Alkuluvun potenssi

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 11. lokakuuta 2020 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 6 muokkausta .

Matematiikassa alkuluvun potenssi on positiiviseen kokonaislukupotenssiin korotettu alkuluku . _

Esimerkkejä

Luvut 5 = 5 1 , 9 = 3 2 ja 16 = 2 4 ovat alkupotenssit, kun taas 6 = 2 × 3, 15 = 3 × 5 ja 36 = 6 2 = 2 2 × 3 2 eivät ole.

Alkulukujen kaksikymmentä pienintä potenssia [1] :

2 , 3 , 4 , 5 , 7 , 8 , 9 , 11 , 13 , 16 , 17 , 19 , 23 , 25 , 27 , 29 , 31 , 32 , 37 , 41 , …

Ominaisuudet

Algebralliset ominaisuudet

Jokainen alkuluvun potenssi on jaollinen vain yhdellä alkuluvulla.
Alkulukujen potenssien jakautumistiheys on asymptoottisesti ekvivalentti alkulukujen tiheyden kanssa aina . $\pi(x)$ $O({\sqrt {x)))$
Jokaisella alkuluvun potenssilla (lukuun ottamatta potenssia 2) on primitiivinen juuri . Siten kokonaislukujen kertova ryhmä modulo p n (tai vastaavasti renkaan Z / p n Z yksiköiden ryhmä ) on syklinen .
Äärillisen kentän alkioiden lukumäärä on aina alkuluvun potenssi ja päinvastoin, mikä tahansa alkuluvun potenssi on jonkin äärellisen kentän alkioiden lukumäärä (ainoa isomorfismiin asti ).

Kombinatoriset ominaisuudet

Alkuluvun potenssien ominaisuus, jota usein käytetään analyyttisessä lukuteoriassa , on, että sellaisten alkulukujen potenssien joukko, jotka eivät ole alkulukuja, on pieni siinä mielessä, että niiden käänteislukujen ääretön summa konvergoi , vaikka alkulukujen joukko on iso sarja.

Jaetuvuusominaisuudet

Alkuluvun potenssin Euler-funktio ( φ ) ja sigmafunktio ( σ 0 ) ja ( σ 1 ) voidaan laskea kaavoilla:

\phi(p^n) = p^{n-1} \phi(p) = p^{n-1} (p - 1) = p^n - p^{n-1} = p^n \ vasen (1 - \frac{1}{p}\oikea),

\sigma_0(p^n) = \sum_{j=0}^{n} p^{0*j} = \sum_{j=0}^{n} 1 = n+1,

\sigma_1(p^n) = \sum_{j=0}^{n} p^{1*j} = \sum_{j=0}^{n} p^{j} = \frac{p^{ n+1} - 1}{p - 1}.

Kaikki alkulukujen potenssit ovat riittämättömiä lukuja . Alkuluvun p n potenssi on n - melkein alkuluku . Ei tiedetä, voivatko alkupotenssit p n olla ystävällisiä lukuja . Jos tällaisia lukuja on, p n :n on oltava suurempi kuin 10 1500 ja n :n on oltava suurempi kuin 1 400.

Tarpeellinen ehto

$\forall a\in \mathbb {N} :\gcd(a,N)=1\Rightarrow \gcd(a^{N-1}-1,N)>1$

Olkoon luku alkuluvun potenssi . Sitten jaettuna . $N$ ${\displaystyle N=p^{k))$ $N-1$ $p-1$

Fermatin pienen lauseen mukaan ei jakaa $\forall a\in \mathbb {N} :p$ $a\Rightarrow a^{p-1}\equiv 1(mod~p)$

$a^{N-1}\equiv a^{p-1}\equiv 1(mod~p)\Rightarrow \gcd(a^{N-1}-1,N)=p^{m} >1,$ missä $1\leqslant m\leqslant k$

Katso myös

Muistiinpanot

↑ OEIS - sekvenssi A000961 : alkulukujen potenssit = alkulukujen potenssit

Kirjallisuus

Jones, Gareth A. ja Jones, J. Mary. Springer-Verlag. Peruslukuteoria. — Lontoo: Limited, 1998.