Luettelo kristallografisista ryhmistä

Kristallografiset ryhmät tai Fedorov- ryhmät - joukkojotka kuvaavat kaikki mahdolliset symmetriat äärettömälle määrälle jaksollisesti sijaitsevia pisteitä kolmiulotteisessa avaruudessa. Tämän symmetrioiden luokituksen tekivät itsenäisesti ja lähes samanaikaisesti venäläinen matemaatikko Fedorov ja saksalainen matemaatikko Schoenflies . Saadulla tiedolla on tärkeä rooli kristallografiassa .

Selite luetteloon

Hermanin symboli on Mogen

Välilyöntiryhmän symboli sisältää Bravais-hilasymbolin (iso kirjain P, A, B, C, I, R tai F) ja kansainvälisen pisteryhmän symbolin. Tässä tapauksessa symbolin akselien ja symmetriatasojen symbolit voivat muuttua kierteisten akselien ja liukutasojen symboleiksi sen mukaan, ovatko ne tässä tietyssä kidetilassa. Bravais-hilan symbolit ilmaisevat sen keskitystyypin:

P - primitiivinen;
I - kehokeskeinen (lisäsolmu solun keskellä);
F - kasvokeskeinen (lisäsolmut kaikkien kasvojen keskuksissa).
C, A tai B - kantakeskeinen (lisäsolmu kasvojen C, A tai B keskellä). Tyyppien A ja B hiloja kutsutaan myös sivukeskeisiksi;
R - kaksinkertaisesti vartalokeskeinen (kaksi lisäsolmua solun suurella diagonaalilla).

Luokat

Kristallografisten luokkien ( pisteryhmien ) osoittamiseksi hyväksytään seuraavat nimitykset (tässä kirjain n korvaa luonnollisen luvun ja kirjain m tarkoittaa itse kirjainta m ):

$n$ on n :nnen kertaluvun symmetria-akseli .
$\bar{n}$ on n :nnen kertaluvun inversion symmetria-akseli .
$m$ on symmetriataso.
$nm$ tai - n :nnen kertaluvun symmetria-akseli ja sitä pitkin kulkeva n symmetriatasoa. $mm$
${\frac {n}{m))$ on n kertaluvun symmetria-akseli ja sitä vastaan kohtisuorassa oleva symmetriataso.
$n2$ on n: n kertaluvun symmetria- akseli ja siihen nähden kohtisuorassa toisen kertaluvun n akselia .
$n/mmm$ - n :nnen kertaluvun symmetria-akseli ja sen kanssa yhdensuuntaiset ja kohtisuorat tasot.
${\bar {n}}m2$ tai ( n - parillinen) - n :nnen kertaluvun käänteissymmetria-akseli, sitä pitkin kulkevat symmetriatasot ja toisen kertaluvun akselit, kohtisuorassa sitä vastaan. ${\bar {n}}2m$ ${\tfrac {n}{2))$ ${\tfrac {n}{2))$
${\bar {n}}m$ ( n - pariton) - n :nnen asteen symmetria-akseli, n symmetriatasoa kulkee sitä pitkin ja n toisen asteen akselia, kohtisuorassa sitä vastaan.

Schoenfliesin symboli

C n - sykliset ryhmät - ryhmät, joilla on yksi erityinen suunta, joita edustaa pyörimissymmetria-akseli - on merkitty kirjaimella C , jonka alaindeksi n vastaa tämän akselin järjestystä.

Kun ni - ryhmiä, joissa on yksi käänteinen symmetria-akseli, liittyy alaindeksi i.
C nv (saksasta vertikal - pystysuora) - sillä on myös symmetriataso, joka sijaitsee pitkin ainoaa tai pääakselia symmetriaa, jota pidetään aina pystysuorana.
C nh (saksan sanasta horisontaalinen - vaaka) - sillä on myös symmetriataso, joka on kohtisuorassa pääsymmetria-akseliin nähden.

S 2 , S 4 , S 6 (saksasta spiegel - peili) - ryhmät, joissa on yksi peilisymmetria-akseli.

C s - tasolle, jolla on epämääräinen suunta, eli se ei ole kiinteä, koska ryhmässä ei ole muita symmetriaelementtejä.

D n - on C n -ryhmä , jossa on n toisen asteen symmetria-akselia, kohtisuorassa alkuperäiseen akseliin nähden.

D nh - sillä on myös vaakasuora symmetriataso.
D nd (saksasta diagonaali - diagonaali) - sisältää myös pystysuorat diagonaaliset symmetriatasot, jotka kulkevat toisen asteen symmetria-akselien välissä.

O, T - symmetriaryhmät, joissa on useita korkeamman asteen akseleita - kuutioisen syngonian ryhmät. Ne merkitään kirjaimella O, jos ne sisältävät oktaedrin koko symmetria-akselijoukon, tai kirjaimella T, jos ne sisältävät tetraedrin koko symmetria-akseleiden joukon.

O h ja T h - sisältävät myös vaakasuuntaisen symmetriatason
T d - sisältävät myös diagonaalisen symmetriatason

n voi olla 1, 2, 3, 4, 6.

Luettelo kaikista 230 ryhmästä

Määrä	Luokka	Ryhmien lukumäärä	Herman-Mogenin symboli	Schoenflies-symboli	Kuva
triclinic järjestelmä
yksi	$yksi$	yksi	$P1$	$C_{1}$
2	${\bar {1}}$	yksi	$P{\bar {1}}$	$C_{i}$
Monoklininen järjestelmä
3-5	$2$	3	$P2$ $P2_{1}$ $C2$	$C_{2}$	Ulkoisesti ihmisellä on symmetriaa. ${\displaystyle C_{s))$
6-9	$m$	neljä	$pm$ $PC$ $cm$ $Cc$	${\displaystyle C_{s))$
10-15	$2/m$	6	$P2/m$ $P2_{1}/m$ $C2/m$ $P2/c$ $P2_{1}/c$ $C2/c$	${\displaystyle C_{2h))$
Rombinen järjestelmä
16-24	$222$	9	$P222$ $P222_{1}$ $P2_{1}2_{1}2$ $P2_{1}2_{1}2_{1}$ $C222_{1}$ $C222$ $F222$ $I222$ $I2_{1}2_{1}2_{1}$	$D_{2}$	Kiskot ovat symmetriset. $C_{{2v}}$
25-46	$mm2$	22	$Pmm2$ ${\displaystyle Pmc2_{1))$ $PC2$ $Pma2$ ${\displaystyle Pca2_{1))$ $Pnc2$ ${\displaystyle Pmn2_{1))$ $Pba2$ $Pna2_{1}$ $Pnn2$ $Cmm2$ ${\displaystyle Cmc2_{1))$ $Ccc2$ $Amm2$ $Aem2$ $Ama2$ $Aea2$ $Fmm2$ $Fdd2$ $Imm2$ $Iba2$ $Ima2$	$C_{{2v}}$
47-74	$hmm$	28	$Pmmm$ $Pnnn$ $PCCM$ $Pban$ $Pma$ $Pnna$ $Pmna$ $PCca$ $Pbam$ $Pccn$ $Pbcm$ $Pnnm$ $Pmmn$ $Pbcn$ $Pbca$ $pnma$ $cmcm$ $cmce$ $Cmmm$ $Cccm$ $cmme$ $Ccce$ $Fmmm$ $Fddd$ $Immm$ $Ibam$ $Ibca$ $Imma$	${\näyttötyyli D_{2h))$
Tetragonaalinen järjestelmä
75-80	$neljä$	6	$P4$ $P4_{1}$ $P4_{2}$ $P4_{3}$ $I4$ $I4_{1}$	${\displaystyle C_{4))$	$C_{4}$ Symmetria.
81-82	${\bar {4}}$	2	$P{\bar {4))$ $I{\bar {4))$	$S_{4}$
83-88	$4/m$	6	$P4/m$ $P4_{2}/m$ $P4/n$ $P4_{2}/n$ $I4/m$ $I4_{1}/a$	${\displaystyle C_{4h))$
89-98	$422$	kymmenen	$P422$ $P42_{1}2$ $P4_{1}22$ $P4_{1}2_{1}2$ $P4_{2}22$ $P4_{2}2_{1}2$ $P4_{3}22$ $P4_{3}2_{1}2$ $I422$ $I4_{1}22$	${\näyttötyyli D_{4))$
99-110	$4 mm$	12	$P4mm$ $P4bm$ $P4_{2}cm$ $P4_{2}nm$ $P4cc$ $P4nc$ $P4_{2}mc$ $P4_{2}bc$ $I4mm$ $I4cm$ $I4_{1}md$ $I4_{1}cd$	${\displaystyle C_{4v))$
111-122	${\bar {4}}2m$	12	$P{\bar {4}}2m$ $P{\bar {4}}2c$ $P{\bar {4}}2_{1}m$ $P{\bar {4}}2_{1}c$ $P{\bar {4}}m2$ $P{\bar {4}}c2$ $P{\bar {4}}b2$ $P{\bar {4}}n2$ $I{\bar {4}}m2$ $I{\bar {4}}c2$ $I{\bar {4}}2m$ $I{\bar {4}}2p$	${\näyttötyyli D_{2d))$
123-142	$4/mm$	kaksikymmentä	$P4/mmm$ $P4/mcc$ $P4/nbm$ $P4/nnc$ $P4/mbm$ $P4/mnc$ $P4/nmm$ $P4/ncc$ $P4_{2}/mmc$ $P4_{2}/mcm$ $P4_{2}/nbc$ $P4_{2}/nnm$ $P4_{2}/mbc$ $P4_{2}/mnm$ $P4_{2}/nmc$ $P4_{2}/ncm$ $I4/mmm$ $I4/mcm$ $I4_{1}/amd$ $I4_{1}/acd$	${\näyttötyyli D_{4h))$	Zirkonin kidehilalla on symmetriaa. $I4_{1}/amd$
Trigonaalinen järjestelmä
143-146	$3$	neljä	$P3$ $P3_{1}$ $P3_{2}$ $R3$	$C_{{3}}$	Boratsaanimolekyylillä on symmetria . ${\displaystyle C_{3v))$
147-148	${\bar {3}}$	2	$P{\bar {3))$ $R{\bar {3))$	${\displaystyle C_{3i))$
149-155	$32$	7	$P312$ $P321$ $P3_{1}12$ $P3_{1}21$ $P3_{2}12$ $P3_{2}21$ $R32$	${\näyttötyyli D_{3))$
156-161	$3m$	6	$P3m1$ $P31m$ $P3c1$ $P31c$ $R3m$ $R3c$	${\displaystyle C_{3v))$
162-167	${\bar {3}} m$	6	$P{\bar {3}}1 m$ $P{\bar {3}}1c$ $P{\bar {3}}m1$ $P{\bar {3}}c1$ $R{\bar {3}}m$ $R{\bar {3}}c$	${\näyttötyyli D_{3d))$
Kuusikulmainen järjestelmä
168-173	$6$	6	$P6$ $P6_{1}$ $P6_{5}$ $P6_{2}$ ${\displaystyle P6_{4))$ $P6_{3}$	$C_{6}$	Hunajakennot ovat symmetrisiä. $C_{{6h}}$
174	${\bar {6}}$	yksi	$P{\bar {6}}$	${\displaystyle C_{3h))$
175-176	$6/m$	2	$P6/m$ $P6_{3}/m$	$C_{{6h}}$
177-182	$622$	6	$P622$ $P6_{1}22$ $P6_{5}22$ $P6_{2}22$ $P6_{4}22$ $P6_{3}22$	$D_{6}$	Nanoputkella voi olla symmetriaa. ${\näyttötyyli D_{6h))$
183-186	$6 mm$	neljä	$P6mm$ $P6cc$ $P6_{3}cm$ $P6_{3}mc$	$C_{6v}$
187-190	${\bar {6}} m2$	neljä	$P{\bar {6}}m2$ $P{\bar {6}}c2$ $P{\bar {6}}2m$ $P{\bar {6}}2c$	${\näyttötyyli D_{3h))$
191-194	$6/mm$	neljä	$P6/mmm$ $P6/mcc$ $P6_{3}/mcm$ $P6_{3}/mmc$	${\näyttötyyli D_{6h))$
Kuutiojärjestelmä
195-199	$23$	5	$P23$ $F23$ $I23$ $P2_{1}3$ $I2_{1}3$	$T$	Timantin rakenne on symmetrinen. $Fd{\bar {3}}m$
200-206	$m{\bar {3))$	7	$pm{\bar {3))$ $Pn{\bar {3}}$ $Fm{\bar {3))$ $Fd{\bar {3))$ $Im{\bar {3}}$ $Pa{\bar {3))$ $Ia{\bar {3))$	$T_{h}$
207-214	$432$	kahdeksan	$P432$ $P4_{2}32$ $F432$ $F4_{1}32$ $I432$ $P4_{3}32$ $P4_{1}32$ $I4_{1}32$	$O$
215-220	${\bar {4}}3 m$	6	$P{\bar {4}}3m$ $F{\bar {4}}3m$ $I{\bar {4}}3m$ $P{\bar {4}}3n$ $F{\bar {4}}3c$ $I{\bar {4}}3d$	${\näyttötyyli T_{d))$
221-230	$m{\bar {3}}m$	kymmenen	$pm{\bar {3}}m$ $Pn{\bar {3}}n$ $pm{\bar {3}}n$ $Pn{\bar {3}}m$ $Fm{\bar {3}}m$ $Fm{\bar {3}}c$ $Fd{\bar {3}}m$ $Fd{\bar {3}}c$ $Im{\bar {3}}m$ $Ia{\bar {3}}d$	$O_{h}$

Muissa mitoissa

Periodisilla rakenteilla yksiulotteisessa avaruudessa on vain kaksi symmetriatyyppiä. Niitä voidaan havainnollistaa merkkijonoilla:

... *- *- *- *- *- *- *- ... ... |^_^|^_^|^_^|^_^|^_^|^_^| ..

Ensimmäinen ääretön sekvenssi on symmetrinen vain translaation suhteen (kolmella symbolilla), toinen sekvenssi on myös symmetrinen heijastuksen suhteen.

Kaksiulotteisessa avaruudessa on 17 tyyppistä jaksollisten rakenteiden symmetriaa .

Satunnaisen n-ulotteisen avaruuden symmetriaryhmien lukumäärää kuvaa sekvenssi A006227 .

Myöhempi luokittelu

Ryhmät voidaan jakaa symorfisiin ja ei-symorfisiin. Symorfiset symmetriat ovat niitä, jotka voidaan muodostaa pyörittämällä akselien ympäri, sekä heijastamalla tasoista, jotka kaikki kulkevat yhden pisteen kautta. Symmorfiset avaruusryhmät sisältävät alaryhminä pistesymmetriaryhmiä, jotka vastaavat luokkaa, johon annettu avaruusryhmä kuuluu.

Kaikki 230 ryhmää voidaan jakaa 32 luokkaan. Jokaisella luokalla on symmetria, joka jättää vähintään yhden tilapisteen kiinteäksi. Elementtien lukumäärä luokissa vaihtelee 1 - 28.

Luokat voidaan jakaa järjestelmiin ( syngonioihin ). Syngonioita on 7. Jokaisella syngonialla on vähintään yksi rajaryhmä .

Katso myös

Kirjallisuus

Kansainväliset kristallografiataulukot. Osa A: Avaruusryhmän symmetria / Toimittaja MI Aroyo. - International Union of Crystallography, 2016. - ISBN 978-0-470-97423-0 .