Yksinkertainen volyymi

Yksinkertainen tilavuus on topologinen invariantti , joka on määritelty suljetuille jakotukille . Gromov harkitsi ensin . Jakotukin yksinkertainen tilavuus on yleensä merkitty . $M$ $\|M\|$

Määritelmä

Olkoon sitten suljettu jakoputkisto $M$

\|M\|=\inf \sum _{i}|r_{i}|

,

missä ovat rationaaliset kertoimet sen perusluokan esityksessä singulaaristen yksinkertaisuksien summana. $r_{i}$ ${\näyttötyyli [M]}$

[M]=\sum _{i}r_{i}\Delta _{i}.

Ominaisuudet

Gromovin lause: Jatkuvan negatiivisen kaarevuuden omaavan moniston yksinkertainen tilavuus on yhtä suuri kuin sen tilavuuden suhde säännöllisen äärettömän simpleksin tilavuuteen saman kaarevuuden omaavassa Lobatševskin avaruudessa.
- Lisäksi asfäärisen (ja jopa rationaalisesti olennaisen ) moniston, jossa on hyperbolinen perusryhmä , yksinkertainen tilavuus on positiivinen. [yksi]

Kaikille jakotukille ja samalle mittasuhteelle $M$ $N$ $\|M\#N\|=\|M\|+\|N\|$ ,

jossa tarkoittaa yhdistettyä summaa .

\#

On olemassa positiivisia lukuja ja sellaisia, että jos mittojen summa on , Sitten $a(m)$ $b(m)$ $\dim M+\dim N\leqslant m$ $a(m)\cdot \|M\|\cdot \|N\|\leqslant \|M\times N\|\leqslant b(m)\cdot \|M\|\cdot \|N\ |$ ,

missä tarkoittaa suoraa tuotetta .

\ajat

Kaikille näytöille $f\colon M\to N$ $\|M\|\geqslant |\deg f|\cdot \|N\|,$

missä tarkoittaa näytön astetta . Erityisesti:

\deg f

f

Jos monisto hyväksyy astekartoituksen , niin . $M$ $M\to M$ $>1$ $\|M\|=0$
Jokaiselle yksinkertaiselle -ulotteisen pallon tilavuudelle on . $n\geqslant 1$ $n$ $0$

Besson-Courtois-Halo-lause. [2] Seuraava epäyhtälö $n!\cdot \mathop {\rm {vol)) M>\|M\|$

pätee mielivaltaiselle suljetulle Riemannin avaruudelle , jonka Ricci-kaarevuus on vähintään .

n

M

-{\tfrac {1}{n-1))

Muistiinpanot

↑ Seuraus 5.3, Löh, Clara. Yksinkertainen määrä (englanniksi) // Bulletin of the Manifold Atlas. - 2011. Arkistoitu 25. helmikuuta 2021.
↑ Théorème D, G. Besson, G. Courtois, S. Gallot. Volume et entropie minimale des espaces localementsymétriques // Invent. Math.. - 1991. - V. 103 , No. 2 . - S. 417-445 .

Kirjallisuus

Prasolov , Viktor Vasilievich Homologiateorian elementit . - MTSNMO, 2006. - 448 s. — (Matematiikan klassiset suuntaukset).