Vapausasteet (todennäköisyysteoria)

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 16. lokakuuta 2019 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Vapausasteiden lukumäärä on lopputilastolaskennan arvojen lukumäärä, joka voi vaihdella. Toisin sanoen vapausasteiden lukumäärä osoittaa satunnaismuuttujien vektorin ulottuvuuden , "vapaiden" muuttujien määrän, joka tarvitaan vektorin täydelliseen määrittelemiseen.

Vapausasteiden lukumäärä ei voi olla vain luonnollinen luku , vaan myös mikä tahansa reaaliluku , vaikka standarditaulukot laskevatkin yleisimpien jakaumien p-arvon vain luonnolliselle vapausasteiden lukumäärälle.

Jakaumien vapausasteet

Chi-neliö

Jos satunnaismuuttujat ovat riippumattomia ja kaikilla on standardi normaalijakauma ( ), niin satunnaismuuttujalla , joka on kappalemäärän vakionormaalimuuttujien neliöiden summa , sanotaan olevan khin neliöjakauma vapausasteineen ( ): $Z_{1};\ldots ;Z_{n}$ $Z\sim {\mathcal {N}}(0;1)$ $X$ $n$ $n$ $\chi _{n}^{2}$

$X=\sum \limits _{{i=1}}^{n}Z_{i}^{2}\sim \chi _{n}^{2}$

Opiskelijan t - jakauma

Jos satunnaismuuttujalla on standardi normaalijakauma ( ), satunnaismuuttujalla on khin neliöjakauma vapausasteineen ( ) ja ja ovat riippumattomia (niiden korrelaatio on nolla), niin satunnaismuuttujalla on Studentin jakauma vapausasteineen ( ): $Z$ $Z\sim {\mathcal {N}}(0;1)$ $X$ $n$ $\chi _{n}^{2}$ $Z$ $X$ $T={\frac {Z}{{\sqrt {{\frac {X}{n}}}}}}$ $n$ $t_{n}$

$T={\frac {{\mathcal {N}}(0;1)}{{\sqrt {{\frac {\chi _{n}^{2}}{n}}}}}\sim t_ {n}$

Fisher-Snedecor-jakelu

Jos satunnaismuuttujalla on khin neliöjakauma vapausasteilla ja satunnaismuuttujalla on khin neliöjakauma vapausasteilla, niin satunnaismuuttujalla on Fisher - Snedekor-jakauma vapausasteilla ( ) : $X_{1}$ $n$ $X_{2}$ $m$ $F={\frac {X_{1}/n}{X_{2}/m}}$ $n$ $m$ $t_{n}$

$F={\frac {\chi _{n}^{2}/n}{\chi _{m}^{2}/m))\sim {\mathrm {F))_{{n;m} }$

Jos , niin . $m\rightarrow\infty$ $F_{{n;m}}={\frac {\chi _{n}^{2}/n}{\chi _{m}^{2}/m}}\rightarrow \chi _{n}^ {2}$
Jos neliöimme satunnaismuuttujan, jolla on Studentin jakauma vapausasteiden kanssa, niin sillä on Fisher-Snedekor-jakauma vapausasteiden kanssa : $m$ $yksi$ $m$

$(t_{m})^{2}=\left({\frac {{\mathcal {N))(0;1)}{{\sqrt ({\frac {\chi _{m}^{2} }{m))))))\right)^{2}={\frac ({\bigl (}{\mathcal {N))(0;1){\bigr )}^{2)){\ vasen({\sqrt {{\frac {\chi _{m}^{2}}{m))))\right)^{2}}}={\frac {\chi _{1}^{2 }}{\chi _{m}^{2}/m}}={\frac {\chi _{1}^{2}/1}{\chi _{m}^{2}/m}} \sim {\mathrm {F}}_{{1;m}}$

Todennäköisyysteoria

Antaa olla yksiulotteinen satunnaismuuttuja . Sitten seuraavat väitteet vapausasteiden lukumäärästä ovat totta : $X_{i}$

Satunnaismuuttuja jaetaan lain mukaan vapausasteilla (tässä tapauksessa usein otosvarianssin avulla ). $S^{2}={\frac {\sum \limits _{i}(X_{i}-{\bar X})^{2}}{n-1}}$ $\chi ^{2}$ $(n-1)$ $S^{2}$ ${\hattu \sigma }^{2}$
Yllä olevan merkinnän perusteella voidaan väittää, että satunnaismuuttujalla on Studentin jakauma vapausasteilla ( ) . ${\frac {X-{\bar X}}{{\sqrt {{\frac {S^{2}}{n}}}}}}$ $n-1$ ${\näyttötyyli t_{n-1))$
Satunnaismuuttuja jakautuu lain mukaan vapausasteilla. ${\frac {X-{\mathbb {E}}(X)}{{\sqrt {{\frac {{\hat \sigma }^{2}}{n}}}}}}$ $\chi ^{2}$ $n$
Satunnaismuuttuja jakautuu normaalin normaalilain mukaan ( ), jossa on satunnaismuuttujan todellinen varianssi . ${\frac {X-{\mathbb {E}}(X)}{{\sqrt {{\frac {\sigma _{X}^{2}}{n}}}}}}$ ${\mathcal {N}}(0;1)$ $\sigma _{X}^{2}$ $X$

Satunnaismuuttujan korvaaminen sen todellisella matemaattisella odotuksella antaa yhden vapausasteen lisäyksen seuraavasta syystä. Harkitse satunnaismuuttujaa . Seuraavaksi ,. Siksi on olemassa palasia riippuvaisia satunnaismuuttujia. Siksi suureet ovat riippumattomia, joten kaavassa, jossa on osoittaja, on yksi vapausaste vähemmän kuin kaavassa, jossa on todellinen matemaattinen odotus. ${\bar X}(X_{1};\ldots ;X_{n})$ $\xi _{k}=X_{k}-{\bar X}$ $\sum \limits _{{i=1}}^{n}\xi _{i}=\sum \limits _{{i=1}}^{n}(X_{i}-{\bar X} )=\sum \limits _{{i=1}}^{n}X_{i}-\sum \limits _{{i=1}}^{n}{\bar X}=n{\bar X }-n{\bar X}=0$ $n$ $n-1$ $\bar X$

Regressioanalyysi

Regressioanalyysissä pienimmän neliösumman menetelmää käyttäen havaintoja verrataan laskettuihin arvoihin (saatu regressioyhtälöstä). Jos on kaikkien havaintojen aritmeettinen keskiarvo, niin monimuuttujan Pythagoraan lauseen mukaisesti yhtälö tapahtuu: $Y_{i}$ ${\hattu Y}_{i}$ ${\bar Y}$

$\alleviivaus {\sum \limits _{i}(Y_{i}-{\bar Y})^{2}}_{{TSS}}=\alleviivaus {\sum \limits _{i}({\hattu Y}_{i}-{\bar Y})^{2}}_{{ESS}}+\alaviiva {\sum \limits _{i}(Y_{i}-{\hat Y})^{ 2}}_{{RSS}}$

Samaan aikaan (neliöiden kokonaissumma) jaetaan kuten vapausasteilla, (Estimated Sum of Squares; ei pidä sekoittaa virheeseen!) jaetaan kuin yhdellä vapausasteella, (jäännösneliöiden summa; ei saa olla sekoittaa regressioon!) jakautuu kuten vapausasteiden kanssa . $TSS$ $\chi ^{2}$ $(n-1)$ $ESS$ $\chi ^{2}$ $RSS$ $\chi ^{2}$ $(n-2)$