Bernoullin kaava

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 16. heinäkuuta 2021 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Suoritetaan kokeita , joissa jokaisessa tietty tapahtuma ("menestys") voi tapahtua todennäköisyydellä (tai ei tapahdu - "epäonnistuminen" - todennäköisyydellä ). Tehtävänä on löytää todennäköisyys saada täsmälleen onnistumisia näissä kokeissa. $n$ $s$ $q = 1-p$ $m$ $n$

Ratkaisu:

P_{n}(m)=C_{n}^{m}p^{m}(1-p)^{{nm}}

( Bernoullin kaava ).

Onnistumisten määrä on satunnainen arvo, jolla on binomijakauma .

Määritelmä

Bernoulli-järjestelmän soveltaminen edellyttää, että seuraavat ehdot täyttyvät:

Jokaisella kokeella on täsmälleen kaksi tulosta, joita kutsutaan perinteisesti menestykseksi ja epäonnistumiseksi.
Testien riippumattomuus: seuraavan kokeen tulos ei saa riippua aikaisempien kokeiden tuloksista.
Onnistumisen todennäköisyyden tulee olla vakio (kiinteä) kaikissa kokeissa.

Tarkastellaan stokastista koetta alkeistapahtumien kahden elementin avaruudella . Kutsutaan yhtä "menestykseksi", nimetään "1", toiselle - "epäonnistuminen", nimetään "0". Olkoon onnistumisen todennäköisyys , sitten epäonnistumisen todennäköisyys . $0<p<1$ $1-p=q$

Tarkastellaan uutta stokastista koetta, joka koostuu tämän yksinkertaisimman stokastisen kokeen -kertaisesta toistosta. $n$

On selvää, että tätä uutta stokastista koetta vastaava alkeistapahtumien avaruus on (1), . Otetaan elementaaristen tapahtumien avaruuden (2) Boolen arvo tapahtumien -algebraksi . Jokaiselle alkeistapahtumalle on annettu numero . Jos alkeistapahtumassa onnistuminen havaitaan kerran ja epäonnistuminen kerran , niin . Anna sitten . On myös selvää, että todennäköisyys on normalisoitu: . $\Omega$ $\left\{\Omega =(a_{1},...,a_{n})|a_{i}=\overline {0,1},i=\overline {1,n}\right\rbrace$ $N(\Omega )=2^{n}$ $\sigma$ $\mathcal{A}$ $P(\Omega)$ $\omega \in \Omega$ $p(\omega )=p^{{\sum _{{i=1}}^{n}a_{i}}}q^{{n-\sum _{{i=1}}^{n} a_{i}}}$ $\omega$ $k$ $(nk)$ $p(\omega )=p^{k}q^{{nk}}$ $A_{k}=\{\omega \in \Omega |\sum _{{i=1}}^{n}a_{i}=k\},k=\overline {0,n}$ $P(A_{k})=\summa _{{\omega \in A_{k))}P(\omega )=C_{n}^{k}p^{k}q^{{nk))$ $\sum _{{\omega \in \Omega }}P(\omega )=\sum _{{k=0}}^{n}\sum _{{\omega \in A_{k}}}P( \omega )=\sum _{{k=0}}^{n}C_{n}^{k}p^{k}q^{{nk}}=(p+q)^{n}=1 ^{n}=1$

Määrittämällä kullekin tapahtumalle numeerinen arvo (3) saadaan todennäköisyys . Konstruoitua avaruutta , jossa on yhtälön (1) määrittelemä alkeistapahtumien avaruus, on yhtälön (2) määrittelemä -algebra, P on yhtälön (3) määrittelemä todennäköisyys , kutsutaan Bernoullin testikaavioksi . $A\in {\mathcal {A}}$ $P(A)=\sum _{{\omega \in A}}P(\omega )$ $P:{\mathcal {A}}\to {\mathbb {R}}$ $(\Omega ,{\mathcal {A}),P)$ $\Omega$ $\mathcal{A}$ $\sigma$ $n$

Lukujoukkoa kutsutaan binomijakaumaksi. $P_{n}(k)=C_{n}^{k}p^{k}q^{{nk}},k=\overline {0,n},n\in {\mathbb {N}}$

Yleistys (polynomikaavio)

Tavallinen Bernoullin kaava pätee tapaukseen, jossa yksi kahdesta tapahtumasta on mahdollista kussakin kokeessa. Bernoullin kaava voidaan yleistää tapaukseen, jossa yksi ja vain yksi tapahtumista tapahtuu todennäköisyydellä , jossa . Ensimmäisen tapahtuman ja - toisen ja k:nnen ajan tapahtumisen todennäköisyys saadaan kaavasta: $k>2$ $p_{i}(i=1,2,...,k)$ $p_{1}+...+p_{k}=1$ $m_{1}$ $m_{2}$ $m_{k}$

P_{n}(m_{1},m_{2},...,m_{k})={\frac {n!}{m_{1}!m_{2}!...m_{k} !}}{p_{1}}^{{m_{1}}}{p_{2}}^{{m_{2}}}...{p_{k}}^{{m_{k}} }

missä $n=m_{1}+m_{2}+...+m_{k}.$

Lauseet

Erikoisolosuhteissa (riittävän suurille tai riittävän pienille parametreille) Bernoullin kaaviossa käytetään rajalauseiden likimääräisiä kaavoja : Poissonin lause , paikallinen Moivre-Laplace-lause, Moivre-Laplace - integraalilause .

Linkit

Testisarja (Bernoullin malli)

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Iso venäläinen
Bibliografisissa luetteloissa	J9U : 987007283266105171 LCCN : sh85013374