Rakenne (differentiaaligeometria)

Differentiaaligeometriassa rakenne jakoputkessa , geometrinen suure tai geometristen objektien kenttä on osa nipusta , joka liittyy jonkin jakosarjan pääkimppuun . Geometrinen suure voidaan intuitiivisesti katsoa suureksi, jonka arvo ei riipu pelkästään moniston pisteestä , vaan myös coreperin valinnasta eli äärettömän pienestä koordinaatistosta pisteessä (katso myös kartta ). $M$ $x$ $M$ $x$

Muodollinen määritelmä rakenteen joukosta

Määritelläksesi muodollisesti moniston rakenteita, harkitse — yleistä differentiaalista järjestysryhmää ( -suihkujen ryhmä avaruusmuunnosten nollakohdassa, joka säilyttää koordinaattien origon), — joukkoa järjestyksen koframeja, joiden luokka on -ulotteinen monisto ( eli joukko paikallisten karttojen -suihkuja , joiden alkupiste on pisteessä ). $GL^{k}(n)$ $k$ $k$ $\mathbb {R} ^{n}$ $M_{k}$ $k$ $n$ $M$ $k$ $j_{x}^{k}(u)$ ${\displaystyle u:M\supset U\to \mathbb {R} ^{n))$ $x=u^{-1}(0)$

Ryhmä toimii jakotukin vasemmalta puolelta kaavan mukaan $GL^{k}(n)$ $M_{k}$

j_{0}^{k}(\varphi )j_{0}^{k}(u)=j_{x}^{k}(\varphi \circ u),\quad j_{0}^ {k}(\varphi )\in GL^{k}(n),\quad j_{x}^{k}(u)\in M_{k}.

Tämä toiminto määrittelee tilauskoframe- nipuksi kutsutun pääpaketin rakenteen . $M_{k}$ $GL^{k}(n)$ $\pi _{k}:M_{k}\to M$ $k$

Olkoon nyt mielivaltainen -monisto, eli monisto, jolla on ryhmän vasen toiminto , ja olkoon a ryhmän vasemman toiminnan kiertoradan tila . Kimppua , joka on kiertoradan luonnollinen projektio molempiin ja niihin yhdistettynä , kutsutaan korkeintaan järjestystyypin geometristen rakenteiden nipuksi ja sen osia kutsutaan tyyppisiksi rakenteiksi . Tämän tyyppiset rakenteet ovat luonnollisessa yksi-yhteen vastaavuudessa -zquivariant-kartoitusten kanssa . $W$ $GL^{k}(n)$ $GL^{k}(n)$ $W(M)$ $GL^{k}(n)$ $M_{k}\times W$ $\pi _{W}:W(M)\to M$ $M$ $W$ $M_{k}$ $W$ $k$ $W$ $GL^{k}(n)$ $S:M_{k}\to W$

Siten tyyppirakenteita voidaan pitää -arvostettuina funktioina useissa -kehyksissä, jotka täyttävät seuraavan ekvivarianssiehdon: $W$ $W$ $S$ $M_{k}$ $k$

S(gu^{k})=gS(u^{k}),\quad g\in GL^{k}(n),\quad u^{k}\in M_{k}.

Geometristen objektien nippu on luonnollinen nippu siinä mielessä, että moniston diffeomorfismiryhmä toimii automorfismiryhmänä . $M$ $\pi _{W}$

Jos on olemassa vektoriavaruus, jossa on lineaarinen (vastaavasti affiini) ryhmätoiminta , niin tyyppirakenteiden sanotaan olevan lineaarisia (vastaavasti affinisia ). $W$ $GL^{k}(n)$ $W$

Tärkeimmät esimerkit ensimmäisen asteen lineaarisista rakenteista ovat tensorirakenteet tai tensorikentät . Olkoon , ja tyypin tensorien avaruus ryhmän luonnollisen tensoriesityksen kanssa . Tyyppirakennetta kutsutaan tensorityyppikentäksi . Sitä voidaan pitää koframe-joukon vektorifunktiona , joka antaa coreperille joukon tensorin koordinaatteja suhteessa standardipohjaan. $V=\mathbb{R} ^{n}$ $V^{*}={\mathrm {Hom}}\,(V,\;\mathbb{R} )$ $V_{g}^{p}=((\otimes ^{p}V))\otimes ((\otimes ^{q}V^{*}))$ $(p,\;q)$ $GL^{1}(n)=GL(n)$ $V_{q}^{p}$ $(p,\;q)$ $M_{1}$ $\theta =j_{1}^{1}(u)=(du^{1},\;du^{2},\;\ldots ,\;du^{n})$ $S(\theta )_{j_{1}j_{2}\ldots j_{q}}^{i_{1}i_{2}\ldots i_{p}}$ ${\displaystyle S(\theta )\in V_{q}^{p))$

\{e_{i_{1}}\otimes e_{i_{2}}\otimes \ldots \otimes e_{i_{p}}\otimes e^{*j_{1}}\otimes e^{ *j_{2}}\otimes \ldots \otimes e^{*j_{q}}\}

tilat . Lineaarisella coroner -muunnolla koordinaatit muunnetaan tensoriesitykseen: $V_{q}^{p}$ $\theta \to g\theta =(g_{a}^{i}\,du^{a})$ $S_{j_{1}j_{2}\ldots j_{p}}^{i_{1}i_{2}\ldots i_{p}}$

S_{j_{1}j_{2}\ldots j_{q}}^{i_{1}i_{2}\ldots i_{p}}(q\theta )=g_{a_{1}} ^{i_{1}}g_{a_{2}}^{i_{2}}\ldots g_{a_{p}}^{i_{p}}(g^{-1})_{j_{1 }}^{b_{1}}(g^{-1})_{j_{2}}^{b_{2}}\ldots (g^{-1})_{j_{q}}^{ b_{q}}S(\theta )_{b_{1}b_{2}\ldots b_{q}}^{a_{1}a_{2}\ldots a_{p}}.

Tärkeimmät esimerkit tensorirakenteista ovat:

vektorikenttä ;
eromuoto ;
metrinen tensori ;
symplektinen rakenne ;
monimutkainen rakenne .

Kaikki lineaariset rakenteet (mikä tahansa luokkaa) tyhjennetään Rashevskyn supertensorien avulla [1] .

Esimerkki toisen asteen affiinirakenteesta on vääntövapaa affiiniyhteys , jota voidaan pitää tyypin rakenteena , jossa on luonnollisen homomorfismin ydin , jota voidaan pitää vektoriavaruutena, jolla on luonnollinen ryhmätoiminta . $V_{(2)}^{1}$ $V_{(2)}^{1}\noin V\otimes S^{2}V^{*}$ $GL^{2}(n)\to GL^{1}(n)$ $GL^{2}(n)=GL(n)V_{(2)}^{1}$

Toinen tärkeä ja melko laaja rakenneluokka on äärettömän homogeenisten rakenteiden luokka , eli -rakenteet . Ne voidaan määritellä tyyppisiksi rakenteiksi , joissa on ryhmän homogeeninen tila . $W$ $W=GL^{k}(n)/G$ $GL^{k}(n)$

Lisäyleistämiseksi voimme tarkastella yleisiä -rakenteita - pääkimppuja, jotka on kartoitettu homomorfisesti -rakenteeseen, ja niihin liittyviä nippujen osia. Tässä tapauksessa voidaan ottaa huomioon useita tärkeitä yleisiä geometrisia rakenteita, kuten spinorirakenteita , symplektisiä spinorirakenteita jne. $G$ $G$

Kirjallisuus

Bourbaki, N. Joukkoteoria / Per. ranskasta - M . : Mir, 1965. - 457 s.
Veblen, O., Whitehead, J. Differentiaaligeometrian perusteet . - M .: IIL, 1949. - 230 s.
Sternberg, S. Luentoja differentiaaligeometriasta . - M . : Mir, 1970. - 413 s.
Vasiliev, A. M. Differentiaaligeometristen rakenteiden teoria . - M .: MGU, 1987. - 190 s.
Laptev G. F. Korkeamman asteen infinitesimaaliset perusrakenteet sileällä monikerroksella // Geometrisen seminaarin julkaisut. - osa 1. - M .: VINITI , 1966, s. 139-189.

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Rashevsky P.K. Moskovan matemaattisen seuran julkaisut. - 1957. - v. 6. - s. 337-370.