteisiä kahdelle annetulle joukolle. $A$ $B$ $A\bigtriangleup B$

A\bigtriangleup B=\left(A\cup B\right)\setminus \left(A\cap B\right).

Symmetrisen eron käsite voidaan yleistää useampaan kuin kahteen joukkoon .

Ominaisuudet

Symmetrinen ero on binäärioperaatio millä tahansa Boolen arvolla ;
Symmetrinen ero on kommutatiivinen :

A\bigtriangleup B=B\,\kolmio \,A;

Symmetrinen ero on assosiatiivinen :

\left(A\isokolmio B\oikea)\,\kolmio \,C=A\isokolmio \vasen(B\,\kolmio \,C\oikea);

Joukkojen leikkauspiste on distributiivinen suhteessa symmetriseen eroon:

A\cap \left(B\bigtriangleup C\right)=\left(A\cap B\right)\bigtriangleup \left(A\cap C\right);

Tyhjä joukko on symmetrisen eron neutraali elementti :

A\bigtriangleup \varnothing =A;

Mikä tahansa joukko on käänteinen itselleen suhteessa symmetriseen erooperaatioon:

A\bigtriangleup A=\varnothing ;

Erityisesti Boolen symmetrinen erooperaatio on Abelin ryhmä ;
Boolen symmetrinen erooperaatio on myös vektoriavaruus kentän päällä $\mathbb {Z} _{2}.$
Erityisesti Boolen, jossa on asetettu leikkauspiste ja symmetriset erooperaatiot, on algebra, jonka yksikkö on .
$\left(A_{1}\cap A_{2}\right)\bigtriangleup \left(B_{1}\cap B_{2}\right)\subset \left(A_{1}\bigtriangleup B_{ 1}\oikea)\kuppi \vasen(A_{2}\isokolmio B_{2}\oikea);$
$\vasen(A_{1}\kuppi A_{2}\oikea)\isokolmio \vasen(B_{1}\kuppi B_{2}\oikea)\alajoukko \vasen(A_{1}\isokolmio B_{ 1}\oikea)\kuppi \vasen(A_{2}\isokolmio B_{2}\oikea);$
$\left(A_{1}\setminus A_{2}\right)\bigtriangleup \left(B_{1}\setminus B_{2}\right)\subset \left(A_{1}\bigtriangleup B_{ 1}\oikea)\kuppi \vasen(A_{2}\isokolmio B_{2}\oikea);$

Jos "summan" roolia toimii symmetrisen eron toiminta ja "tuotteen" roolia joukkojen leikkaus, joukot muodostavat renkaan, jossa on yhtenäisyys . Lisäksi niiden kautta voidaan ilmaista muita joukkoteorian perusoperaatioita, eroa ja liittoa: